АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

Н. А. БАЛАКИН

ИЗУЧЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫХ СВОЙСТВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ НА ПЛОСКОСТИ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук

А. И. ФЕТИСОВ

Москва — 1966

Наше время характеризуется активным проникновением математики во все отрасли человеческих знаний. В свою очередь под влиянием требований со стороны других наук сама математика претерпевает глубокие изменения.

Этот глубокий процесс развития математики как науки, вполне естественно, должен оказать влияние на развитие математики как учебного предмета. Влияние это должно отразиться как на методах преподавания, так и на содержании изучаемого школьниками материала.

Изменение содержания учебного материала нашло отражение во введении в школьный курс математики понятия множества, идеи функциональной зависимости, теоретико-групповых представлений и в более широком применении алгоритмов.

Одной из современных и перспективных идей является учение о структурах, лежащее в основе всей математики. В настоящее время выделены пока три типа структур: алгебраическая структура, структура порядка и топологическая структура.

Алгебраическая структура характеризуется тем, что указывается некоторое отношение (называемое композицией) между тремя элементами, которое однозначно определяет третий элемент как функцию первых двух. Наиболее доступным представителем алгебраической структуры в смысле его восприятия учащимся является понятие группы — одно из важнейших обобщающих понятий в математике. В геометрии наиболее существенное значение в этом отношении имеет группа геометрических преобразований.

Построение школьного курса геометрии на основе геометрических преобразований является самым естественным путем сближения геометрии как учебного предмета с геометрией как наукой. Однако, в имеющихся руководствах по геометрии, предназначенных для использования их в школе, не уделено достаточно внимания одной из наиболее важных особенностей такого построения — связи его с общей теорией групп.

Поставленная в настоящей диссертации проблема состоит в том, чтобы исследовать возможность ознакомления учащихся старших классов с основами теории групп и разработать систему изложения простейших теоретико-групповых свойств геометрических преобразований на плоскости. Эта общая проблема имеет частные аспекты: 1) определить объем и содержание материала

по теории групп геометрических преобразований; 2) разработать доступный для учащихся формально-оперативный аппарат группы геометрических преобразований, основой применения которого являются свойства композиций (произведений) движений и подобий; 3) определить методические принципы применения разработанной системы изложения; 4) определить место и формы применения теории групп геометрических преобразований в обучении математике старшеклассников.

Данная проблема определила следующую структуру диссертации, состоящей из введения, заключения и четырех глав:

Глава I. Анализ учебной литературы с точки зрения развития идеи геометрических преобразований как средства формирования теоретико-групповых понятий.

Глава II. Система изложения в старших классах средней школы теоретико-групповых свойств геометрических преобразований движения и подобия.

Глава III. Методика изучения теоретико-групповых свойств геометрических преобразований в старших классах средней школы.

Глава IV. Организация и описание эксперимента.

При работе над диссертацией изучалась отечественная и зарубежная литература по данной проблеме, анализировался личный опыт преподавания в школе, проводилась экспериментальная проверка основных положений диссертации.

Первая глава

В этой главе дан анализ отечественной и зарубежной литературы, касающейся теории групп и ее применения в школьных курсах геометрии.

Здесь на примерах ряда учебников и учебных пособий показано развитие идеи геометрических преобразований как средства формирования теоретико-групповых представлений в русской дореволюционной и советской школе.

Уже начиная с XVIII в., идея геометрических преобразований находит применение в школе. Преобразование одной фигуры в другую с помощью определенных правил нашло значительное отражение в одной из первых печатных светских книг в России «Геометриа славенска землемерие» (1709 г.). Зачатки теоретико-групповой трактовки геометрических преобразований наметились в трудах. С. Гурьева, П. Татаринова, М. Е. Ващенко-Захарченко (XIX в.).

Большое влияние на преподавателей математики в России оказали идеи Ф. Клейна, Э. Бореля, М. Симона (конец XIX в. и начало XX в.). Разрабатывая основные принципы школьного курса геометрии, Э. Борель писал: «Преподавание геометрии не позже, чем через несколько десятков лет, получит новый фундамент... Он заключается в положении, что элементарная геометрия эквивалентна исследованию групп движений»1).

