АЛМА-АТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. АБАЯ

На правах рукописи

С. А. АЯПБЕРГЕНОВ

ПОСТРОЕНИЕ УЧЕБНИКА ТРИГОНОМЕТРИИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

АЛМА-АТА-1954

Первое издание учебника Н. А. Рыбкина по тригонометрии вышло в 1888 г. под названием «Конспект прямолинейной тригонометрии». С 1888 по 1953 г. он переиздавался 31 раз. За этот промежуток времени многое изменилось: новая обстановка и новые требования со стороны школ, а учебник Н. А. Рыбкина и ныне продолжает оставаться основным учебником по тригонометрии для средних школ.

Появление этой книги в свое время было прогрессивным, а подход автора к основным понятиям отражает взгляды математиков прошлого века о построении учебника для средних школ. В нем сохранилась динамическая связь треугольника с окружностью, которая впервые была установлена Леонардом Эйлером, т. е. тригонометрические функции определяются при помощи введения линий, связанных с треугольником и окружностью с подвижным радиусом. Такой подход к понятию тригонометрических величин приводил к рассмотрению переменных, представляющих между собой функциональную зависимость.

В средних учебных заведениях конца прошлого и начала 20-го века не было тенденции рассматривать тригонометрические величины как учение о функции, которое сейчас признается основным направлением в современных условиях развития науки. Одновременно с этим связь теории с практикой должна быть одной из главных требований, предъявляемых к учебнику тригонометрии.

По общему мнению учителей и ученых учебник Н. А. Рыбкина не отвечает современным требованиям средних школ. Отметим некоторые его недостатки: 1) все содержание тригонометрии, в основном, сводится к решению треугольников, а изучению гониометрии придается второстепенное значение; 2) сразу дается фронтальное определение всех тригонометрических линий и функций. При этом по отношению тригонометрических линий употребляются разные термины: «отрезок», «перпендикуляр», «расстояние» (стр. 8, издание 1950 г.), которые можно рассматривать как дефект языка. 3) Нет описания таблиц. 4) Теория излагается в отрыве от практики. 5) В целом учебник является архаическим, отражающим догматические взгляды математиков прошлого века, для которых характерен искусственный отрыв теории от практики.

К достоинству относятся: 1) простота и доступность изложения, 2) благодаря введению тригонометрических линий, изменение функции представляется наглядным.

Для постепенной замены учебника Н. А. Рыбкина учеными А. Ф. Бермантом и Л. А. Люстерником написан новый учебник по тригонометрии. Первое его издание вышло в 1940 г., второе — в 1948 г., третье — в 1950 г.

Таким образом, для средних школ существуют два стабильных учебника по тригонометрии.

По сравнению с учебником Н. А. Рыбкина учебник двух соавторов признан лучшим. Основные достоинства его заключаются в следующем: 1) в нем имеет место функциональная точка зрения; 2) тригонометрические функции любого аргумента определяются с помощью проекции направленного отрезка; 3) усиливается отдел тригонометрических уравнений; 4) имеется идея сближения школьного предмета с высшей математикой (например: формулы Муавра, векторы).

Наряду с указанными достоинствами, есть недостатки. 1) Язык мало доступен учащимся. 2) Идея функциональной зависимости не выделяется, а растворяется в главах книги и важность ее в соответствующем месте не подчеркивается. В результате учащиеся не замечают эту идею функциональной зависимости в курсе тригонометрии. 3) Применению предмета и связи теории с практикой отводится второстепенное место. Например, в первой главе, которая может иметь большое значение в политехническом обучении, рассматривается лишь одна задача (стр. 24, издание 1950 г.). На протяжении всей книги учащиеся не найдут ни одной практической задачи на применение вектора, при помощи которого авторы определяли тригонометрические функции любого аргумента. В учебнике нет ни одной хорошей и подробно разобранной практической задачи на применение теоремы синусов или косинусов. 4) Мало или совсем нет геометрических иллюстраций и наглядности в изучении тригонометрических функций. 5) Исторический очерк изложен слишком коротко.

Несмотря на эти недостатки, учебник двух соавторов имеет значительное преимущество над учебником Н. А. Рыбкина как по своему идейному направлению, так и по научности изложения, в котором отражается современная точка зрения в изучении тригонометрии в средней школе.

Остается сожалеть, что такой учебник по тригонометрии, содержащий современную идею учения о функции, не получил широкое распространение как руководство в преподавании тригонометрии в школе. В этом я лично убедился, участвуя на выпускных экзаменах средних школ в сельских местностях Алма-Атинской области, а также проводя в течение ряда лет педагогическую практику со студентами в школах города. Слабое распространение учебника А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника в школе по сравнению с учебником Н. Рыбкина объясняется тем, что учебник Н. Рыбкина в течение полувека был почти единственным традиционным учебником, к которому привыкли целые поколения, по нему учились миллионы людей, а учебник двух соавторов является новым, еще не освоенным многими учителями, особенно в сельских местностях.

