МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ ССР

АЗЕРБАЙДЖАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

К. С. АСКЕРОВ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ РАЗДЕЛА „ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ“ В ВЕЧЕРНЕЙ (СМЕННОЙ) ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук, по специальности „Методика преподавания математики“

Научный руководитель: кандидат педагогических наук, доцент А. Ю. Ибрагимов

Баку — 1967

Специализированный совет по присуждению ученых степеней по специальностям: «физика», «математика» и «методика преподавания физики и математики» при Азербайджанском Государственном Педагогическом институте имени В. И. Ленина направляет Вам для ознакомления автореферат диссертационной работы К. С. Аскерова на тему: «Методика преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерней (сменной) общеобразовательной средней школе» и просит сообщить Ваш отзыв и замечания по данной работе Ученому Совету (Баку, ул. Уз. Гаджибекова, 34).

Работа выполнена на кафедре элементарной математики и методики преподавания математики в Азербайджанском Государственном Педагогическом институте имени В. И. Ленина.

Решением Ученого Совета Азербайджанского Государственного Педагогического института им. В. И. Ленина официальными оппонентами назначены:

1. Заслуженный деятель науки Азерб. ССР, чл.-корр. АН Азерб.ССР, доктор физико-математических наук, профессор М. А. Джавадов.

2. Кандидат педагогических наук, доцент И. И. Велиханлы.

Автореферат разослан « » 1967 г.

Защита состоится « » 1967 г.

Секретарь Ученого Совета (Доцент Б. А. Шафи-заде).

Коммунистическая партия и Советское правительство повседневно уделяют большое внимание обучению и коммунистическому воспитанию молодого поколения, строителей коммунистического общества.

Значительная часть нашей молодежи совмещает работу на производстве с обучением в вечерней школе1. Партия и правительство с большой заботой относятся к расширению сети вечерних школ и росту контингента учащейся рабочей молодежи- Достаточно отметить, что лишь в 1966/67 учебном году в Азербайджанской ССР в 287 вечерних школах, обучается около 61 тысячи учащихся. В прошлом учебном году около 12 тысяч рабочей молодежи получили среднее образование.

К сожалению, приходится отметить, что среди вечерних школ есть еще такие, где не заботятся о глубоких и прочных знаниях учащихся, идут на «уступки», завышают оценки, наблюдается погоня за высокой успеваемостью.

Газета «Правда» в передовой статье от 22 февраля 1965 года справедливо затронула этот насущный вопрос: «Несмотря на трудность и сложность условий, в которых находятся учащиеся вечерних школ, никому не дано право снижать к ним требовательность... Надо добиваться, чтобы эти школы наравне с дневными выпускали людей, хорошо знающих основы наук, имеющих широкий культурный кругозор...»

Именно поэтому, в настоящее время перед учителями вечерних школ особенно остро ставится вопрос об улучшении качества обучения математике.

Для достижения этой цели одним из важнейших условий является методическая разработка программного материала по отдельным разделам математики и обеспечение учителей научно-методической литературой, отвечающей требованиям, поставленным перед школой.

К сожалению, надо отметить, что проводимая в этой области научно-исследовательская работа пока недостаточна- Особенно это относится к частной методике преподавания математики, для вечерних школ. Обеспечение учителей этих школ на-

1 Здесь и в дальнейшем имеются в виду вечерние (сменные) общеобразовательные средние школы.

учно-методической литературой по математике на азербайджанском языке весьма незначительное.

Исследование по выбранной нами теме диссертации показало, что состояние преподавания стереометрии в вечерних школах не находится на должном уровне по следующим причинам:

1. Программа, учебники и задачники по стереометрии не отвечают требованиям дня и имеют ряд недостатков.

2. Мало исследована методика преподавания стереометрии в вечерних школах.

3. Недостаточность методической литературы не только на азербайджанском, но и на русском языке.

4. В имеющейся литературе слабо разработан вопрос о связи преподавания стереометрии с производственным опытом учащихся.