В советский период геометрические преобразования и связанные с ними идеи теории групп нашли наиболее полное отражение в учебниках и учебных пособиях Н. А. Глаголева, А. И. Фетисова, В. Г. Болтянского и И. М. Яглома.

Анализ учебной литературы русской дореволюционной и советской школы показывает, что в связи с проникновением в школьную геометрию идеи геометрических преобразований, элементы теории групп начинают постепенно находить свое место в школе.

При анализе зарубежной литературы исследованы формы и методы изложения основных положений теории групп. В диссертации наиболее подробно рассмотрены учебные пособия французской, немецкой, английской и польской школ. Выяснено, что теория групп проникает в программы и учебники большинства стран (по крайней мере европейских). Формы введения этой теории — самые различные. Наибольшее распространение получило изучение групп на примере геометрических преобразований. Основная цель введения этого понятия заключается в обобщении математических сведений, в систематизации знаний. Однако, использование обобщающих свойств математических и, в частности, геометрических объектов при решении конкретных задач и доказательства теорем — т. е. применение теории к практике — в учебниках «и программах школ большинства стран или совсем не представлено, или представлено в очень слабой степени.

Вторая глава

В этой главе дана система изложения простейших теоретико-групповых свойств геометрических преобразований на плоскости. Она состоит из двух разделов: в первом разделе рассматривается группа движений, во втором — группа подобий. Идейной основой этой системы изложения являются: идея геометрических преобразований в курсе геометрии и элементарные сведения из общей теории групп. Одной из главных особенностей предлагаемой системы является применение специальной символики.

1) Э. Борель. «Элементарная математика, ч. II. Геометрия». Одесса, 1912 (стр. XV).

Понятие геометрического преобразования характеризуется как всякая операция (правило, закон соответствия), позволяющая по заданной геометрической фигуре (прообразу) однозначно находить соответствующую ей фигуру (образ); при этом имеется в виду, что и обратно: каждому образу соответствует один и только один прообраз. При этом рассматриваются только точечные коллинеарные преобразования.

Преобразование точки А в точку А' символически записывается в виде: A' s= а (А); преобразование прямой а в прямую а' — в виде: а7 = а(а).

Преобразование, которое оставляет неподвижными все точки плоскости, называется тождественным или единичным; такое преобразование обозначают символом 1, т. е. в этом случае а =1.

Если точка А посредством преобразования а переходит в точку А7, то преобразование, переводящее точку А/ в точку А, называется обратным данному и обозначается: а-1.

Среди всех преобразований могут быть и такие, которые совпадают со своими обратными, но не являются тождественными: а = а-1, < х. Ф\. Такие преобразования называются инволюционными.

Последовательное выполнение двух или нескольких преобразований называют умножением, а результирующее преобразование — произведением.

Общее понятие группы дается в следующем виде:

Группой называется всякое множество G элементов, в котором выполняются следующие условия:

1) На множестве определена групповая операция, называемая композицией или умножением, ставящая в соответствие каждой паре элементов f и g некоторый элемент h из этого же множества. Это соотношение обозначается: f*g = h. Элемент h называют произведением, элементы f и g — сомножителями.

2) Композиция обладает ассоциативным свойством:

f-(g-h) = (f. g). h-f. g. h

3) Множество G содержит единичный элемент е, такой, что каков бы ни был элемент f из множества G, имеет место соотношение:

e-f = f-e = f

4) Вместе с любым элементом f множество G содержит элемент, обозначающий 1 и называемый обратным, такой, что имеет место соотношение:

f-l. f = f. f-l =€

Далее приводятся некоторые свойства группы:

1) Произведение f-g, вообще говоря, переместительным свойством не обладает.

2) (f,. f2. f3 -.... fn)-> = fn-i -... - f3-» - f2-1 - fr1

3) f • f • f •... - f =* fn

4) (f_I)m = f-m; fm • fn = fm+n

5) Элемент f называется трансформацией элемента g при помощи h, если имеет место соотношение:

f = h“1 -g. h

Совокупность геометрических преобразований образует группу, так как элементы этой совокупности удовлетворяют всем четырем условиям, характеризующим группу.

