МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

М. Э. БАДАЛОВ

К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ АЗИИ С IX ПО ПЕРВУЮ ПОЛОВИНУ XIX в.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — член-корреспондент АПН РСФСР, Заслуженный деятель науки РСФСР, профессор И. К. АНДРОНОВ

МОСКВА-1965

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Доктор физико-математических наук, профессор Розенфельд Борис Абрамович.

2. Кандидат физико-математических наук Собиров Гадойбой.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте имени Н. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10-а)

__1965 г.

Автореферат разослан ___ 1965 г.

Секретарь Ученого Совета (И. Л. Холодова)

Народы Средней Азии наряду с другими нациями внесли большой вклад в мировую культуру.

Как показывают факты, математико-астрономические науки занимали важное место среди других наук среднеазиатских народов. Развитие этих наук сыграло значительную роль в постановке математического образования не только среднеазиатских народов, но и народов других стран.

В течение многих веков народы, издавна населяющие территорию Средней Азии, часто подвергались нашествию иноземных орд, что вело к истреблению различных памятников культуры, к которым относились также и научные рукописи, большая часть которых была утеряна и это затрудняло изучение многовековой культуры народов Средней Азии. К этому надо добавить, что до Октябрьской революции изучение истории среднеазиатских народов вообще не поощрялось. После Октябрьской революции началось изучение самобытной культуры народов Средней Азии. Учеными была поставлена большая и важная задача полного исследования богатейшего научного наследия среднеазиатских народов.

До последнего времени внимание наших ученых было сосредоточено главным образом на исследовании вопросов истории математико-астрономических наук и мало останавливались на кропотливом исследовании, относящимся к вопросам истории математического образования в Средней Азии.

В последние два десятилетия появилось несколько работ, посвященных изучению истории преподавания арифметики. Мы имеем в виду диссертации Мухеммедиева X., Халилова А. А., Ахмедова С. А.

Однако специальных работ, посвященных изучению вопросов истории преподавания алгебры и геометрии в Средней Азии до сих пор не было. Вследствие чего до сих пор нет полного представления о характере преподавания математики в учебных заведениях того времени и развитии математического образования, как единого процесса.

Поэтому мы поставили себе цель изучить и проанализировать содержание и методы изложения алгебры и геометрии в учебных заведениях с IX по первую половину XIX века, как

по опубликованным работам многих авторов, так и по найденным нами неопубликованным рукописям Махмуда ибн ал-Вусуди, Низама Нишапури, Роушен Али Джумбури, Наджмеддин Алихана и неустановленного автора «Тетради по арифметике и измерению», и тем самым несколько восполнить тот пробел, который существует в исследовании научного наследия в области математического образования народов Средней Азии.

Диссертация состоит из введения и четырех глав. Изложим краткое содержание всех разделов диссертации.

Введение. Здесь дается история математического образования в связи с историческим развитием культуры народов Средней Азии.

В те далекие времена в Средней Азии математическое образование было поставлено уже довольно высоко и по своему уровню не только не уступало уровню математического образования в европейских странах того времени, но и по ряду моментов превосходило этот уровень.

Следует особо отметить, что основную роль в развитии математического образования сыграли сами ученые математики, которыми так богаты были народы Средней Азии тех времен.

Конечно, общее образование было сосредоточено в высшей духовной школе медресе, где основное руководство осуществляли муллы и другие представители духовенства. Однако математическое образование направлялось и осуществлялось преподавателями и учеными математиками.

Глава I

Состояние математического образования в школах Средней Азии с IX по первую половину XIX в.

В первом параграфе рассматривается история возникновения школ на территории Средней Азии в связи с историей математического образования и историей математики. Описываются школы времен IX—XIX веков.

В частности, приводится описание очевидца Среднеазиатских высших учебных заведений второй половины XIX века одного русского писателя В. В. Крестовского, который дает яркую картину школы и проходимых предметов в ней. Попутно здесь собраны фотоснимки из различных сборников и рукописей, характеризующих внешнюю культуру образования.

Во втором параграфе дается общий обзор учебных пособий по математике, употреблявшихся в высших школах Средней Азии с IX по первую половину XIX века и их роль в развитии математического образования народов Средней Азии, а также краткая характеристика наиболее употребительных пособий и формы изложения материала в них.

Учебные пособия, используемые при обучении математике в рассматриваемый период, можно подразделить на два вида:

1. Специальные учебные пособия, в которых систематически излагается тот или иной математический предмет с учетом методики обучения, часто в особой форме, как, например, с употреблением таблиц или в стихотворной форме.

