МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Н. БАБАЕВ

РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В СВЯЗИ С РАЗВИТИЕМ АСТРОНОМИИ НА СРЕДНЕМ И БЛИЖНЕМ ВОСТОКЕ В XV—XVIII ВЕКАХ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научные руководители:

Член-корреспондент АПН, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор И. К. АНДРОНОВ

и кандидат физико-математических наук, доцент Г. СОБИРОВ

Душанбе 1968 г.

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры, элементарной математики и истории математики Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской и элементарной математики и методики преподавания математики Душанбинского государственного педагогического института им. Т. Г. Шевченко.

Официальные оппоненты:

1. Доктор физико-математических наук, профессор Розенфельд Борис Абрамович.

2. Кандидат физико-математических наук, доцент Тухтасунов Икрам Тухтасунович.

Защита состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской (г. Москва, ул. Радио, 10-а).

« ».......... 1968 г.

Автореферат разослан « . . »........... 1968 г.

Секретарь Ученого Совета

Изучение математического наследия ученых стран Ближнего и Среднего Востока периода средневековья относится к одной из наиболее интересных проблем истории науки.

Благодаря исследованиям целого ряда отечественных и зарубежных ученых, основанным на изучении подлинных рукописей в хранилищах Советского Союза и библиотеках Европы и Азии, заново освещены многие существенные вопросы истории математики.

В центре внимания исследователей стоят прежде всего вопросы, связанные с изучением истории науки. Большое внимание уделяется изучению жизни и творчества отдельных ученых-математиков и астрономов, анализу их научных трудов, истории создания математических и астрономических школ и т. д.

Первоначально считалось, что единственной и основной заслугой ученых средневекового Востока было сохранение и передача в Европу греческого и индийского культурного наследия. Однако исследования последних лет раскрыли перед нами блестящие образцы самостоятельного математического творчества представителей нескольких научных школ Средней Азии и Азербайджана — «Академии Мамуна» в Хорезме во главе с Ибн Синой и ал-Бируни (X—XI вв.), Марагинской школы Насирэддина ат-Туси (XIII в.), и Самаркандской школы (XV в.).

Астрономы и математики самаркандской школы Мирза Улугбек (1394—1449), Кази-заде ар-Руми (1360—1437), Джемшид Гиясэддин ал-Каши (ум. 1429) и их ученики Али ал-Кушчи (ум. 1474), Мирим Челеби (ум. 1524), Хусейн Бирджанди (ум. 1528) и последователи этой школы Бахаэддин Амули (1547—1622), Наджмэддин Алихан (XVI — XVII вв.), Алишах Хорезми (XV в.) и Савай Джай Сингх (1684—1743) не только вели исследования по астрономии и математике, но и создали широко распространенные учебные пособия по этим наукам.

Целью диссертации является исследование развития ма тематического образования в Средней Азии в XV—XVIII вв.

История математического образования в учебных заведениях Средней Азии с IX по XIX век частично освещена в работах различных авторов.

Работы Х. Мухаммедиева, С. А. Ахмедова и А. А. Халилова1 посвящены истории преподавания арифметики, а работа С. А. Бадалова2 — истории преподавания алгебры и геометрии.

Однако эти работы далеко не полностью характеризуют научные достижения XV—XVIII вв. и не охватывают преподавания всех математических предметов, в частности, они совершенно не затрагивают преподавания тригонометрии.

В нашей работе основное внимание уделено истории преподавания тригонометрии в связи с развитием астрономии.

Основными источниками послужили неопубликованные рукописи XV—XVIII вв. на персидском и арабском языках, хранящиеся в Институте Востоковедения им. Бируни АН Узб. ССР (Ташкент), Публичной библиотеке им. Фирдоуси, библиотеке Отдела Востоковедения и письменного наследия АН Тадж. ССР, Институте языка и литературы АН Тадж. ССР (Душанбе), Государственной публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина (Ленинград), Лейденской университетской библиотеке (Нидерланды) и библиотеке Айя София в Стамбуле (Турция).

Помимо опубликованных и переведеных на европейские языки источников, мы подвергли исследованию следующие рукописи:

1) Письмо Гиясэддина ал-Каши к Улугбеку, написанное в 1415—1416 гг. (Рукопись № 2916 хранится в Тегеранской библиотеке меджлиса). Мы располагали факсимиле рукописи, опубликованной Айдыном Сайили и ее английским переводом, сделанным Э. Кеннеди.

2) Трактат Алишаха Хорезми «Хорезмшаховы астрономические таблицы» (Зидж-и Хорезмшахи), рукопись № 30 библиотеки Института языка и литературы АН Тадж. ССР.