Изучение группы движений начинается с понятия осевой симметрии, которая характеризуется как точечное инволюционное преобразование, при котором: 1) остаются ноподвижными все точки постоянной прямой — оси симметрии; 2) прямая преобразуется в прямую, отрезок — в равный отрезок, угол — в равный угол. Преобразование осевой симметрии относительной прямой f обозначается этой же буквой f.

Центральная симметрия О с центром в точке О представляется как произведение двух осевых симметрий f • g с осями, проходящими через точку О и взаимно перпендикулярными, при этом одну из осей можно выбрать произвольно. Так как преобразования f, g и О являются инволюционными, то

f. gsOsO-'s(f. g)-' =g-'. f-'sg. f,

т. е. произведение в этом случае обладает переместительным свойством. Таким образом, в случае центральной симметрии имеет место тождество:

О = f • g = g. f

Параллельный перенос с вектором m представляется как произведение двух осевых симметрий f-g с осями f и g, перпендикулярными к вектору m, причем направленное расстояние между f и g равно — и одну из осей можно выбрать произвольно.

Вращение 0< о с версором оз и центром О также представляется; В: виде произведения двух осевых симметрий f-g с осями, проходящими через точку О, причем версор между f и g равен — и одну из осей можно выбрать произвольно.

Произведение Oi-Ог двух центральных симметрий Oi « О2 есть параллельный перенос с вектором 2O1O2. Произведение Oi-02'Оз трех центральных симметрий есть центральная симметрия: Oi-02*09 s О. Это произведение обладает следующим свойством:

Oi-02-Оз =03-02-Oi

Произведение О'а-O''ß двух вращений О'а и 0“ß есть вращение Oa + ß, если а + ß :£2я; оно является параллельным переносом, если a + ß = 2я.

., Скользящая симметрия характеризуется как произведение f-g-li трех осевых симметрий с осями f и g, параллельными между собой, и осью h, перпендикулярной к первым двум осям. Если три оси f, g и h не лежат в пучке прямых (т. е. не пересекаются в, одной точке и все три не параллельны между собой), то произведение f-g-h всегда приводится к скользящей симметрии.

Необходимое и достаточное условие принадлежности трех прямых f, g и h пучку прямых характеризуется тождеством: f-g-h =k, где k — четвертая прямая, принадлежащая этому же пучку; при этом версор между f и g равен версору между к и h. Произведение f-g*h в этом случае обладает свойством f. g. h = h-g'f, или что то же:

(f. g-h)2^l

Собственно конгруэнтными фигурами называются такие, которые получаются одна из другой с помощью произведения четного числа осевых симметрий; несобственно конгруэнтными — с помощью произведения нечетного числа осевых симметрий. В силу теоремы Бернулли-Шаля, две собственно конгруэнтные фигуры можно единственным образом преобразовать друг в друга с помощью произведения двух осевых симметрий, т. е. с помощью вращения или параллельного переноса. Две несобственно конгруэнтные фигуры можно преобразовать друг в друга с помощью одной или, самое большее, трех осевых симметрий, т. е. с помощью осевой симметрии или скользящей симметрии.

В силу этих соображений, множество преобразований осевой симметрии, вращений (центральную симметрию можно рассматривать как частный случай вращения), параллельного переноса и

скользящей симметрии образуют группу, так как это множество удовлетворяет всем условиям группы. Это множество называют группой движений. Группа движений имеет подгруппы: подгруппа параллельных переносов и вращений.

Между свойствами произведений движений и свойствами геометрических объектов имеется глубокая связь. Так, если поставим в соответствие прямым осевые симметрии, а точкам — центральные симметрии, то отношениям между элементами группы движений (в данном случае элементами группы являются осевые и центральные симметрии) будут соответствовать определенные отношения между геометрическими объектами — прямыми и точками.

Приведем примеры таких соответствий:

Теоретико-групповые отношения

Геометрические отношения

прямые f и g перпендикулярны точка F принадлежит прямой g прямые f, g, h и к лежат в пучке, причем Z fg = Z kh, или направленное расстояние между f и g равно направленному расстоянию межцу к и h

а) прямая g есть биссектриса угла, образуемого прямыми f и h;

б) прямая g есть ось полосы, образуемой параллельными прямыми f и h

точка F является точкой пересечения прямых f и g

прямая f есть симметраль отрезка FG

четыре точки F, G, H и К образуют параллелограмм

G есть середина отрезка FH

точка S есть точка пересечения медиан (центр тяжести) треугольника ABC

В диссертации приведены примеры и других отношений. Эти отношения используются при решении задач и доказательстве теорем.