2. Учебные пособия, создаваемые на базе научных трактатов известных ученых с комментариями более поздних ученых и преподавателей.

Учебные пособия первого вида, употреблявшиеся в медресе, отличались от используемых ранее тем, что в одних учебных пособиях, например, ал-Хорезми, ал-Вусуди, ал-Караджи, (XI—XIII в.) в алгебраические разделы вносились геометрические доказательства решения квадратных уравнений. В других учебных пособиях авторов Низама Нишапури, ал-Каши, ал-Кушчи (XIV—XV в.в.) геометрические доказательства в разделах алгебры опускаются, но во всех разделах математики широкое применение, для удобства вычислений, получают разного рода таблицы. А также, начиная с пособия ал-Каши, стали употреблять в разделах геометрии при вычислении площадей и объемов геометрических фигур синус и косинус острого угла.

Позднее, в XVI—XIX веках в связи с развитием литературы и поэзии появилась стихотворная форма изложения правил в математических учебниках. Так, Наджмеддин Алихан в XVII в. составил руководство по алгебре, в котором правила излагались в стихотворной форме.

К учебным пособиям второго вида мы относим: комментарии к краткому курсу арифметики Бахаэддина, составленные Исматулло Бухарским, Роушен Али Джумбури и «Тетрадь по арифметике и измерению». В эти руководства вносились исправления правил, даваемых в предшествующих пособиях, доказательства, в которых ссылались на древнегреческих ученых Евклида и Архимеда, а также стихотворное изложение арифметических задач, геометрических правил. Например, вычисление площади треугольника как функции сторон так называемая формула Герона дается в нижеследующем стихотворении:

Из полусуммы трех сторон различных

Ты вычти сторону одну

Но вслед за той

Другую вычти, третью ...

Теперь остатки перемножишь меж собой.

Есть результат, его умножь ты снова

На полусумму этих трех сторон

Из данного второго результата

Тобой быть должен корень извлечен

Он станет площадью

Глава II

Анализ найденной рукописи XIII века (1229 г.) Махмуда ибн ал-Вусуди «Лубоб ал-хисаб» (Сердцевина счета)

В этой главе дается исследование научного трактата ал-Вусуди «Сердцевина счета», служившего базой для учебных пособий по математике.

Мы выбрали этот трактат по следующим соображениям:

1. Научные трактаты таких известных авторов, как ал-Хорезми, ал-Караджи, ал-Каши, ал-Кушчи, также служивших базой для учебных пособий, уже достаточно исследованы в нашей историко-математической литературе А. П. Юшкевичем, Б. А. Розенфельдом, Г. Собировым, С. А. Ахмедовым и другими, между тем, как трактат ал-Вусуди в нашей историко-математической литературе неизвестен и его перевода нет ни на русском и ни на европейских языках, Поэтому исследование этого трактата имеет и самостоятельное научное значение.

2. Трактат интересен еще и тем, что дает возможность уточнить и исправить некоторые ошибочные воззрения в области как истории математики, так и в истории математического образования народов Средней Азии. Поэтому мы сочли своим долгом дать перевод с комментариями научного трактата Махмуда ибн ал-Вусуди.

Перевод математической работы ал-Вусуди выполнен по рукописи, хранящейся в библиотеке института Востоковедения АН Узб. ССР г. Ташкента № 2692/14 л.л. 201—285. К переводу составлены подробные комментарии, при этом наиболее трудные части текста поясняются прямо на полях в современном математическом обозначении. Остальные пояснения приводятся в конце перевода. Числа в скобках представляют ссылки на комментарии.

Сочинение ал-Вусуди было написано в 1229 г., причем в высказываниях, принадлежащих Махмуду ибн ал-Вусуди, говорится:

«Наука арифметики является наукой благородной и все остальные науки нуждаются в ней. И поскольку науки бывают двух видов теологического и естественного характера, то все они нуждаются в арифметике.

Для теологических наук арифметика необходима при исчислении закета (т. е. налога, равного — части имущества), долей наследства при установлении норм духовных завещаний.

Поэтому для разного рода вычислений составлен и закончен в 626 г. хиджры (или 1228—1229 г. по нашему исчислению) этот труд, посвященный славному именитому Ахмеду

ибн Мухаммеду мостоуфи (государственный финансовый контролер), которого автор сопровождал в том же году в г. Тарбанд1 и видел от него много милостей».

Это сочинение, названное «Лубоб ал-хисаб» (Сердцевина счета), состояло, по словам автора, из четырех книг.