3) Комментарии Хусейна Бирджанди к трактату Насирэддина ат-Туси «Двадцать глав о познании астролябии» (Ру-

1 Мухаммедиев Х., Преподавание арифметики в дореволюционных учебных заведениях Таджикистана, 1947; Ахмедов, С. А., Преподавание арифметики и ступени ее развития в Средней Азии, 1962; Халилов, А.,К вопросу преподавания математики в Туркмении в XIX — XX вв. 1950.

2 Бадалов М. Э., К вопросу о преподавании математики в Средней Азии с IX по первую половину XIX века, М., 1965.

копись Ленинградской Государственной Публичной библиотеки, Дорн № 315).

4) Трактат Савай Джай Сингха «Мухаммедшаховы астрономические таблицы» (Рукопись — 31 библиотеки Института языка и литературы АН Таджикской ССР).

Диссертация состоит из введения и четырех глав, заключения, а также приложения фотокопии рукописи письма ал-Каши к Улугбеку.

В первой главе рассматривается деятельность самаркандской астрономической школы XV века и ее роль в развитии математического и астрономического образования на Ближнем и Среднем Востоке. Рассматривается научная и педагогическая деятельность представителей этой школы: Мирзо Улугбека, ал-Каши, Кази-заде ар-Руми, ал-Кушчи, Наджмэддина Алихана и др.

В § 2 этой главы приведен комментированный перевод письма ал-Каши к Улугбеку по поводу деятельности ученых самаркандской школы, в котором даны оценки научного творчества большинства из них, а также содержится ряд предложений учебно-методического характера.

§ 3 посвящен истории возникновения и развития мактабов и медресе и постановке математического образования на Ближнем и Среднем Востоке в XV—XVIII вв.

В § 4 дана общая характеристика учебно-методических пособий этого периода, которыми пользовались преподаватели медресе.

Вторая глава посвящена творчеству математика и астронома XV века, уроженца Бухары, Алишаха Хорезми (1413 г.). В основе исследования лежит сделанный нами перевод неопубликованной рукописи его трактата «Хорезмшаховы астрономические .таблицы» (Зидж-и-Хорезмшахи). К переводу составлены подробные комментарии. Пояснения к наиболее существенным частям текста приведены в современных обозначениях параллельно с переводом. Зидж-и-Хорезмшахи — очевидно, первые астрономические таблицы, появившиеся после зиджей самаркандской школы.

Трактат состоит из двух книг, содержащих 29 глав. Мы ограничились рассмотрением раздела тригонометрии и тригонометрических таблиц.

Алишах Хорезми подробно останавливается на вопросах тригонометрии и методах составления тригонометрических таблиц. Во введении своей работы он отмечает, что изучение тригонометрии необходимо для практической астрономии и геодезии. Алишах Хорезми дает определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Синус и косинус он рассматривает в четырех квадрантах, а косинус тупого угла рассматривает-

ся как косинус его дополнения до 180°, так как он в своей работе оперирует только положительными значениями тригонометрических величин. Алишах Хорезми вводит также синус верзус и приводит правила нахождения его по дуге и обратно, которые имеют вид:

и сводятся к современным формулам приведения

В своих вычислениях Алишах Хорезми, следуя греческой традиции, пользуется радиусом круга, равным 60.

Далее приводятся методы определения синуса и синуса— верзуса по заданной дуге и наоборот, с помощью таблицы, включающие правила линейного интерполирования.

Специальная глава трактата посвящена устройству и методам использования гномона и определению котангенса и тангенса (прямой и обращенной теней). Алишах Хорезми приводит ряд правил, равносильных соотношениям

Особый интерес представляют полностью приведенные в диссертации тригонометрические таблицы Алишаха Хорезми, которые по своей точности почти не отличаются от современных шестизначных.

«Зидж-и-Хорезмшахи» широко использовались в качестве учебно-математического пособия в медресе Ближнего и Среднего Востока в течение долгого времени.

III глава посвящена научно-педагогической деятельности Хусейна Бирджанди.

Свою основную научно-педагогическую деятельность он вел в городе Герате. На Среднем и Ближнем Востоке он был известен как крупный ученый и комментатор книг по математике и астрономии. Он был не только разносторонним ученым, но и опытным педагогом. Большое внимание он обращал на вопросы методики преподавания математики и астрономии в медресе. Преподавая в медресе Герата, Бирджанди составил учебно-научные пособия по математике и астрономии. Нам удалось обнаружить свыше десяти его трудов в различных областях науки.

В § 1 этой главы дана краткая характеристика девяти его неопубликованных трактатов математического и астрономического содержания.

