МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. И. ГЕРЦЕНА

КАФЕДРА ПЕДАГОГИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Б. И. БАЛЬЧИТИС

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ ВТОРОЙ СТУПЕНИ В МЛАДШИХ КЛАССАХ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (методика преподавания математики в начальных классах школы).

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент Н. С. ПОПОВА

Ленинград, 1966 г.

Защита состоится в Ленинградском педагогическом институте имени А. И. Герцена, Ленинград, Мойка, 48.

« »....... 1966 г.

Автореферат разослан « »...... 1966 г.

Общепринятая методика изучения арифметики в начальной школе, хотя и имеет бесспорные достижения, не соответствует уже в полной мере современным требованиям общества. В целях ее улучшения испытываются во многом принципиально новые пути построения начального курса математики как у нас, в Советском Союзе, так и за рубежом (например: исследования В. В. Давыдова, в которых обучение начинается, так сказать, с алгебры величин; исследования, осуществляемые при Штанфордском университете в Калифорнии, где обучение начинается с рассмотрения некоторых понятий теории конечных множеств; практически осуществляемая в ГДР реформа преподавания начального курса математики на высоком теоретическом уровне и т. д.).

Признавая всю ценность подобных исследований в деле поисков наиболее эффективных методических систем математической подготовки учащихся, мы считаем не менее полезным подходить к решению поставленной задачи и путем постепенного улучшения современной программы и методики обучения, тем более, что такой путь соответствует требованиям сегодняшнего дня: «... Совершенствование учебно-воспитательной работы школы — это не какая-то кампания или очередная перестройка, а повседневная творческая работа, которую нужно проводить без спешки, на подлинно научной основе», говорится в докладе А. Н. Косыгина на XXIII съезде КПСС1.

Настоящая диссертация представляет собой попытку автора исследовать основные недостатки нынешней методики начального обучения арифметическим действиям второй ступени (методики первоначального ознакомления с умножением и делением, методики изучения табличного и внетабличного умножения и деления в пределах 100, методики обучения делению с остатком и, отчасти, делению в пределах 1000) и соответственно ее улучшить. Цель исследования раскрыта подробнее в первой главе диссертации.

Диссертация состоит из следующих частей:

1. Введение.

2. Глава I. План и методика исследования

3. Глава II. Характеристика современной методики начального обучения арифметическим действиям второй ступени (теоретический аналииз).

1 А. Н. Косыгин. Директивы XXIII съезда по пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1966—1970 годы. «Правда № 96 (17413), 1966.

4. Глава III. Состояние знаний и умений учащихся (констатирующий и диагностирующий эксперимент).

5. Глава IV. Система и методы изучения умножения и деления в младших классах начальной школы (обучающий эксперимент).

6. Заключение, в котором суммируются в виде практических рекомендаций для современной массовой школы основные выводы исследования.

7. Приложение, в котором представлены рабочие планы и сводные данные массового проверочного эксперимента изучения умножения и деления в пределах 20 по трем экспериментальным и двум контрольным вариантам, а также изучения умножения и деления в пределах 100 по двум экспериментальным и одному контрольному вариантам.

8. Список использованной литературы.

В первой главе раскрывается основная цель методических исследований. Она соотоит, вообще говоря, в отыскании наиболее эффективной методической системы (программы и методов) изучения начального курса математики. Однако в частных конкретных исследованиях эта цель сводится н отысканию такой методической системы изучения данного раздела курса, которая отличалась бы большей эффективностью, чем те системы, которые применялись до сих пор. Устанавливается, что главным методом решения этой задачи является постепенное приближение к более эффективной системе путем выдвижения ряда логически, психологически и дидактически обоснованных гипотетических вариантов, которые экспериментально проверялись бы, сравнивались по своей эффективности с уже имеющимися вариантами и в итоге либо отбрасывались как не оправдавшие себя на практике, либо использовались для создания следующего более совершенного варианта, либо, наконец, могли быть рекомендованы для практического применения.

В таком плане особое значение приобретает наличие правильной методики сравнения разных методических систем по их эффективности. Это сравнение должно осуществляться на основе встестороннего качественного и количественного анализа экспериментальных данных.

Главные экспериментальные данные — данные, относящиеся к успеваемости учащихся, носят характер статистических величин и могут быть оценены с помощью статистических характеристик. При этом, если классы при проверочном эксперименте распределяются по принципу случайной выборки и объем выборки определяется по числу классов, то распределение экспериментальных данных можно с большой вероятностью считать подчиненным нормальному закону. В этих условиях для сравнения и оценки эффективности разных методических систем приме-

нимы известные методы математической статистики, что нами и было широко использовано.