Первая книга—о началах арифметики—посвящена арифметике дробных чисел.

Вторая книга — о достопримечательностях арифметики— посвящена теории чисел, нахождению неизвестных при помощи пропорции, нахождению неизвестных методом двух ложных положений, частным решениям неопределенных квадратных уравнений и геометрическим доказательствам правил, употребляемых в алгебре.

Третья книга посвящена геометрии и четвертая — числам. Следует отметить, что перевод сделан для первых двух книг, входящих в рукописный сборник № 2692. Остальные две книги нами пока не найдены. Несмотря на это, первые две книги представляют особый интерес для историков-математиков.

В своем сочинении ал-Вусуди, наряду с использованием словесного обозначения чисел, пользуется также и позиционной системой, при этом числа он записывает на доске, посыпанной пылью или песком.

Первая книга — о началах арифметики. Эта книга разделена на две части:

Первая часть посвящена арифметике целых чисел и состоит из 9-ти глав, в которых излагается нумерация и разряды чисел, действия: удвоение, раздвоение, сложение, вычитание, умножение, деление, извлечение квадратного и кубического корней.

В конце каждой главы дается правило проверки — девяткой.

Ввиду того, что в Средней Азии числа больше тысячи назывались посредством кратного повторения слова тысяча, то ал-Вусуди для чтения больших чисел—помечает для наглядности при записи — соответствующие разряды под ними цифрами: тысячи — единицей, миллионы — двумя, миллиарды— тремя и т. д.

Например, число 19.876.203.465 он записывает следующим образом:

19. 876. 203. 465 3 2 1

При умножении целых чисел ал-Вусуди различает несколько случаев, а именно — простое умножение, прямое, обратное и умножение при помощи нулей. Под простым умно-

1 Тарбанд — часто встречающееся у историков название древней столицы Шаша. См. Бартольд В. В., соч. т. 1, М., 1963 г., стр. 228.

жением он понимает умножение однозначных чисел, где дает десятичную таблицу умножения.

Следует отметить, до исследования труда ал-Вусуди считалось, что в арабоязычной литературе десятичная таблица умножения впервые встречается в сочинении «Талхис» ибн ал-Банна (1251—1351).

В конце первой части первой книги ал-Вусуди, рассматривая прием нахождения приближенного корня третьей степени, дает более точную поправку, чем его предшественник ан-Насави.

Если:

то

В этой же части автор рассматривает извлечение кубического корня при помощи десятичных дробей по правилу, которое в современных обозначениях записывается в виде:

Полученные десятичные дроби он переводит в шестидесятиричные.

Этот прием вычисления с любой степенью точности кубического корня при помощи десятичных дробей в аробоязычной литературе встречается впервые.

Во второй части излагается арифметика обыкновенных дробей, она состоит из 9-ти глав. В ней ал-Вусуди последовательно излагает действия: удвоения, раздвоения, сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного и кубического корней из дроби.

Книга вторая — о достопримечательностях арифметики

Большой интерес представляет собой вторая книга. Она посвящена свойствам чисел, нахождению неизвестного числа методом пропорции, двух ложных положений, некоторым вопросам алгебры, решению неопределенных уравнений. Состоит она из одиннадцати глав.

В первой главе ал-Вусуди приводит определения четных, нечетных, четно-четных, четно-нечетных, простых и составных чисел. Далее дает определения квадратного, плоскостного, кубического, телесного, совершенного, избыточного, недостаточного, дружественных чисел.

В этой же главе он приводит определения подобия плоскостных и телесных чисел, правила нахождения наибольшего

общего делителя нескольких чисел. Глава заканчивается определениями последовательностей натуральных, четных, нечетных, многоугольных и других чисел.

Следует отметить, что разделение целых чисел на четно-четные, четно-нечетные и другие у ал-Вусуди несколько отличается от сходной античной классификации.

Как мы видим уже из первой главы второй книги, ал-Вусуди был хорошо знаком не только с индийской арифметикой, но и с трудами древних греков Евклида и Никомаха Геразского.

Вторая глава посвящена определению свойств тех чисел, которые были приведены в первой главе. Здесь автор рассматривает свойства двух дружественных чисел на примере следующей пары: 17296 и 18416.

Следует отметить, что до сих пор эта пара считалась впервые найденной П. Ферма (1601—1665). Однако найденная нами рукопись указывает на то, что эта пара дружественных чисел была уже известна среднеазиатским ученым-математикам еще в начале XIII века.