В § 2 подробно анализируются его комментарии к трактату Насирэддина ат-Туси «Двадцать глав о познании астролябии».

Хусейн Бирджанди рассматривает задачи измерительных работ на местности. Трактат состоит из введения и двадцати глав, которые содержат многочисленные примеры и решения конкретных задач практической геодезии.

Во введении Хусейн Бирджанди излагает свои взгляды на вопросы происхождения и назначения различных наук, в частности геометрии, арифметики, тригонометрии, а также дает описание астролябии. Далее Бирджанди рассматривает следующие вопросы астрономии и математики: устройство и назначение основных инструментов, определение географической широты местности, метод определения высоты Солнца и светил, способы определения широты по высотам звезд, определения наклона эклиптики, вычисление географической широты местности по склонению и полуденной высоте Солнца, определение широты местности по склонению, высоте Солнца в любое время дня и азимуту, определение географической долготы местности.

Бирджанди излагает способы определения времени, определяет основные тригонометрические функции, приводит правила, связывающие тригонометрические величины и, наконец, описывает различные методы измерения расстояния до доступных и недоступных объектов.

Подробно излагается устройство астролябии. Далее рассматриваются предлагаемые Бирджанди десять способов измерения расстояний до доступных и недоступных объектов с помощью астролябии. Эти задачи решаются с помощью тригонометрии и использования свойств подобия треугольников.

Такого рода задачи входят в состав многих астрономических сочинений на Ближнем и Среднем Востоке. Некоторые из них имеются и в трактате ал-Бируни «Книга вразумления в начатках искусства звездочетства» (Китаб ат-тафхим ли аваил ас-сана am ат-танджим). Встречаются они и у Насирэддина ат-Туси, Амили и других авторов.

Заслугой Бирджанди является то, что он объединил все виды подобных задач, существенно дополнил их и последовательно изложил в качестве учебно-методического материала. Впоследствии они широко использовались в многочисленных учебных пособиях для медресе.

Совокупность такого рода задач, собранных и прокомментированных Бирджанди, легла в основу практической геодезии, как специального раздела математики у представителей последующих поколений ученых стран Ближнего и Среднего Востока.

В четвертой главе рассматривается научная деятельность Савай Джай Сингха и его школы.

В § 1 дана краткая биография Савай Джай Сингха, излагается история создания им обсерваторий в Джайпуре и других городах Северной Индии и создания им научной школы, в состав которой входили не только индийцы и другие ученые стран Востока, но и ряд европейских ученых. В обсерватории Савай Джай Сингха были созданы многочисленные новые астрономические инструменты, позволившие получить целый ряд новых данных. На основании наблюдений с помощью этих инструментов Савай Джай Сингхом и его учениками были составлены тригонометрические и астрономические таблицы, более точные, чем европейские, составленные за тридцать три года до него.

Савай Джай был, разумеется, хорошо знаком с индийской математикой. Он изучал древнегреческие трактаты и был в курсе новейших достижений европейских математиков. В его библиотеке были переведенные ал-Бируни на санскрит «Начала» Евклида, «Алмагест» Птолемея, а также европейские сочинения по плоской и сферической тригонометрии и по составлению и применению логарифмов. Он распорядился перевести также и арабские книги по астрономии.

Савай Джай не только продолжал традицию марагинской и самаркандской научных школ, не только занимался постройкой ряда крупных медресе и обсерваторий, но и сам был автором ряда научных работ в области математики и астрономии. К сожалению, из всего его научного наследия до нас дошли только: «Трактат по тригонометрии и тригонометрические таблицы» и «Новые Мухаммедшаховы астрономические таблицы».

«Новые Мухаммедшаховы астрономические таблицы» (Зиджи джадиди Мухаммедшахи) — это астрономический каталог, составленный в Шахиджаханабадской, Джайпурской, Бенаресской, Уджайнской и других индийских астрономических обсерваториях, построенных Савай Джай Сингхом.

Большую помощь при составлении этого труда оказали Савай Джаю его ученики.

Работа написана на персидском языке. Рукопись трактата имеется в рукописных фондах библиотеки Казанского Госуниверситета (№ 10), Института Востоковедения АН Узб. ССР (№ 436, 439, 440, 441, 2752) отдела Востоковедения и письменого наследия АН Таджикской ССР (№ 511) и Института языка и литературы АН Таджикской ССР (№ 31).

Мы располагаем фотокопиями двух последних рукописей. Первая из них переписана и комментирована в 1894 г. известным таджикским ученым Ахмадом Донишем (1828—1897), который добавил к таблицам грегорианский календарь и привел русские названия месяцев и дней недели. Вторая переписана в 1761 г. Мауляной Зухур ал-Лахи, который в начале книги коротко изложил сведения о жизни и научной деятельности Савай Джай Сингха.