Исследования, проводимые автором данной диссертации, фактически соответствовали вышеупомянутому «методу постепенного приближения». В 1961-62 учебном году был организован первый цикл экспериментальных исследований — проводился констатирующий и диагностирующий эксперимент, охвативший работу более 20-ти разных школ Литовской ССР, а также обучающий (пробный) эксперимент в трех вторых классах. В 1962-63 учебном году был проведен второй цикл исследований. В этот период тщательно анализировались уже имеющиеся методические системы изучения арифметических действий второй ступени у нас и за рубежом и в тесной связи с данным анализом проводился констатирующий и диагностирующий эксперимент, охвативший более тридцати I—IV классов, работавших в разных условиях и по разным методическим системам. Обучающий (пробный) эксперимент проводился в четырех первых классах по трем гипотетическим вариантам и в двух третьих классах по одному варианту. В 1963-64 учебном году имело место опытное обучение в трех вторых классах по трем гипотетическим вариантам и в четырех третьих классах по двум вариантам. В 1964-65 учебном году осуществлялся третий цикл исследований, который, в основном, состоял из проверочного эксперимента. Испытывались в 69-ти первых классах три пробных и два контрольных варианта методики первоначального ознакомления детей с умножением и делением и в 154-х вторых классах два пробных и один контрольный вариант системы и методики изучения табличного и внетабличного умножения и деления на втором году обучения.

На разных этапах исследования автором диссертации применялись, наряду с классным обучением, и такие методы исследования, как целенаправленное наблюдение, беседы, изучение результатов практической деятельности учащихся, анкеты (отчеты учителей), индивидуальное и групповое опытное обучение дошкольников и учащихся I—IV классов.

Во второй главе анализируются современные методические системы изучения арифметических действий второй ступени, применяемые в СССР и в некоторых социалистических и капиталистических странах, а также поиски новых путей построения начального обучения математике.

В этой главе рассмотрены стабильные учебники по арифметике А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка, учебники, применяемые в Латвийской ССР, в Грузинской ССР, в Эстонской ССР, пробный учебник для II класса А. Я. Котова, а также польские, чехословацкие, венгерские, болгарские, румынские, немецкие, американские (США), французские и финские учебники. Приведено 34 фотоснимка из этих учебников. В диссертации пока-

зано, что установленные ныне действующей программой этапы (темы) изучения арифметических действий второй ступени и с точки зрения предмета, и в психологическом отношении более или менее оправданы. Однако в общепринятой методике и, тем более, в школьной практике наблюдается чрезмерный практицизм и утилитарность при определении главных целей изученной той или другой темы. Так, например, до последнего времени чрезмерное внимание уделяется заучиванию детьми наизусть табличных результатов в ущерб работе, направленной на освоение смысла рассматриваемых действий и вычислительных приемов. Редакция журнала «Начальная школа» в 1955 году (№ 2), подведя итоги дискуссии по спорным вопросам методики изучения табличного умножения и деления, указывала: «При изучении таблицы умножения и деления, так же, как и чисел первого десятка, важны не приемы счета, а результаты вычисления, образующие таблицы умножения и деления». В соответствии с такой установкой новое действие (особенно умножение) с самого начала изучается, так сказать, табличным методом: на основе применения предметной наглядности и некоторых рассуждений составляется определенная таблица (или часть ее), она заучивается и в такой форме знания применяются на практике. Некоторая работа над вычислительными приемами (алгорифмами) практически не достигает своей цели, так как немедленное усвоение результатов наизусть делает применение этих приемов в глазах учащихся бессмысленным. Таким образом, центральное место при таком обучении отводится приобретению новых знаний в виде усвоения новых фактов, а самое важное — развитие понятия числа и действий — в определенной мере упускается из виду.

Общепринятая методика не обращает должного внимания на то, каким образом действия школьника, будучи первоначально внешними, предметными, в дальнейшем становятся внутренними, происходящими в уме. Она не предусматривает достаточного использования материальной основы действия (соответствующей операции над множествами) и вооружения учащихся необходимой системой алгорифмов, чтобы они могли выполнять действия на материальном уровне, на уровне громкой речи и на уровне внутренней речи (в уме). Дело несколько улучшается при переходе к изучению внетабличного умножения и деления. Здесь волей-неволей, на первый план выдвигается обучение алгорифмам нахождения результатов. Однако без предварительной подготовки эта работа не может в полной мере обеспечить понимания сущности действий, их основных свойств и не дает желаемых результатов.

Общепринятая у нас методика начального изучения умножения и деления имеет и ряд других недостатков. Она не в полной мере учитывает психологию усвоения противоположных, сходных и взаимосвязан-

ных действии (понятий и пр.), не уделяет должного внимания усвоению основных свойств действий и развитию понятий функциональной зависимости между величинами.. Установлены чрезмерно строгие барьеры не только между отдельными концентрами, но и между отдельными темами. Нынешняя методика при изучении той или другой темы более заботится об изучении всех входящих в эту тму случаев данного действия, чем о формировании мыслительной деятельности учащихся.