Приведя свойство дружественных чисел на примере выше приведенной пары ал-Вусуди дает общее правило для нахождения пары чисел, обладающих таким свойством, которое в современной общеалгебраической записи можно представить:

Пусть 2n+1—четно-четное число, удовлетворяющее первому из четырех условий, т. е. (2n+1-- 1) — простое число. Число, удовлетворяющее второму условию, находится из выражения:

где р — простое число.

Третье простое число «q» должно удовлетворять третьему условию:

и, наконец, простое число «г», соответствующее последнему условию, будет

Тогда первым числом из двух дружественных будет:

а вторым

Это правило, впервые найденное арабским математиком Сабит ибн Корра (IX в.), считалось забытым и вновь открытым П. Ферма и опубликованным без доказательства Р.Декартом1.

Однако, как мы видим сочинение ал-Вусуди дает это правило, что указывает на то, что данное правило не было забыто и употреблялось среднеазиатскими математиками.

В третьей главе приводится правило для нахождения суммы числовых последовательностей: натуральных, четных, нечетных, кубических и многоугольных чисел, а также определение числа членов этих последовательностей по их сумме.

Так, для суммы многоугольных чисел ал-Вусуди дает следующую словесную формулу:

Четвертая глава посвящена действиям : удвоение, раздвоение, сложение, вычитание, умножение, деление над квадратными и кубическими корнями, которые наиболее часто употреблялись в практике. Так, сумму и разность двух кубических корней ал-Вусуди находит по правилу, которое представится в алгебраических выражениях так:

В пятой главе разбираются различные виды отношения и пропорции. В основном, автор выделяет три вида отношений: составное, геометрическое и арифметическое.

Далее ал-Вусуди формулирует ряд свойств равенства отношений величин, изложенных в «Началах» Евклида. Некоторые правила ал-Вусуди у Евклида отсутствуют. В качестве примеров он берет числа. Затем, по свойству пропорции показывает способ нахождения неизвестной величины по трем известным или по пяти известным в составной пропорции.

Шестая глава посвящена решению задач, в которых используются различные свойства пропорций и отношений. Например, автором решаются такого типа задачи.

«Было куплено материи на сто дирхемов, а затем продано с некоторой прибылью. На полученные деньги еще раз купили материи и продали ее в том же отношении, что и в первый раз. От продажи было получено сто двадцать один дирхем. Чему была равна первая и вторая прибыли?»

1 Э. Кольман, История математики в древности, М., 1961, стр. 89.

В этой задаче из соотношения:

находится X =

Затем находят первую прибыль, 110—100=10, тогда вторая прибыль будет равна 121—110=11;

В седьмой главе говорится о нахождении неизвестного методом двух ложных положений. В ней ал-Вусуди распространяет это правило на решение более сложных задач, выражающихся следующей системой трех уравнений с четырьмя неизвестными:

Восьмая и девятая главы посвящаются нахождению неизвестного методом алгебры и мукабалы, решению шести видов уравнений первой и второй степени, а также решению алгебраических задач, путем приведения их к одному из шести видов.

Заметим только, что ал-Вусуди каждое действие начинает с определения его и объяснения. И только после этого дает примеры на практическое применение указанных правил. Исследованная нами рукопись прояснила картину возникновения алгебраической символики. До настоящего времени, ввиду отсутствия документальных данных, было допущено, что во всех дошедших до нас математических трудах Востока от ал-Хорезми до ал-Каши, отсутствовала алгебраическая символика и, что наиболее развитую математическую символику привел в своем трактате «Снятие покрывала с науки губар» западно-арабский ученый — математик Абу-л-Хасан Али ибн Мухаммед ал-Каласади (ум. 1486 г.) (См. А. П. Юшкевич, История математики в средине века., М. 1961 г. стр. 259).

Он в алгебраическом разделе своего труда первую степень неизвестной, квадрат и куб ее обозначал, соответственно, первыми буквами слов «джизр», «шай», «мал» «каъб».

У Вусуди же, жившего в XIII в., имеется алгебраическая символика в зачаточной форме.

Так, у обоих авторов, если в многочлене был вычитаемый член, то перед ним ставился знак илло, т. е. без, или ло— являющейся сокращением «илло».

Хотя ал-Вусуди и не обозначал степени неизвестной в полиноме отдельными буквами, как ал-Каласади, но он также перед вычитаемым членом ставил особый знак и степени неизвестной писал над коэффициентами.