«Мухаммедшаховы астрономические таблицы» состоят из трех книг: календаря, практической астрономии и теории движения планет.

Первая книга, состоящая из четырех глав, посвящена летоисчислению разных народов. В ней излагаются основы христианского, мусульманского (хиджры), индийского и мухаммедшахского календарей — лунных и лунно-солнечных. Там же приведены различные способы перехода от одной эры к другой.

Вторая книга посвящена вопросам сферической тригонометрии и практической астрономии. Она состоит из девятнадцати глав. В ней идет речь о наклоне эклиптики, способах определения координат небесных светил, проведения линии меридиана, определения долготы и широты любой точки земной поверхности и расстояния между звездами и планетами, об определении азимута Киблы и др.

Большой интерес представляет третья книга, посвященная теории движения планет. Она состоит из введения, четырех глав и заключения. В этой книге Савай Джай излагает гелиоцентрическую систему мира, говорит об эллиптических орбитах движения планет, приводит правила и соответствующие таблицы для нахождения положений планет, вводит ряд новых понятий из области астрономии.

В своем исследовании «Мухаммедшаховых астрономических таблиц» мы сравнивали их с «Зиджами» Насирэддина Туси1 и зиджем Улугбека.2

В § 2 помещен перевод основной части тригонометрических глав «Мухаммедшаховых астрономических таблиц» и подробные комментарии к нему. Перевод выполнен по рукописи № 31 Библиотеки Института языка и литературы АН Таджикской ССР.

Савай Джай Сингх приводит правила, равносильные формулам приведения. Тригонометрические функции он рассматривает во всех четырёх квадрантах. Для определения синуса одного градуса он пользуется методом деления угла на пять равных частей, который приводит к приближенному решению алгебраического уравнения пятой степени вида

Таблицы тригонометрических функций составлены с точностью до шести шестидесятиричных знаков с интервалом через 1'.

В § 3 рассматриваются вопросы сферической тригонометрии и практической астрономии, изложенные во второй книге «Мухаммедшаховых таблиц».

Савай Джай Сингх приводит несколько способов вычисления наклона эклиптики и координат небесных светил, способы проведения полуденной линии, определение долготы и широты любой точки земной поверхности, определение расстояния между звездами или планетами, определение азимута и т. д., а также ряд соотношений сферической тригонометрии (теоремы синусов, косинусов и тангенсов сферической тригонометрии).

Там же рассматривается задача перехода от экваториальных и эклиптических координат (склонения и восхождения светила, а также его эклиптической долготы) к горизонтальным (высоте и азимуту). VI глава второй книги посвящена определению азимута места восхода и захода светил. Савай Джай Сингх приводит четыре способа решения этой задачи.

Далее он вводит понятие «уравнения дня», под которым понимает дугу дневной параллели, заключенную между горизонтом и кругом склонения, проходящим через полюсы меридиана, а также дневной и ночной дуги и часов дня и но-

1 Г. Д. Мамедбейли. Основатель Марагинской обсерватории Насирэддин Туси, Баку. 1961.

2 Т. Н. Кары-Ниязов. Астрономическая школа Улугбека, М.—Л, 1950 г.

чи. В трактате приведено несколько правил определения «уравнения дня», одно из которых равносильно формуле

где 8 — склонение Солнца, а — восточная амплитуда, с — широта места наблюдения, у — уравнение дня.

Далее вводятся понятия «равных» и «неравных» часов.

XIII—XVII главы посвящены определению моментов появления и исчезновения небесных светил и методам определения расстояния между светилами.

Рассматриваются пять случаев взаимного расположения светил.

1) Долготы обоих светил равны.

2) Расстояние между ними меньше 90°.

3) Расстояние между ними равно 90°.

4) Расстояние между светилами больше 90° и меньше 180°.

5) Расстояние между ними равно 180°.

Правила определения расстояния между светилами во всех пяти случаях равносильны частным случаям формулы

Далее рассматриваются задачи об определении азимута Киблы, т. е. направление на Мекку, а также об определении высоты светила по его азимуту и часовому углу и прямого восхождения светила по его высоте.

§ 4 четвертой главы диссертации содержит теорию движения планет. Савай Джай Сингх формулирует правила определения истинной долготы или «таквим» Солнца и уравнения времени. Специальная глава посвящена описанию формы и вида пяти планет (Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера, Сатурна).