Приведем примеры решения задач с использованием свойств произведений движений.

Задача. Дан треугольник ABC со сторонами а, Ь, с и точка О, которая соединена с его вершинами. Прямые АО, ВО, СО отражаются относительно биссектрис соответствующих углов А, В, С. Доказать, что полученные три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Решение. Обозначим прямые АО, ВО, СО соответственно через f, g и h, а симметричные им прямые — через F, g' и h', тогда из условия задачи имеем:

f'. b= a-f

g'-CEEE b-g

h7 • a == с • h

Умножив «справа» обе части первого тождества на Ь, второго — на с, третьего — на а и зная, что b • b = 1, с • с == 1, а • а — 1, получим:

f'= a-f-b g7 = b • g • с h' = с - h - a

Перемножим полученные тождества:

f • g' • h' = a-f-b-b-g-c-c-h-a = a- f- g- h- a

Но прямые f, g, h лежат в пучке и поэтому произведение f-g-h равно осевой симметрии, обозначим ее через к. Тогда получим: f'-g'-h'^ а «к-а. Прямые а, к, а, конечно, лежат в пучке и поэтому произведение а-к-а равно осевой симметрии; обозначим ее через т. Тогда получим:

f'. g'. h'=m

Последнее тождество означает: прямые f, g', h' лежат в пучке, т. е. или пересекаются все в одной точке, или параллельны.

Задача. В произвольном выпуклом шестиугольнике соединены через одну середины сторон. Доказать, что точки пересечения медиан двух образовавшихся треугольников совпадают.

Решение. Обозначим середины сторон AB, ВС, CD, DE, EF, FA соответственно через X, V, Z, U, V, W. Подвергнем точку А преобразованию Х-V-Z-U-V-W. Нетрудно заметить, что она преобразуется сама в себя. Произведение шести центральных симметрий есть параллельный перенос, имеющий к тому же неподвижную точку. Следовательно, это произведение является тож-

дественным преобразованием, т. е. Х-V-Z-U-V-W =1. Далее возьмем центр тяжести S треугольника XZV и, зная, что S-S =1, предыдущее тождество запишем в виде:

x-s-s-y-z-s-s-u-v-s -S-W=l

Паралелльные переносы X-S, S-V, Z-S, S-U, V-S, S-W обладают переместительным свойством. Поэтому можем записать:

x. s-z-s-v-s-s-y-s-u-s-w=i

Умножением «справа» обеих частей этого тождества последовательно на W, S, U, S, V, S получим:

x-s-z-s-v-s= w-. s-u-s«y-s

Так как X-S-Z-S-V-S = 1, то и W-S-U-S-y*S = 1, а это означает, что точка S есть точка пересечения медиан треугольника wuy.

Изучению основных свойств произведений преобразований подобия предшествует материал об операторах растяжения и об операторах поворота и растяжения (z — операторы), являющихся расширением понятия действительного числа.

Преобразование фигуры в собственно подобную ей фигуру приводится к произведению гомотетии и вращения, имеющих один и тот же центр. Это преобразование мы называем поворотным растяжением и обозначаем символом Sz.

Произведение S'2l •S//z2 поворотных растяжений S'z1 и S“z2 с центрами S' и S“ и z — операторами соответственно Zi и z2 равно поворотному растяжению с центром S и z — оператором, равным произведению ziz2, т. е.

Центр S можно найти с помощью одной из следующих формул:

Используя эти равенства, можно вывести формулы для нахождения центра поворотного растяжения, являющегося произведением трех и более поворотных растяжений.

В случае, если z\z2 = 1, то произведение двух поворотных растяжений S'Zi “S“ Z2 является параллельным переносом с вектором m, определяемым с помощью равенства:

(l_z2) S7^“

Гомотетии есть частные случаи поворотных растяжений, z — операторы которых являются действительными числами к. Поэтому все выводы, касающиеся поворотных растяжений, распространяются и на гомотетии.