Здесь же, во второй главе диссертации, на примерах индивидуального обучения дошкольников показано, что математические понятия, свойства действий, приемы мышления и т. п. часто легче усваиваются, когда обучение ведется на доступных детям, но достаточно больших числах.

В диссертации теоретически и на примерах из опыта доказывается несостоятельность попытки продолжительное время изучать два вида деления как различные действия, а также избегать деления с остатком вплоть до III класса. Общепринятая методика недостаточно заботится о возбуждении у учащихся потребности в усвоении новых приемов, свойств действий и пр.

Значительно дальше от ныне принятой методики изучения умножения и деления отошли эстонские методисты. В учебниках И. К. Каллака и А. Ю. Линца «Живые числа» впервые эти действия вводятся лишь во II классе. Табличные и внетабличные действия изучаются параллельно, и почти никакого внимания не уделяется различению сомножителей и двух видов деления. В системе И. К. Каллака и А. Ю. Линца несомненно есть и нечто положительное. Однако, в общем, эта система тоже небезупречна: недостаточно учитываются два направления в развитии арифметических действий второй ступени (одна линия — введение понятия нового действия на основе обращения к операциям над множествами, другая — логический путь : прямое или косвенное определение нового действия через уже известные действия) и т. д.

Система и методика изучения табличного умножения и деления, разработанные А. Я. Котовым, хотя и опираются на специально проведенные экспериментальные исследования, но, в сущности, не решают назревших проблем. Организованная нами специальная экспериментальная проверка этой системы выявила в ней почти те же недостатки, что и в общепринятой методике. В частности, не оправдал себя отказ от более раннего введения переместительного свойства умножения, на котором без достаточного основания настаивает А. Я. Котов.

В разных странах авторы учебников и методических руководств подходят по-разному к тому или другому вопросу методики изучения исследуемых в диссертации тем. Однако, как показывает анализ их работ, ни одну из представленных за рубежом методических систем в целом невозможно рекомендовать в качестве ориентира для массовой советской школы.

В рассматриваемой второй главе диссертации анализируются оригинальные построения начального обучения математике вообще и обучения арифметическим действиям второй ступени, в частности, внесенные В. В. Давыдовым, Н. А. Менчинской и И. И. Моро, Л. В. Занковым, М. А. Бантовой, П. М. Эрдниевым. В результате этого анализа выделены те положительные стороны, которые используются в дальнейшем при создании гипотетических вариантов, и ,наряду с этим, некоторые предложения указанных авторов подвергнуты критике.

В третьей главе рассмотрено состояние знаний и умений учащихся, обучаемых по разным методическим системам: по системе, рализуемой в стабильных учебниках А. С. Пчелко и Г. Б. Поляка, в латышских учебниках К. Дукурс, Н. Менцис и А. Лацис, в учебнике для II класса А. Я. Котова, по системам, которых придерживаются по собственной инициативе некоторые опытные учителя, а также по некоторым специально созданным для диагностирующего эксперимента системам.

Анализ состояния знаний и умений учащихся, в основном, подтверждает выводы, сделанные во II главе диссертации. Учащиеся 1-х классов, обучаемые по общепринятой методике, часто усваивают не столько само действие умножения и деления, сколько результаты этих действий в пределах 20, и далеко не все могут, в случае необходимости, сознательно контролировать свою память. Многие учащиеся не могут осмыслить соотношений между операциями над конкретными конечными множествами и соответствующими арифметическими действиями, не в силах моделировать данные конкретные операции арифметическими записями. И, наоборот, далеко не все дети могут проиллюстриовать данные арифметические действия конкретными множествами. Например, в конце обучения умножению только 15 учащихся из 156 обследованных могли догадаться, как записать хотя бы по одному арифметическому действию к каждому из следующих рисунков:

Далее, лишь 7 процентов из всех учащихся смогли проиллюстрировать штрихами (группами палочек) арифметические действия 6х3 и 4+3. Отметим, что предварительно подобные задачи в качестве образца были выполнены экспериментатором при содействии самих учащихся.

Многие учащиеся, оказывается, не усваивают алгорифмов выполнения действии (ни в предметной форме, ни в абстрактном плане) и видят цель изучения этих действий лишь в усвоении табличных результатов наизусть. Даже более сильные учащиеся, установив результат действия по памяти, очень неохотно вступают в разговор о приемах его нахождения. Некоторые из учащихся не видят возможности применения изучаемых действий в простейших случаях, если перед тем в этом не упражнялись. Решая задачи, они подбирают нужные действия по внешним признакам и, выполняя действие, не осмысливают способа его выполнения. В то же время при обычной оценке успеваемости по числу допущенных ошибок в вычислениях (т. е. фактически по знанию результатов действий) успеваемость учащихся в общем выглядит нормально.