Наиболее передовые учителя почти не обращаются к учебнику Н. Рыбкина, а пользуются учебником двух соавторов, дополняя его недостатки из других источников и из своего личного опыта в преподавании тригонометрии.

Создание полноценного учебника по тригонометрии для средних школ — это очень серьезное дело, представляющее собой большую государственную важность, ибо оно касается обучения и воспитания сотни тысяч учащихся, стремящихся получить общее образование в средних школах. Отсюда ясно, что творческая мысль преподавателя или научного работника должна постоянно содействовать созданию такого учебника тригонометрии, который мог бы соответствовать современным требованиям в средних школах. Если такой учебник создан, то надо направлять усилие над его дальнейшим усовершенствованием, или заменять его еще лучшим, ибо нет никакого предела в педагогическом процессе, так как жизнь все время идет вперед и выдвигает новые задачи, связанные с последующим ростом культуры, науки и техники.

Из истории известно, что как и в любой другой области, учебники тригонометрии менялись, и над ними работали рядовые педагоги, видные ученые. Написание учебника не являетсся легким делом, и автор настоящей работы далек от мысли, что он даст образец безупречного построения учебника тригонометрии.

На основе изучения богатой отечественной литературы, личного опыта и наблюдения за педагогическим процессом, автор ставит задачу: наметить возможный вариант построения учебника тригонометрии, который может быть использован при составлении основного учебника для средних школ и был бы полезен в качестве подсобного учебника в казахских средних школах, где нет ни одной книги по этому предмету на родном языке, кроме стабильного учебника Н. А. Рыбкина.

При написании этой работы я руководствовался идеями: функциональной зависимости, тесной связи теории с практикой, доступности и наглядности изложения.

Диссертация состоит из девяти глав. Сначала отметим особенности каждой из них, а затем дадим общий вывод по всему содержанию работы.

В первой главе дается краткий исторический очерк развития тригонометрии: а) возникновение и путь ее развития, б) роль древних, зарубежных и отечественных ученых в развитии тригонометрии, в) значение тригонометрии.

На основе изучения историко-научной литературы подчеркивается, что в течение длительного периода тригонометрия развивалась как глава астрономии, и она выделилась в самостоятельную дисциплину трудами ученых Средней Азии: Авуль-Вафа, аль-Бируни, Насирэддина и Улугбека. Затем отмечается, что на дальнейшее развитие тригонометрии значительное влияние оказали зарубежные ученые: Георг Пейрбах, Региомонтан, Коперник, Виета, Непер и другие.

Особое внимание уделяется роли русских ученых в развитии

тригонометрии как научной, так и Школьной дисциплины. При этом подчеркивается исключительное влияние на развитие передовых идей в области тригонометрии как учение о функции двух крупнейших деятелей науки: Леонарда Эйлера и Н. И. Лобачевского. В смысле развития методических идей в тригонометрии выделяются имена наиболее видных русских математиков и педагогов: Румовского, Головина, Остроградского, Чебышева и других.

В этой главе также говорится о том, что многие русские математики, наряду с развитием научных и методических идей в тригонометрии, обращали серьезное внимание на ее практическое применение. Например, инженер С. Назаров (Практическая геометрия, часть 2-я, Санк-Петербург, 1761 г.), ученые Остроградский и Чебышев. В конце главы говорится о значении тригонометрии при решении практических вопросов.

Таким образом, в отличие от стабильных учебников, в диссертации выделяется специальная глава, где дается более подробное освещение истории возникновения и развития тригонометрии, которая может быть полезной как для учителей, так и для учащихся средних школ.

Вторая глава посвящается понятию функции. Так как понятие функции является одним из центральных вопросов всей современной математики, то автор находит необходимым и возможным отвести на это отдельную главу и сразу сосредотачивает внимание учащихся на важность этого понятия при изучении тригонометрических функций.

В стабильном учебнике Рыбкина для средних школ понятие функции изложено совершенно неудовлетворительно, и фактически оно почти отсутствует.

В учебнике Берманта и Люстерника понятие функции дается в связи с изучением тригонометрических функций острого угла.

Подчеркивая большое научное и воспитательное значение понятия функции в системе общего образования, в этой главе даны важнейшие элементарные определения (функции, однозначности, многозначности, область изменения функции, отрезки, промежутка и т. д.), которые необходимы для глубокого изучения тригонометрических функций.

Функциональная зависимость увязывается с конкретными примерами из области механики, физики и техники. При помощи задач из практической жизни показывается, как составляется функциональная зависимость и как изображается ее график. Например, даны графики различных парабол, связанных с устройством фонтанов и мостов, а также графики различных механических движений, характеризующие некоторые свойства функциональной зависимости между двумя переменными.