Таким образом, исследованная нами рукопись ал-Вусуди показывает, что уже в первой половине XIII века именно на Востоке возникли зачатки символических обозначений в арабоязычной литературе, что в значительной степени подтверждает гипотезу профессора Юшкевича А. П.

«Символика ал-Каласади столь развита, что невероятно считать ее всецело созданием этого ученого».

В десятой главе даются частные приемы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени вида:

где X, у, z — целые или рациональные числа.

В одиннадцатой главе автором даются геометрические доказательства решения полных квадратных уравнений, операций умножения с прибавляемыми и вычитаемыми членами многочленов, теоремы Пифагора и изображение любой квадратичной иррациональности в виде отрезка прямой.

В этой главе ал-Вусуди не только разбирает все случаи решения полных квадратных уравнений при помощи геометрических построений, но показывает геометрически невозможность решения (в области действительных чисел) квадратного уравнения вида:

Глава III

Анализ преподавания алгебры в Средней Азии с IX по первую половину XIX века на основе как опубликованных учебных пособий, так и неопубликованного пособия Роушена Али

Впервые в истории алгебра выделилась в качестве самостоятельной математической науки в трудах среднеазиатского математика IX века ал-Хорезми, а великим ученым энциклопедистом Омаром Хайямом (1048—1123) был сформулирован предмет этого нового отдела математики и построена относительно систематическая теория.

Первоначальное название алгебры — это ал-джабр ва-л-мукабала. Ученые до XV века под названием ал-джабр и алмукабала понимали два простейших преобразования, приводящие алгебраическое уравнение к приведенному виду.

Кроме вышеприведенных авторов мы можем перечислить ряд ученых, написавших алгебраические трактаты: Абу Камил, ал-Караджи, ал-Вусуди, ас-Саджованди, Низам Нишапури, ал-Каши, ал-Кушчи, Бахаэддин, Наджмеддин Алихан, Роушен Али.

Основным содержанием алгебраических отделов этих трактатов являлось решение уравнения 1-й и 2-ой степени, но помимо квадратных уравнений некоторые из них давали геометрическое решение кубических уравнений.

В математических руководствах, служивших учебными пособиями в медресе, в основном рассматривали решение 6 видов линейных и квадратных уравнений, впервые указанных Мухаммедом ал-Хорезми.

Глава состоит из трех параграфов.

В первом параграфе приводится алгебраическая терминология и методы ее пояснения.

Во втором параграфе показаны правила действий над одночленами и многочленами: сложение, вычитание, умножение, деление с учетом знаков.

Отсутствие математической символики в математике того периода заставляло ученых прибегать к различным методам для более доступного понимания. Например, при умножении многочленов давали таблицу, которая была подобна сеточному умножению многозначных чисел.

В третьем параграфе дается метод решения линейных и квадратных уравнений.

Обычно составление линейных и квадратных уравнений следовало из таких общежитейских задач, как деление наследства, торговых сделок и измерение земельных участков.

Полученные уравнения называли алгебраической задачей. После составления линейных и квадратных уравнений по условию задачи приводили их к шести типам уравнений, которые делились на две группы:

Простые (с двумя членами); Сложные (с тремя членами)

Для приведения уравнения к этим типам как ученые-математики, так и мударисы совершали ряд операций ал-джабр и мукабала, распространение (приведение коэффициента при старшем члене к дробному числу), дополнение (приведение

дробного коэффициента при старшем члене к целому), отказ (приведение коэффициента старшего, члена уравнения к единице, если он больше единицы). Следует отметить, что последние три операции были включены в учебные пособия с XV века.

Покажем на примере в какой последовательности осуществлялись пять преобразований, приводящие уравнение к одному из шести типов.

Пусть условие задачи привело к уравнению:

(ал-джабр)

(ал-мукабала)

(распространение)

(дополнение)

(действие отказ)

Придя таким образом к приведенному виду, решали по формуле:

Глава IV

Анализ преподавания геометрии в Средней Азии с IX по первую половину XIX века на основе как опубликованных учебных пособий многих авторов, так и неопубликованных: Низама Нишапури, Роушена Али, и неустановленного автора «Тетради по арифметике и измерению»

При измерении земель, при постройке дворцов, медресе и мечетей, дамб и других ирригационных сооружений, при украшении залов, куполов и фасадов зданий — всюду возникала потребность в изучении геометрических форм. Поэтому в медресе, наряду с арифметикой дробных и целых чисел, алгеброй, проходили также и геометрию, которая называлась илм ал-масаха (наука об измерении).