Аналогичная картина наблюдается и во II классе. Здесь особенно характерны ошибки, связанные с применением двух видов деления. Ввиду того, что второй вид деления (деление по содержанию) вводится обычно без достаточной связи с уже изученным видом деления на равные части, учащиеся с трудом различают их. У многих учащихся появляется склонность вместо операции деления на равные части применять операцию деления по содержанию. Эта склонность особенно ярко обнаруживается и тех случаях, когда предлагается делить неподвижные конкретные множества (зарисованные кружки и т. п.).

Учащиеся обычно усваивают не связь каждого вида деления с умножением в отдельности, а только связь деления с умножением вообще. Это видно, например, из того, что составить примеры на все три действия (умножение, деление по содержанию и деление на равные части) по рисунку безошибочно смогли менее 50 проц. учащихся, а проверяя умножением примеры на деление (56 м : 7, 48 м : 6 м), соблюсти нужный порядок сомножителей смогло еще меньшее число учащихся. Этот факт прежде всего знаменателен тем, что, согласно большинству ныне распространенных систем изучения табличного деления, следует добиваться дифференциации связи каждого вида деления с умножением в одельности, на что расходуется много времени.

И еще один любопытный факт: число ошибок в записи наименований почти всегда намного превосходит число ошибок в вычислениях.

Основная причина указанных недостатков кроется в том, что при изучении арифметических действий второй ступени не рассматривается в достаточной степени материальная основа этих действий: детей не учат моделировать отношения множеств через соответствующие математические записи и, наоборот, иллюстрировать данные арифметические действия через операции с конкретными множествами. В диссертации показано, что умение различать два вида деления и ставить наименования при записи

Действия прежде всего зависит от применяемой методики обучения, но, в ебщем, эти задачи затрудянют даже страшеклассников и взрослых людей, окончивших среднюю школу (несмотря на то, что в свое время они обучались этому). Поэтому необходимо пересмотреть как методику изучения деления, так и систему постановки наименований. Целенаправленное наблюдение за учебным процессом, а также исследование состояния знаний учащихся II-IV классов дают основания полагать, что в целях повышения эффективности обучения, в первую очередь, следует отказаться от изучения так называемых табличных случаев деления табличным методом.

В рассматриваемой третьей главе диссертации показано, что ученики II-IV классов в явно недостатчной степени усваивают основные свойства умножения и деления, на которых базируются соответствующие вычислительные приемы. Особенно поражает отсутствие сколько-нибудь заметных сдвигов в этом отношении при переходе от младшего класса к старшему. Ввиду того, что обучение ведется на недостаточно высоком теоретическом уровне и направлено на механическое усвоение фактов, у учащихся возникает догматический подход к полученным знаниям, и сформированные у них приемы умственной работы плохо переносятся с одного вида учебной деятельности на другой (усвоив связь деления с умножением для табличных случаев, многие не в силах использовать эти связи для внетабличных случаев и т. п.).

В той же третьей главе диссертации приводятся данные обследования готовности дошкольников и первоклассников к изучению арифметических действий второй ступени. Делаются следующие выводы:

1. Изучение простейших случаев умножения и деления в предметной форме доступно уже дошкольникам (в возрасте 5-6 лет), причем эта работа увлекает детей и несомненно способствует их общему умственному развитию.

2. Отдельные учащиеся к моменту изучения умножения и деления в школе оказываются явно неодинаково подготовленными. Для более успешной работы при изучении арифметических действий второй ступени следует принять соответствующие меры для выравнивания этих предварительных знаний. Однако в общем они достаточно высоки и нет необходимости вести обучение по очень растянутому индуктивному пути,—есть все условия начать умножение и деление не табличным методом.

3. К изучению обоих видов деления ученики подготовлены приблизительно одинаково.

В конце главы суммируются в виде гипотез обучающего эксперимента все основные выводы, полученные в результате проведения теоретического анализа и констатирующего — диагностирующего эксперимента.

В четвертой главе излагаются обучающие эксперименты (пробные и массовые проверочные) изучения арифметических действий второй ступени в младших классах начальной школы. Эта глава состоит из 8 разделов (параграфов).