В связи с вышеизложенным, автор диссертации ставит и делает попытку решить следующие задачи:

1. Дать анализ имеющихся учебных планов, программ и учебно-методической литературы по основным вопросам проблемы улучшения преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в X классе (учитывая, что для изучения всего курса стереометрии этот раздел является решающим) и указать конкретные пути устранения имеющихся в них недостатков.

2. Изучить состояние преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерних школах и дать анализ передового опыта работы учителей республики по преподаванию этого раздела.

3. Разработать один из возможных вариантов методики преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерней школе, отвечающего требованиям настоящего времени, на основе обобщения опыта работы учителей этих школ, передового опыта, отраженного в периодической литературе, и личного опыта автора (автор 13 лет работал в вечерней школе).

Автор, руководствуясь идеями классиков марксизма-ленинизма, указаниями партии и правительства по вопросу обучения взрослых и основываясь на последних достижениях советской педагогики, психологии и методики, в данной диссертации старался разрешить вышеуказанные проблемы.

Работая над диссертацией, автор тщательно изучил, исследовал и использовал материалы, касающиеся вечерних школ.

Диссертация, изложенная на 337 страницах, состоит из введения, пяти глав и заключения.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и указываются источники и материалы, которыми руководствовался автор в своих исследованиях.

Эти источники и материалы заключаются в следующем:

1. Анализ школьных программ, учебной и методической литературы по исследуемой теме.

2. Проведение педагогического (первого) эксперимента с целью изучения состояния преподавания стереометрии в вечерних школах.

3. Изучение передового опыта учителей математики и отдельных положений педагогики и психологии в связи с исследуемой темой.

4. Проведение педагогического (второго) эксперимента с целью выявления степени приемлемости предложенной автором системы изучения раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерней школе.

5. Обсуждение результатов исследования на методических совещаниях учителей математики.

Глава I — Особенности вечерних общеобразовательных средних школ — состоит из двух параграфов.

В § I говорится о той роли, которую сыграли постановления партии и правительства в деле развития и укрепления вечерних школ с первых дней их существования (1943 г.) до настоящего времени.

Здесь приводятся положения классиков марксизма-ленинизма об устранении грани между умственным и физическим трудом и значение их для вечерних школ.

Кроме того, в первом параграфе указаны статистические данные о развитии вечерних школ и контингенте учащихся в них по Азербайджанской ССР, начиная со дня образования их и до настоящего времени.

Эти данные показывают, что сеть вечерних школ и контингент учащихся растет из года в год.

§ 2 посвящен некоторым особенностям вечерних школ и их анализу.

Во II главе, состоящей из семи параграфов, дается анализ учебных планов, программ и учебно-методической литературы по математике с точки зрения преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» (по проблемам).

В § I дается анализ учебных планов и программ.

Организованные в октябре 1943 года вечерние школы работали по учебным планам, основательно отличающимся от учебных планов дневных школ. Ввиду того, что в вечерних школах занятия проводятся без отрыва от производства, содержание программных тем и в особенности количество часов, отведенных для их прохождения, резко отличалось от содержания программных тем и количества часов, отведенных для их прохождения в дневных школах.

Так, в 1943/44 учебном году для изучения раздела «Прямые и плоскости в пространстве» выделялось в вечерних школах 36 часов, а в дневных — 45 часов. В последующие годы, несмотря на включение новых тем (свойство параллельных

проекций, построение изображений плоских и пространственных фигур и т. д.) в данный раздел, количество выделенных часов убавилось до 30, а временами даже до 19 (см. программу средних школ по математике на 1962/63 учебный год. М., Учпедгиз, 1962, стр. 25). Кроме того, в IX—X классах вечерних школ образовался известный разрыв при изучении курса алгебры и элементарных функций и курса геометрии, вызванный ныне действующими учебными планами и программами. Например: в IX классе изучение планиметрии завершается в 1-ом полугодии, а затем, спустя 9 месяцев (время, равное почти учебному году), приступают к изучению стереометрии. В диссертации всесторонне обосновывается нецелесообразность подобного положения.