Изучение геометрии, в основном, носило практический характер, т. е. сводилось к приобретению тех вычислительных навыков, которые необходимы для измерения площадей и

объемов различных геометрических фигур, встречающихся в жизненной практике.

Глава состоит из девяти параграфов.

В первом параграфе дается история возникновения среднеазиатских мер длины и методы их изучения в медресе.

Во втором параграфе приведены все определения геометрических фигур, изучаемых в медресе и указано какие из них получили развитие.

В третьем параграфе говорится, в основном, в каком порядке использовались мударисами методические приемы при изложении темы «Измерение площадей треугольников».

Четвертый параграф посвящается вопросам изучения методов измерения площадей четырехугольных фигур: квадрата, прямоугольника, ромба, параллелограмма, трапеции и четырехугольника, вписанного в круг.

Так, при измерении площади вписанного в круг четырехугольника с перпендикулярными диагоналями давалось два метода: в первом — площадь рассматривалась как функция его сторон, во втором—как половина произведения диагоналей.

Мударисы наряду с точными методами вычисления площадей разносторонних четырехугольников, давали и общеизвестные приближенные методы, причем показывалась при этом абсолютная величина ошибки.

Так же интересно отметить, что мударисы относят к разновидностям четырехугольников такие фигуры, как ступенчатые, барабаноподобные и зубчатые.

Пятый параграф посвящен анализу методов изложения, а также вычислению площадей многоугольников.

Следует отметить, несмотря на то, что в большинстве учебных пособий этому разделу мало уделялось внимания, кроме «Ключа арифметики» ал-Каши, мударисы все же для вычисления площадей правильных многоугольников давали такие приближенные методы вычислений, относительная погрешность которых, составляла 0,1—3%.

В шестом параграфе рассматриваются методы измерения площадей криволинейных фигур, которые проходили в медресе. Исследование учебных руководств средневековых авторов и «Тетради по арифметике и измерению», употреблявшихся в медресе, показывают, что этот раздел начинали изучать с определения площади круга и его частей, при этом правильность действий обосновывается ссылками на труды Архимеда.

Начиная с XV века в учебные пособия вводятся измерения таких фигур, как сурепица, лунообразная и подковообразная фигуры.

Седьмой и восьмой параграфы посвящены методам измерения криволинейных поверхностей.

При изложении этой темы в учебниках и учебных пособиях IX и до первой половины XIX века сложились два направления.

Одни ученые, такие как ал-Хорезми, Низам Нишапури, ал-Каши строили эти разделы следуя древнегреческим ученым, т. е. сначала давали методы измерения поверхности цилиндра и конуса, затем шара и его частей.

Другие как ал-Кушчи, Бахаэддин, Роушен Али, сначала давали метод измерения поверхности шара и его частей, а потом поверхности цилиндров и конусов.

Исследование «Тетради по арифметике и измерению» показало, что мударисы, в основном, придерживаются при изложении последних авторов.

Следует отметить, что в учебные пособия с XV века было введено измерение площади боковой поверхности наклонного кругового конуса и вычисление поверхностей и объемов арок и сводов.

Девятый параграф посвящается методам вычисления объемов различных геометрических тел.

Интересно отметить, что в этом разделе мударисами даются доказательства правил вычисления объема прямоугольного параллелепипеда и пирамиды и указываются ошибки, допускаемые обычно при вычислении объема шара.

В качестве приложения нами даны отдельные разделы из «Тетради по арифметике и измерению» в виде фотокопий с пояснениями.

Основные положения диссертации докладывались на кафедре высшей алгебры Московского областного педагогического института в декабре 1964 г. и опубликованы в следующих статьях автора:

1. Нахустин дастури методии арифметика, журнал «Мактаби Совети», № 10, 1964 г. (на таджикском языке) 0,3 печатных листа.

2. Анализ «Сердцевины счета» (Лубоб ал-хисаб) — руководства по математике Махмуда ибн ал-Вусуди, в сб. «Вопросы истории и методики элементарной математики», ученые записки Душанбинского Госпединститута, т. 47, Душанбе, 1965 г. 1,5 печатных листа.

3. Тетрадь математических вычислений, употреблявшаяся в медресе XIX в. Средней Азии (в сб. «Вопросы истории и методики элементарной математико», ученые записки Душанбинского Госпединститута, том 47, 1,2 печатных листа. Душанбе, 1965 г.

Л-27480 Подп. к печ. 1.4.65 Объем 1 печ. л. Тираж 200 экз.

Типография ВАХЗ Зак. 314