Вводится объяснение о методе прямоугольной системы координат, при помощи которого показывается построение точек плоскости и графика соответствующей функции.

Даны определения бесконечно малой, бесконечно большой вели-

чины и понятие предела, которые используются при изучении тригонометрических функций.

Итак, считая целесообразным выделять в особую главу понятия функции, автор придерживается того мнения, что оно расширяет кругозор учащихся и содействует глубокому изучению свойств тригонометрических функций. Распространение и популяризация учения о функции способствует сближению высшей математики со школьной математикой.

Третья глава посвящается изучению тригонометрических функций острого угла. Придавая большое значение приложению тригонометрии, автор находит уместным предварительное изучение тригонометрических функций острого угла.

В учебнике Н. Л. Рыбкина по тригонометрии нет пропедевтической главы. Мы считаем это нецелесообразным, поскольку при таком построении курса тригонометрии ее практическое значение сразу отрывается от теории.

В отличие от учебника Берманта и Люстерника, в третьей главе настоящей работы тригонометрические функции острого угла и решение треугольников излагаются шире и их применению отводится значительное место. В диссертации секанс и косеканс не рассматриваются как функции, не имеющие практического значения, являющиеся второстепенными в сравнении с функциями синуса, косинуса, тангенса и котангенса. При изучении этих четырех функций обращается внимание на их изменения при изменении аргумента от 0° до 90°. Даны решения прямоугольных треугольников (стр. 97).

В первой главе учебника двух соавторов (стр. 24, 1950 г., издание 3-е) рассматривается только одна задача, имеющая практическое значение. Считая это совершенно недостаточным, в этой главе даны задачи из области геометрии, механики, геодезии, земледелия и техники (стр. 101 — 112): разобраны решения четырнадцати задач, а тринадцать — предлагается учащимся для самостоятельного решения.

Итак, в связи с определениями тригонометрических функций острого угла и решением прямоугольных треугольников уделяется большое внимание практическому применению тригонометрии.

Четвертая глава посвящается определениям тригонометрических функций любого аргумента. В начале ее вводится понятие вектора и в связи с этим показываются задачи из области механики, где требуется применение вектора в тригонометрии. Затем вводится обобщенное понятие угла, которое, в свою очередь, увязывается с требованием практики. После этого рассматривается градусное и радианное измерение углов, выводится формула для перехода от одной системы измерения к другой. Далее тригонометрические функции любого аргумента определяются при помощи метода координат. Особое внимание уделяется изменению тригонометрической функции при изменении аргумента. Причем дается геометрическая интерпретация изменениям тригонометрических функций при помощи построения графиков.

Формулы приведения, функции отрицательных аргументов, пе-

риодичность функции, графики тригонометрических функций, интерполяция, нахождение значения тригонометрической функции по данному значению угла и нахождение значения угла по данному значению тригонометрической функции — все это излагается в четвертой главе диссертации.

Приводятся задачи из области электротехники, геометрии, меха-пики (стр. 174— 180), где требуется знание формул приведения и понятие вектора.

В конце главы вводятся простейшие тригонометрические уравнения: Sinx = a, cosx = b, tgx = с, ctgx = d и даются формулы их решений (стр. 188). Тригонометрические уравнения увязываются с содержанием изучаемой темы, и их особенности определяются характером рассматриваемых функций. При решении тригонометрического уравнения сразу объясняется, что в отличие от алгебраического оно имеет бесконечное множество решений или вовсе их не имеет.

В отличие от стабильных учебников в этой главе тригонометрические функции любого аргумента определяются координатным методом, показывается применение вектора и формул приведения. Дается наглядное изображение изменения тригонометрических функций, приводится достаточное количество задач из практической жизни на применение тригонометрии.

В пятой главе изучается преобразование тригонометрических функций. При помощи векторов доказываются формулы суммы и разности тригонометрических функций двух аргументов. Выводятся формулы тригонометрических функций двойных, тройных и половинных аргументов. Далее выводятся формулы преобразований алгебраической суммы тригонометрической функции в произведение, изучается применение формулы сложения тригонометрической функции к простому гармоническому колебанию, приводятся решения практических задач (стр. 218 — 223) применительно к преобразованиям формул, а затем решаются тригонометрические уравнения, связанные с формулами изучаемой темы.

В отличие от стабильных учебников в этой главе дано достаточное количество примеров и задач на применение формул преобразований, а также рассмотрены некоторые тригонометрические уравнения, решения которых связаны со знанием формул преобразований тригонометрических функций.

Шестая глава посвящается соотношению между элементами косоугольного треугольника и решению треугольников. Доказываются теоремы синусов, косинусов, тангенсов, формулы для определения угла треугольника по трем данным сторонам, выводится формула площади треугольника.