Далее Савай Джай Сингх описывает лунные и солнечные затмения, приводит правило определения истинного положения луны в данное время и вычисляет координаты некоторых впервые найденных им звезд. Кроме того, он излагает некоторые новые данные относительно планет и звезд, полученные в своей обсерватории.

В литературе, посвященной истории естествознания, отмечается, что ученые Среднего и Ближнего Востока придерживались геоцентрической системы Птолемея. Неравномерность видимого движения Солнца они объясняли, вслед за Птолемеем, с помощью эксцентрической и эпициклической моделей.

Замечательной особенностью трактата Савай Джай Сингха является изложение гелиоцентрической системы мира и эллиптического движения планет.

Вначале Савай Джай Сингх дает определение эллипса, а затем переходит к описанию движения планеты по эллиптической орбите, для которого приводит правило, равносильное современной формуле теоретической астрономии.

где с и р —истинная и эксцентрическая аномалии планеты, е — эксцентриситет ее эллиптической орбиты.

Хотя в Западной Европе зависимости между параметрами эллиптического движения планет были установлены Кеплером за сто лет до Савай Джай Сингха, но на Ближнем и Среднем Востоке до него не были известны.

* * *

Мы рассмотрели некоторые существенные этапы истории развития математики и математического образования на Ближнем и Среднем Востоке в период, следующий за временем расцвета самаркандской школы.

После XIII века интересы математиков стран ислама обращаются главным образом к решению практических задач, возникающих чаще всего в астрономии. В трудах самаркандской школы вычислительная математика стран Востока достигла своего высшего расцвета. Не менее существенное значение имела деятельность представителей самаркандской школы в области разработки учебных пособий по математике и астрономии.

Исследование математических и астрономических рукописей учеников и последователей ученых самаркандской школы показывает, что они не только развивали далее традиции своих предшественников, но, благодаря их трудам, коренным образом изменилась постановка математического и астрономического образования и методика изложения материала в учебных пособиях на Ближнем и Среднем Востоке.

После распада самаркандской школы в других городах Средней Азии продолжали создаваться учебные пособия по математике и астрономии.

Изучение даже небольшого числа трудов учеников представителей самаркандской школы и продолжателей их научных традиций позволяет утверждать, что математические исследования в странах Среднего и Ближнего Востока в XV— XVIII веках продолжали развиваться, достигая временами

высокой степени совершенства (например, в трудах Савай Джай Сингха).

Период с XV по XVIII век в истории математики и астрономии был очень существенным этапом в разработке методики их преподавания на Ближнем и Среднем Востоке.

1. Результаты настоящей работы были доложены:

1. На семинаре «Вопросы истории и методики элементарной математики» при Душанбинском госпединституте, май 1966 г. и апрель 1967 г.

2. На конференции преподавателей и аспирантов в Душанбинском пединституте, май 1966 г. и сентябрь 1967 г.

3. На первой Среднеазиатской конференции по истории естествознания и техники, при АН Тадж. ССР, май 1967 г.

4. На межвузовской конференции по истории физико-математических наук при МГУ, май 1967 г.

5. На кафедре элементарной математики и методики математики Душанбинского пединститута, октябрь 1967 г.

6. На кафедре высшей алгебры и элементарной математики и истории математики Московского областного педагогического института, декабрь 1967 г.

II. Материалы диссертации опубликованы в следующих работах:

1. О тригонометрических таблицах Савай Джай Сингха, В сборнике «Вопросы истории и методики элементарной математики», Ученые Записписки Душанбинского Госпединститута, том 56, Душанбе, 1967, стр.40—64.

2. Хусейн Бирджанди — великий ученый и комментатор астрономических и математических наук XV—XVI вв., в сб. «Вопросы истории и методики элементарной математики», Ученые записки Душанбинского Госпединститута, том 56, Душанбе, 1967, стр. 30—34.

3. Назарияи гелиоцентрй ва харакати эллипсии сайёрахо дар Шарк, журнал «Мактаби Советй», № 8, 1967 г. (на (таджикском языке).

4. Влияние самаркандской научной школы на развитие науки и образования на Среднем и Ближнем Востоке в XV—XVIII вв. Доклады на первой Среднеазиатской конференции по истории естествознания и техники, Душанбе, 1967 (находится в печати).

5. Мухаммедшаховы астрономические таблицы, в сб. «Вопросы истории и методики элементарной математики», Ученые Записки Душанбинского Госпединститута, Душанбе (находится в печати).

6. Мактаби сейуми илмй дар Шарк, газетаи «Маориф ва маданият», январь 1968 г. (на таджикском языке).

Подписано к печати 17/I-1968 г. объем 1 п|л. Зак. 2373 Тир. 120 КЛ O2985

Типография Министерства народного образования Таджикской ССР.