В первом разделе этой главы освещается обучающий (пробный) эксперимент изучения пропедевтического курса умножения, организованный в четырех первых классах г. Шяуляй по методике, которая отличалась от общепринятой следующим. Во-первых, простые задачи на сложение равных слагаемых были введены еще перед изучением умножения; эти задачи решались сначала при помощи арифметического действия сложения, а позже являлись трамплином для перехода к качественно новому действию — умножению. Во-вторых, при первоначальном знакомстве с умножением мы далеко не так быстро, как ныне принято, переключили внимание детей на усвоение таблицы умножения. Основное внимание сначала уделялось уяснению смысла нового для них действия. Сначала несколько уроков мы учили умножению на примерах, не относящихся к какой-нибудь одной определенной таблице, т. е. применяли прием варьирования множимого и множителя, и лишь потом, когда возникла потребность в беглых вычислениях, переходили к усовершествованию знаний, разбирая отдельные определенные таблицы. В-третьих, гораздо больше внимания, чем до сих пор, уделялось обучения алгорифмам выполнения действий и изучению свойств действия. Действие изучалось сначала на материальном уровне: учащиеся учились образовывать конкретные конечные множества из нескольких равных множеств и моделировать соответствующие количественные отношения арифметической записью сложения и умножения, а также наоборот — иллюстрировать арифметические записи конкретными множествами. Первый алгорифм вычисления произведения тоже является «предметным» — ученики решали примеры на умножение с помощью дидактического материала («прием обращения к соответствующей операции над конкретными множествами»). Далее сосредоточивалось внимание на умении выполнять действие в абстрактном плане (на уровне громкой и далее постепенно на уровне внутренней речи). Для этого вводился алгорифм нахождения произведения, основанный на приеме замены умножения сложением и беглым выполнением последнего (при этом были введены и специальные приемы учета количества слагаемых). Помимо этого алгорифма постепенно вводились и начатки табличного способа упорядочивания примеров на умножение и нахождения результатов по таблицам, решение примеров на основе припоминания ответов или на основе запоминания опорных случаев умножения и внесения надлежащих поправок (2х6=2х5+2, 2Х," 2 х 10—2 и т. п.). Наконец, в-четвертых, несравненно меньше значения, чем до сих пор, придавалось усвоению учебного материала наизусть. Но

вместо этого, решительнее, чем обычно, сравнивались сходные задачи и примеры на сложение и умножение, было проделано много графических работ, применялись новые виды заданий.

Эксперимент, в общем, привел к весьма положительным результатам.

Во втором разделе освещается обучающий (пробный) эксперимент изучения пропедевтического курса деления, организованный в тех же четырех первых классах по трем гипотетическим вариантам: в двух классах изучалось деление на равные части, в третьем — деление по содержанию и в четвертом — одновременно оба вида деления.

Обучение делению строилось приблизительно на тех же началах, как и обучение умножению. Сначала рассматривалась материальная основа действия (соответствующие операции над конкретными конечными множествами), ученики обучались моделировать нужные отношения математическими записями и, наоборот, иллюстрировать данные арифметические действия конкретными множествами. Примеры сначала решались на основе выполнения соответствующей операции над конкретными множествами; потом постепенно раскрывалась связь деления с умножением; наконец, через алгорифм нахождения частного, основанный на предположении, правильность которого проверяется умножением, обеспечивался переход к выполнению действия в абстрактном плане. Сначала новое действие изучалось на более удобных примерах, потом ученикам давалась установка на запоминание результатов табличных случаев. В целях лучшего усвоения смысла изучаемого действия (например, различения выражения «разделить на 2 части» и «разделить на 2 равные части» и т. п.) в подходящий момент предлагалось ученикам разделить данное число предметов на неравные части, делить такое число предметов, которое приводит к делению с остатком и т. п.

Все три варианта обучения делению привели к весьма положительным результатам, т. е. дали существенно лучшие результаты в деле математической подготовки учащихся, чем общепринятая методика. Вместе с тем выяснилось, что деление на равные части в действительности более подходит для первоначального ознакомления с новым для детей арифметическим действием деления, чем деление по содержанию. Это подтвердилось, несмотря на то, что операция деления конкретных конечных множеств легче в смысле деления по содержанию, чем в смысле деления на равные части. Совместное изучение обоих видов деления хотя в логическом смысле и было более стройным, но все же сильно затрудняло более слабых учащихся.

Вместе с тем, проведенный пробный эксперимент и другие специальные исследования показали, что из-за ряда соображений математического и психологического характера (чтобы быстрее обеспечить различение сомножителей и т. п.), целесообразно знакомить учащихся с переместительным свойством умножения вскоре после ознакомления с этим дейст-

вием. Следует в то же время предоставить учащимся право применять данное свойство не только при решении примеров, но и при решении задач. Это следует тем более подчеркнуть, что, в противовес установившемуся предвзятому мнению, нельзя заранее однозначно решить, которое из двух числовых данных арифметической задачи следует брать множимым, которое множителем. Дело в том, что этот выбор зависит от способа мышления, а оно в данном отношении и без прямой опоры на переместительное свойство может быть, в общем, двояким. Помимо этого выяснилось, что вскоре после введения понятия деления на основе соответствующей операции над множествами, следует усердно поработать над раскрытием связи деления с умножением, привлекая для этого специальные виды наглядности. При этом с первых же шагов обучения делению следует учить детей не действию деления на равные части, а арифметическому действию деления, как таковому, опираясь пока только на одну эту интерпретацию деления.