В связи с рассмотрением перечисленных теорем даются исторические справки о их принадлежности тому или другому ученому.

Разбираются практические задачи (стр. 238 — 245), требующие применения формул синусов, косинусов и площади треугольника.

Далее говорится об ученых, создавших тригонометрические таблицы, о значении этих таблиц. Доказываются теоремы, при помощи которых дается понятие о составлении натуральных тригонометри-

ческих таблиц. Объясняется о значении таблиц логарифмов тригонометрических функций, об их использовании, об устройстве пятизначных таблиц Пржевальского.

Рассматриваются основные случаи решения косоугольных треугольников и примеры на их решения для каждого отдельного случая с применением таблиц логарифмов тригонометрических функций.

Таким образом, основное отличие содержания этой главы от стабильных учебников состоит в следующем: 1) в связи с выводами формул синусов, косинусов и других формул, показаны практические задачи (стр. 238 — 245) на их применение из области механики, геодезии и земледелия; 2) даны исторические справки о возникновении формул и таблиц; 3) доказаны теоремы, при помощи которых составляются тригонометрические таблицы как натуральные, так и логарифмические; 4) используются пятизначные таблицы Пржевальского.

Седьмая глава посвящается обратным тригонометрическим функциям и уравнениям. Обратные тригонометрические функции сначала определяются как многозначные, а в дальнейшем объясняется, что они могут быть рассматриваемы как однозначные функции в определенной области. Даются наглядные чертежи (стр. 288 — 291), где выделяется область однозначности функции. Выводятся основные соотношения между аркфункциями и свойства обратных функций (стр. 293). Разбираются примеры для нахождения значения дуги на определенном сегменте, если дано соответствующее значение функции (стр. 295 — 296).

Дается решение уравнения методом введения вспомогательного аргумента (стр. 306 — 307). Разбираются примеры и задачи, приводящие к тригонометрическим уравнениям. Приводятся примеры тригонометрических уравнений, для решения которых требуется применение логарифмов. Даны различные примеры и задачи на составление и решение тригонометрических уравнений.

В восьмой главе тригонометрические функции определяются методом неопределенных коэффициентов. При этом объясняется, что тригонометрические величины не обязательно должны быть функциями угла, а они вообще являются функциями числового аргумента. Таким образом, предусматривается возможность познакомить учащихся на математическом кружке с определением тригонометрических функций, рассматриваемых как функции числового аргумента.

Девятая глава посвящается применению тригонометрии к решениям стереометрических задач. Подобраны разнообразные задачи из стереометрии, для решения которых требуется не только знать тригонометрию, но также и пространственную геометрию.

Особенности диссертации в целом следующие: выделены главы, посвященные историческому очерку развития тригонометрии и понятию функции, идея функциональной зависимости проходит через все изложения, тригонометрические функции любого аргумента определяются координатным методом. Секанс и косеканс не рас-

сматриваются, понятие функции, векторы и метод координат используются при определении тригонометрических функций, при выводе формул и решении задач, при изучении отдельных формул и таблиц даны соответствующие исторические справки, тригонометрические уравнения не выделяются в особую главу, а рассматриваются в связи с изучением соответствующих вопросов тригонометрии, предусматривается возможность ознакомления учащихся со способом составления натуральных тригонометрических таблиц. При помощи теоремы

и неравенств

объясняется, как вычисляются sinl1, cosl1. Дальнейшее вычисление показывается при помощи формул Симпсона. Каждый теоретический вопрос увязывается с практическим приложением тригонометрии. Разбирается достаточное количество задач из области геометрии, механики, земледелия и техники. После каждой главы имеется раздел, посвященный применению тригонометрии.

Большое значение придается наглядности: в работе имеются 134 чертежа, данные к теоретическим вопросам и к решениям различных задач.

Отводится небольшая глава, где тригонометрические функции определяются методом неопределенных коэффициентов.

Перед каждой главой и перед отдельными разделами глав дается вводное замечание. Весь курс тригонометрии, в основном, излагается в сжатой форме.

Главная установка на протяжении всего курса это понятие и развитие тригонометрии как учение о тригонометрических функциях и практическое приложение тригонометрии.

Идея политехнического обучения в тригонометрии проходит через все изложения: графики парабол, связанные с устройством мостов и фонтанов; простое гармоническое колебание; примеры из электротехники, военного дела; построение графиков функций; вычисление при помощи таблиц. В работе красной нитью проходит тесная связь теории с практикой. По этому поводу уместно вспомнить слова великого русского геометра и педагога Н. И. Лобачевского: «Польза от сего рода учения бывает двоякая: применение его к потребности в нашей жизни и дальнейшее развитие самой науки...» (Историко-математические исследования, том 3, стр. 118).

Тип. Изд-ва АН КазССР. УГ 08819. Зак. 1358—100.