Если даны две несобственно подобные фигуры, то одну из них можно преобразовать в другую с помощью произведения SK *f гомотетии S к и осевой симметрии f с осью f, проходящей через центр S гомотетии SK. Это преобразование мы называем растяжным отражением. Если через центр S проведем прямую g, перпендикулярную f, то произведение Sk-f равно произведению S-K- g.

В заключение второй главы дается классификация подгрупп в группе подобий.

Третья глава

В диссертации выделены основные методические принципы, которыми мы руководствовались при изложении теоретико-групповых свойств геометрических преобразований:

I. Принцип всестороннего освещения каждого понятия, факта, явления расширяет кругозор учащихся, помогает формировать у школьника диалектический подход к изучаемому явлению. Изучение теоретико-групповых свойств геометрических преобразований позволяет рассматривать знакомые геометрические факты с другой точки зрения. Материал, к которому учащиеся подходят различными путями, приобретает большую рельефность в сознании ученика. Принцип всестороннего освещения явлений имеет еще одну важную особенность: он помогает установить связь геометрии с другими математическими предметами.

II. Существенное значение при обучении математике имеет необходимость привития учащимся умений и навыков обобщать. Значение обобщений с методической точки зрения определяется следующими факторами:

а) Умение обобщать приводит в систему полученные знания.

б) Зная общую структуру изучаемой математической закономерности, учащийся сознательно и творчески усваивает материал.

в) Умение обобщать дает возможность при изучении новой темы связывать ее более глубоко с ранее известными знаниями.

г) Установленная путем обобщения «иерархия» математических знаний способствует формированию логического мышления, правильно формирует творческие искания, изгоняет хаос из процесса мышления.

III. Важной особенностью обучения является необходимость давать учащимся общие идеи, конкретизированные определенным образом. Примером такой конкретизации является применение общей теории групп к группе геометрических преобразований. Но применение общих положений понятия группы к группе геометрических преобразований потеряет учебную ценность, если только свойства композиций общей теории групп мы механически перенесем на группу геометрических преобразований, ограничившись констатацией того факта, что множество рассматриваемых преобразований, обладая определенными признаками, является группой. Необходимо, чтобы эти теоретико-групповые свойства геометрических преобразований нашли применение при решении хотя бы некоторых геометрических задач и доказательстве теорем. В противном случае введение более общей теории явится неоправданным.

IV. Следующий методический принцип хорошо характеризуется словами Я. С. Дубнова: «... на расширении идейного содержания предмета растет не только ученик, но и его учитель, а это... благотворно действует на преподавание, объектом которого является ученик»1).

Предлагаемая система изложения существенным образом опирается на символику. Известно, что хорошо разработанная символика способствует развитию культуры мышления, потому что с ее помощью осуществляется до конца логическая схема рассуждения, четкая расчлененность хода рассуждения и лаконизм мышления.

Основные особенности применяемого нами формально-оперативного аппарата заключается в следующем:

1) этот аппарат опирается на групповые свойства геометрических преобразований;

2) употребляемая нами символика служит не только формой сокращения записи ряда математических понятий, но она является необходимым инструментом рассуждений, с ее помощью достаточно просто разрешаются некоторые вопросы геометрии, которые другими методами решаются более сложно и громоздко;

3) символика способствует более глубокому развитию абстрактного мышления;

4) символика, применяемая нами, вполне доступна для понимания учащихся, так как она является развитием той символики,

1) Я. С. Дубнов. «Беседы о преподавании математики», М., изд. «Просвещение», 1965, стр. 153.

которая применяется для изучения общих свойств функций, ставших в последние годы предметом изучения их в школе.

При рассмотрении теоретико-групповых свойств геометрических преобразований большую роль играет решение геометрических задач и доказательство теорем. Основная схема решения задач сводится к следующим этапам:

1. Данные геометрические отношения, имеющиеся в условии задачи, переводятся на «язык» теории групп.

2. Используя теоретико-групповые свойства геометрических преобразований, решаем задачу на «языке» теории групп, в результате чего получаются отношения между элементами группы.