Целесообразность этих и других поправок к ранее описанным гипотетическим вариантам, наряду со всеми основными положениями этих гипотетических вариантов, была подтверждена посредством организации проверочного комплексного эксперимента в 69-ти первых классах с соблюдением всех основных требований экспериментирования. Этот проверочный эксперимент (в который вошли 3 пробных и 2 контрольных варианта обучения умножению и делению в I классе) подробно освещен в третьем разделе данной чевертой главы диссертации. Рабочие планы и сводные данные приведены в приложении I.

Проверочный эксперимент показал и некоторую выгодность введения таких терминов, как «множимое», «множитель» и т. п. одновременно с введением соответствующих понятий, а также целесообразность введения в практику обучения, наряду с общепринятой системой постановки наименований при записи действий, и упрощенной системы (когда наименование ставится только у результатов действия в скобках). Выяснилось, что в большей мере, чем это делается до сих пор, следует практиковать решение примеров на нахождение неизвестного компонента действия. На начальном этапе изучения умножения и деления есть смысл и реальная возможность дать учащимся некоторые конкретные представления о таких вопросах, как вопрос существования произведения (частного), вопрос единственности (в том числе независимость численного результата соответствующей операции от природы множеств, что позволяет вместо данных множеств использовать эквивалентные стандартные множества), монотонности; целесообразно также коснуться некоторых простейших аспектов изменения результатов действия при изменении их компонентов.

В четвертом разделе четвертой главы освещается обучающий (пробный) эксперимент, посвященный методике введения второго вида деления

(деления по содержанию) во II классе. Пробный эксперимент, проведенный по трем гипотетическим вариантам, показал, что в основном оправдывается практика введения понятия деления по содержанию незадолго перед изучением табличного умножения и деления во II классе. Но есть некоторый смысл ввести это понятие и с небольшой отсрочкой, например, в середине изучения табличного умножения и деления. Ввести этот вид деления следует в тесной связи с уже изученным видом деления. Проходить эту тему целесообразно по следующему плану:

а) введение операции деления множеств и действия деления по содержанию в тесном противопоставлении с операцией и действием деления на равные части; в это время арифметические действия записываются не иначе, как с наименованиями у чисел;

б) закрепление нового понятия путем решения задач с применением, для нахождения результата, приемов последовательного сложения и вычитания, которые особенно подчеркивают основной смысл этого вида деления, а именно: сколько раз одно число содержится в другом;

в) изучение взаимосвязи обоих видов деления с умножение и в этом плане — углубление знания их взаимоотношения между собой;

г) сопоставление обоих видов деления в отношении числовых данных и результатов, выяснение двойного смысла примеров на деление, записанных в отвлеченных числах, обобщение двух видов деления.

В пятом разделе освещается обучающий (пробный) эксперимент, посвящённый методике изучения табличного умножения и деления в пределах ста по трем несколько отличавшимся друг от друга гипотетическим вариантам. Получены следующие основные выводы:

а) для изучения табличных случаев умножения и деления, в основном, достаточно ограничиться составлением и изучением таблиц умножения по постоянному множимому. Для усвоения табличных случаев деления табличный метод (составление таблиц, их усвоение и применение на практике) является непригодным и от него следует отказаться. Деление, в основном, должно выполняться на основе знания связей между прямым и обратным действиями. Для этого еще при изучении первых табличных случаев следует восстановить и закрепить знание связей между умножением и делением, чтобы в дальнейшем усвоение новых табличных случаев умножения автоматически вело учащихся к знанию двух соответствующих случаев деления (А : В = M, M : А = В и M : В = А): и, в целях окончательного усвоения последних, требовались бы только упражнения для углубления понятия деления, выработки беглости вычислений, умения применять действие на практике, а также для нахождения частного с помощью других алгорифмов (сложением, вычитанием, разложением делимого на сумму двух слагаемых);

б) ввиду особого положения данной темы в системе изучения арифметических действий, главной целью ее изучения является не столько