3. Полученные теоретико-групповые отношения переводим на «язык» геометрических отношений между фигурами и их частями. Эти геометрические отношения и являются решением задачи.

Для привлечения более активного внимания учащихся к теоретико-групповым свойствам геометрических преобразований полезно решать те задачи, которые методами, отличными от теоретико-группового, решаются труднее. Конечно, нельзя утверждать, что теоретико-групповой подход к решению задач является универсальным. Он занимает такое же место в системе обучения, как и другие методы (например, методы геометрических мест, методы аналитической геометрии, методы векторной алгебры, графические методы и т. д.). Выбор того или иного метода зависит от характера задачи. В диссертации для сравнения даются примеры решения задач, с одной стороны, с применением теоретико-групповых свойств геометрических преобразований, с другой — с применением обычно употребляемых в школе методов.

Изучение теоретико-групповых свойств геометрических преобразований следует осуществлять после того, как учащиеся ознакомятся с самими геометрическими преобразованиями. Одновременное изучение геометрических преобразований и их теоретико-групповых свойств приводит к путанице, делает знания учащихся неустойчивыми. Поэтому мы рекомендуем следующий основной путь формирования теоретико-групповых представлений в школьном курсе геометрии: после того, как изучены геометрические преобразования (движений и подобий), надо дать общее понятие группы и ее простейших свойств, показать, что совокупность геометрических преобразований образует группу, и затем рассмотреть изученные геометрические преобразования с теоретико-групповой точки зрения.

Четвертая глава

Экспериментальная проверка основных положений диссертации проводилась автором в 1964/65/66 учебные годы в 9-х классах школ № 315 и № 444 г. Москвы и частично в специализированной

школе-интернате при МГУ, а также в 9-х классах школы № 28 г. Хабаровска учительницей 3. Н. Наумовой. В декабре 1965 г. и январе 1966 г. автором проведены занятия по материалам второго раздела второй главы (группа подобий) в юношеской математической школе при Хабаровском педагогическом институте.

В ходе эксперимента необходимо было выяснить: а) удовлетворяет ли разработанная система изложения материала требованиям доступности и тому научному уровню, который предлагается в диссертации; б) какие разделы изучаемого материала вызывают у учащихся наибольшие затруднения и каковы пути устранения этих затруднений; в) в чем заключаются особенности методических приемов при изучении элементов теории групп геометрических преобразований по предложенной системе.

Эксперимент проводился в два этапа.

Первый этап — 1964/65 учебный год — это поисковый эксперимент, в ходе которого отбирался необходимый материал, уточнялись объем и структура предварительно составленных учебных материалов, создавалась основа для проведения второго этапа.

Структура учебных материалов основывалась на следующем принципе: одновременное изучение геометрических преобразований и теории групп этих преобразований должно оказать положительное влияние на качество усвоения знаний, так как геометрические и групповые свойства преобразований тесно переплетаются и органически связаны друг с другом. Кроме того, в общеобразовательной школе в настоящее время геометрические преобразования не изучаются, а чтобы познакомить учащихся с теорией групп геометрических преобразований, надо предварительно ознакомить их с самими преобразованиями и их простейшими свойствами. Расчет был основан, таким образом, на том, чтобы в целях экономии времени объяснить две идеи — идею геометрических преобразований и идею теории групп преобразований, подчинив первую второй. Мы предполагали, что если все геометрические преобразования движения и подобия изучить сначала, а их групповые свойства потом, то такой порядок значительно отдалит окончательную цель: применение теоретико-групповых свойств к доказательству теорем и решению задач. При таком порядке изучения неизбежны повторения одного и того же материала, что, как нам казалось, может утомить учащихся и тем самым снизить их активность.

Однако, в ходе эксперимента скоро обнаружились изъяны нашей гипотезы, — знания у учащихся оказались слабыми. Анализ устных ответов и письменных работ показал, что плохое качество знаний есть результат распыленности сил учащихся: изучение двух больших идей, не разделенное во времени, внесло путаницу в мышление учащихся. Поэтому нам пришлось уже в процессе

первого этапа эксперимента перестраиваться, в результате чего появилась вторая гипотеза: изучение сначала геометрических преобразований, а затем рассмотрение этих преобразований с точки зрения теории групп окажет лучшее влияние на качество знаний и будет способствовать расширению кругозора учащихся.