усвоение результатов табличного умножения и деления, сколько дальнейшее развитие понятия арифметических действий второй ступени. Поэтому главное внимание и здесь должно уделяться продолжению изучения сути этих арифметических действий, их свойств, алгорифмов выполнения, случаев применения на практике. Запоминание табличных результатов наизусть является хотя и важной, но сопутствующей целью изучения этой темы. Кстати, и последняя цель достигается лучше, если упор делается именно на сознательное усвоение свойств и алгорифмов действия, а не на многочисленные мнемонические упражнения. Поэтому даже усвоение новых табличных случаев умножения лучше всего начинать не с составления соответствующей таблицы, а с решения задач и примеров. И только после того, когда учащиеся усвоят в нужной степени приемы нахождения результатов, можно переходить к составлению соответствующей таблицы и к ее усвоению наизусть. Составленную таблицу следует всесторонне рассмотреть, сопоставить ее отдельные члены, отыскать признаки, облегчающие запоминание, учиться сочетать запоминание с высчислением результатов по более удобным алгорифмам. Чтение таблиц вслух с использованием ритма и лаконичных формулировок можно, конечно, тоже применить в целях усвоения табличных случаев умножения наизусть. Однако гораздо важнее лаконичный и ритмичный способ чтения применять не столько в отношении всего табличного ряда в целом, сколько в отношении каждого отдельного примера. Краткий способ чтения («четырежды восемь») целесообразно ввести не в конце изучения табличного умножения, как это делалаось до сих пор, но уже в начале. Вообще, методика заучивания табличных результатов в краткой формулировке зависит и от особенностей того языка, на котором ведется обучение.

В шестом разделе четвертой главы освещается обучающий (пробный) эксперимент изучения внетабличного умножения и деления. Применение трех гипотетических вариантов и сравнивание их с результатами обучения по общепринятой методике приводит к следующим выводам:

а) при изучении внетабличного умножения и деления нет необходимости отказываться от раздельного изучения этих действий. Однако со временем следует более решительно, чем до сих пор, сопоставлять и противопоставлять как изучаемые действия, так и алгорифмы вычислений, свойства действий и т. д.;

б) необходимо усилить, но сравнению с нынешней практикой, работу над изучением соответствующих алгорифмов выполнения действий и свойств действий, привлекая для этого специальные виды упражнений;

в) обучение делению на однозначное число начинать с более общего случая (например, с 52 : 4, где десятки нацело не делятся на данный делитель и есть возможность вскрыть суть применения приема разложения делимого на сумму двух слагаемых сразу в более широком плане), а не с частных случаев, как это практиковалось до сих под

(48 : 2, 50 : 2, 52 : 2);

г) следует либо отказаться от применения приема последовательного умножения (отнести к последующим темам, где для его усвоения имеются более благоприятные условия), либо применять в более широком плане — применять не только для случаев умножения на полные десятки, которых в пределах 100 ничтожное количество, но и для умножения на некоторые другие составные числа. В этом последнем случае желательно усваивать попутно и прием последовательного деления. Изучение приемов последовательного умножения и деления здесь имеет, в основном, только образовательное значение, так как практически их применение не содействует повышению среднего процента правильных решений. Кроме того, ввиду возможности выполнения соответствующих действий другими приемами, учащиеся по собственной инициативе ими не пользуются.

В седьмом разделе четвертой главы освещается проверочный эксперимент, организованный в 154-х вторых классах для окончательной проверки целесообразности вышеизложенных положений относительно методики изучения деления по содержаниц, табличного умножения и деления и внетабличного умножения и деления, а также для уточнения оптимальной методики изучения этих тем в целом. Чтобы иметь возможность варьировать некоторые факторы экспериментируемой методики, на проверочный эксперимент было вынесено два пробных и один контрольный вариант изучения табличных действий. Рабочие планы и сводные данные этого проверочного эксперимента приведены в приложении II.

Эксперимент подтвердил правильность основных вышеизложенных положений. Обучение по гипотетическим вариантам дало возможность приблизительно на 20 проц. сократить учебное время на изучение этих тем и добиться существенно лучших показателей успеваемости учащихся. Основные положения пробных вариантов были, в основном, одобрены и учителями, проводившими эксперимент. Многие типичные ошибки учащихся, о которых говорилось в третьей главе диссертации, исчезли или сильно сократились. При обработке полученных данных методами математической статистики обнаружилось, что экспериментальная методика превосходила общепринятую в отношении обучения всех учащихся и особенно в отношении более слабых учащихся, а также учащихся с менее развитой памятью.

Весь комплекс проведенных экспериментов в целом показал, что целесообразно при записи умножения ставить множитель не на втором месте, как это в настоящее время принято в большинстве союзных республик, а на первом месте. Эту реформу целесообразно осуществить одновременно во всех школах Советского Союза. Следует пересмотреть и вопрос постановки наименований при записи действий. Выяснилось, что нецелесообразно писать наименования у компонентов действия во всех слу-

чаях, когда решаются задачи с конкретным содержанием, но нецелесообразно и полностью отказаться от такой записи. Следует с I класса параллельно употреблять как записи с наименованием у чисел, так и записи с отвлеченными числами (по мере надобности с постановкой наименований только у результата действий в скобках).

В восьмом разделе четвертой главы диссретации освещаются вопросы методики изучения деления с остатком и в некоторой степени методики введения алгорифма письменного деления. На основе наблюдения над ходом обучающих экспериментов в I и II классе и ряда специальных экспериментов, в том числе на основе обучающего эксперимента, проведенного в 1963-64 учебном году в четырех третьих классах по двум гипотетическим вариантам, получены следующие выводы:

а) Деление с остатком следует затронуть с самого начала изучения арифметического действия деления. Цель специального изучения этой темы в III классе — обобщить накопленные учениками знания и поднять на болле высокий уровень: ввести специальную запись, обучить рациональным алгорифмам вычисления, применять для решения практических задач и т. д.

б) Изучение деления с остатком должно начинаться с краткого рассмотрения двух операций над множествами (имеется в виду деление на равные части и деление по содержанию) и моделиования соответствующих отношений при помощи математических знаков. Далее следует в большей мере, чем до сих пор, усилить работу над усвоением приемов выполнения действий (выделением нужного числа, кратного делителя; предположением и проверкой его правильности умножением; при помощи использования таблиц умножения и т. д.), а также учить критериям оценки правильности выполненного действия.

в) Следует расширить круг задач, решаемых делением с остатком. В частности, решать задачи на деление с остатком в смысле деления на равные части, а также задачи, где для получения окончательного ответа следует отбросить остаток, внося соответствующую поправку в неполное частное, т. е. продолжать работу над формированием понятия приближенного числа (работа формирования понятия приближенного числа должна начинаться с первых дней обучения, например, при знакомстве с мерами и измерениями).

г) Целесообразно изучение деления с остатком в III классе более тесно связывать с изучением так называемого письменного деления. Запись столбиком лучше впервые ввести при выполнении более трудных случаев деления с остатком, что даст возможность начинать изучение письменного деления с более общих случаев, где в действительности, возникает потребность в новом алгорифме.

Задача отыскания оптимальной методической системы не может быть во всех отношениях решена однозначно, даже в предположении, что про-

чие условия обучения остаются навсегда неизменными. Практически вполне возможно допустить (это обнаружилось и в процессе наших исследований) существование для изучения одной и той же темы в одно и то же время нескольких, отличающихся друг от друга методических систем, но заметно не отличающихся друг от друга по своей эффективности в школьном деле. В соответствии с этим и полученные нами результаты исследования не предъявляются как единственное и тем более как окончательное решение поставленной проблемы. Этим объясняется и неоднозначное решение ряда методических вопросов, вариативность рекомендаций.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Б. Бальчитис. Повышение эффективности обучения арифметике в I-II классе. Сборник статей: «Некторые вопросы преподавания арифметики в начальных классах». Изд. пед. лит., Каунас, 1964 (на литовском языке).

2. Б. И. Бальчитис. Обучение умножению и делению. «Начальная школа» № 3, 1964 г.

3. Б. Бальчитис. О системе и методах изучения умножения и деления в младших классах начальной школы. Педагогические труды Научно-исследовательского института школ Министерства просвещения Лит. ССР, т. I, Изд. «Швиеса», Каунас, 1964 (на литовском языке).

4. В. Благнис и Э. Чекоулене. Арифметика для I класса (под редакцией Б. Бальчитиса). Издательство «Швиеса», Каунас, 1965 г. (на литовском языке).

5. Б. Бальчитис. Обучение умножению и делению во II классе. Тезисы докладов научной конференции 1966 г. Научно-исследовательского института школ Министерства просвещения Лит. ССР. Изд. «Пергале», Вильнюс, 1966 (на литовском языке).

6. Б. Бальчитис. Обучение внетабличному умножению и делению Журнал «Советская школа» (на литовском языке) № 3, 1966 г.

7. Б. Бальчитис. Уроки на повторение умножения и деления в I-IV классах. Тезисы докладов научно-методической конференции 1963 г. Шяуляйского педагогического института им. Прейкшаса по вопросам повышения эффективности уроков. Изд. «Гитнагас», Шяуляй, 1963 (на литовском языке).

8. Б. Бальчитис. К вопросу об изучении деления в младших классах начальной школы. Тезисы докладов на республиканской научно-методической конференции преподавателей педагогических учебных заведений. Изд. «Вайздас», Вильнюс, 1964 (на литовском языке).

9. Б. Бальчитис. С чего начинать обучение математике. Тезисы докладов научно-методической конференции 1964 г. Шяуляйского педагогического института им. К. Прейкшаса. Изд. «Титнагас», Шяуляй, 1964 (на литовском языке).