Проверка этой гипотезы проводилась на втором этапе эксперимента в 1965/66 учебном году. То, чего мы опасались, выдвигая рабочую гипотезу первого этапа — повторение одних и тех же разделов как при изучении геометрических преобразований, так и при изучении их теоретико-групповых свойств может стать скучным занятием и не будет способствовать активности учащихся — не подтвердилось. Учащиеся с интересом воспринимали новую трактовку уже знакомых понятий. Повторение стало не формальной обязанностью, а творческим процессом, — это уже было, вообще говоря, не повторение, а узнавание «старых» понятий в новом свете.

Устные ответы и контрольные работы показали, что учащиеся сознательно усваивают предлагаемый им материал, их кругозор значительно расширяется.

В итоге эксперимента появилась система изложения, которая может быть рекомендована учителю и учащимся для проведения занятий в школе.

* * *

Исследование по теме диссертации дает основание сделать следующие выводы:

1. Анализ учебной литературы и программ советской школы и школ ряда зарубежных стран говорит о том, что теория групп становится в настоящее время предметом рассмотрения ее в школе, причем в большинстве случаев эта теория изучается на примере групп геометрических преобразований.

Применение законов композиции сближает геометрию с другими дисциплинами в том отношении, что оно дает возможность увидеть в геометрии те же самые общие законы, которые присущи остальным математическим предметам, изучаемым в школе. Знакомясь с простейшими теоретико-групповыми свойствами геометрических преобразований, школьник впервые познает, что общие законы операций над действительными числами применимы к некоторым операциям над объектами совершенно другой породы.

2. В диссертации поставлен вопрос о возможности осуществления нового подхода к изучению геометрии и показано, что такой подход вполне себя оправдывает. Предлагаемая система изложения теоретико-групповых свойств геометрических преобразований является доступной для учащихся старших классов и может быть

рекомендована в настоящее время для изучения ее в специализированных математических школах, на факультативных занятиях по математике в общеобразовательной школе и в юношеских математических школах при пединститутах. В последующем, когда курс геометрии будет построен на основе геометрических преобразований, эта система может быть предложена для изучения на уроках математики в общеобразовательной школе.

3. Изучение уже знакомого учащимся геометрического материала с другой точки зрения способствует более глубокому восприятию довольно сложных понятий, ибо новая точка зрения дает возможность передать мысли и факты в форме, могущей заинтересовать ученика и увлечь его воображение. Теоретико-групповой подход к изучению геометрии знакомит учащихся с новым методом решения задач и доказательством теорем, основанном на применении новой символики. Введение этой символики позволяет наиболее экономно освоить этот метод.

4. Предлагаемая система содействует выполнению двух задач повышения математической культуры учащихся, а именно: а) классификации геометрических знаний, б) применения теории групп геометрических преобразований для более глубокого раскрытия свойств тех множеств, на примере которых изучаются элементы теории групп.

5. Изучение теории групп геометрических преобразований дает наиболее эффективный результат в том случае, если курс восьмилетней школы построен на идее геометрических преобразований. Тогда теория групп геометрических преобразований явится логическим завершением курса школьной геометрии.

6. Новый подход к изучению геометрии создает благоприятные условия для продолжения образования в высшей школе и способствует развитию исследовательских навыков. Методы изучения свойств композиций движений и подобий могут быть в дальнейшем распространены на аффинные и проективные преобразования, изучаемые в высшей школе.

* * *

По теме диссертации автором опубликованы следующие работы:

1. «Использование свойств произведений осевой и центральной симметрий на плоскости при доказательстве теорем и решении задач». В кн. : «Вопросы методики преподавания математики в школе», Хабаровск, изд. Хабаровского гос. пед. института, 1966.

2. «Групповые свойства центральных симметрий в применении к решению задач на доказательство». В кн. : «Новые идеи в преподавании геометрии в школе» (под ред. А. И. Фетисова), М., изд. «Просвещение», 1966.

Л 124297_Тираж 200 экз. _Заказ 7393

Типография, ул. Дзержинского, 48