Известно, что одним из важнейших факторов в деле усвоения учебного материала по отдельным предметам, является научно и методически правильно обоснованная программа, отвечающая требованиям дня. Поэтому автор исследовал программы по математике периода 1943—1963 годов для дневных школ (в этот период обучение велось по программе дневных школ), а с 1963/64 учебного года программы вечерних школ с точки зрения избранной темы. Исследования показали, что в последующие годы наблюдались некоторые сдвиги в лучшую сторону в программах по стереометрии (более целесообразное распределение программного материала, стремление связать теорию с практикой, изучение математических предложений в более общей форме, уделение внимания развитию логического мышления и пространственного воображения и т. д.). Вместе с тем в существующих программах имеют место некоторые недостатки (основные задачи на построение, показывающие существование и единственность геометрических образов» не расположены в соответствующих местах программ и учебников, свойства параллельного проектирования с соответствующим программным материалом органически не связаны, основные геометрические места точек в пространстве даны в конце раздела и т. д.). В работе мы указали пути устранения вышеуказанных недостатков и дали примерное планирование учебного материала по разделу «Прямые и плоскости в пространстве» из расчета 36 часов.

В §§ 2—7 даётся анализ научно-методической литературы по следующим проблемам.

§ 2 посвящен выбору наиболее удачной системы аксиом для построения курса стереометрии в вечерних школах.

Известно, что курс геометрии строится дедуктивно.

Дедуктивная система изложения заключается в следующем:

1. Вводятся основные понятия.

2. Приводится перечень аксиом.

3. Формулируются теоремы и даются их доказательства.

4. Даются определения вновь вводимых понятий.

Исходя из того, что научная геометрия основана на аксиоматических методах, являющихся основой современной математики, автор специально остановился на выборе аксиом и проблеме изучения данного вопроса в школьном курсе геометрии. С этой целью автор дал краткий обзор развития геометрической науки, общие сведения о структуре геометрии, рассмотрел основные требования, предъявляемые к системе аксиом. При этом пришел к выводу, что из известных трех требований предъявляемых к системе аксиом, для вечерних. школ приемлемо только требование непротиворечивости.

Ряд авторов (И. А. Бронштейн, А. М. Лапшиц, А. А. Столяр. К. С. Халафов и др.) являются сторонниками того, чтобы определенная группа аксиом (аксиомы определения, аксиомы порядка и аксиомы параллельности) была введена в курс геометрии средней школы. Однако авторы существующих учебников и научно-методических статей (К. С Богушевский, Н. А. Глаголев, М. А. Джавадов, А. Ю. Ибрагимов, А. П. Киселев, Е. С. Кочеткова, В. И. Левин, А. И. Фетисов и др.), учитывая возрастные особенности и уровень знаний учащихся, выступают против строго аксиоматического построения школьного курса геометрии.

Ясно, что аксиомы, принимаемые в школьном курсе геометрии, не могут удовлетворять всем требованиям, предъявляемым к системе аксиом, принятой в науке. Но это не значит, что учебники не должны соответствовать научным требованиям. Здесь нужно выбрать непротиворечивую систему аксиом. Нельзя ставить требование независимости и полноты системы аксиом, потому что с одной стороны, достоверность некоторых математических предложений мы воспринимаем по интуиции (эти предложения мы не доказываем и не включаем в систему аксиом), с другой стороны включение всех этих аксиом затруднит изучение и усвоение курса стереометрии учащимися. С целью ознакомления учащихся с идеей аксиоматического построения курса геометрии, считаем целесообразным включить в курс стереометрии вечерних школ нижеследующие аксиомы (в том числе и имеющиеся в учебнике):

1. Существует прямая, проходящая через любые две точки в пространстве, и притом единственная.

2. Существует бесконечное множество точек, принадлежащих данной прямой. Существуют три точки, не принадлежащие одной и той же прямой.

3. Существует плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной прямой, и притом единственная.

4. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая приндалежит этой плоскости.

5. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют по крайней мере вторую общую точку.

6. Существуют четыре точки, не принадлежащие одной и той же плоскости.

И вытекающие из них следствия:

1. Плоскость и не приндалежащая ей прямая не могут иметь более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют общую прямую, проходящую через эту точку, и не имеют других общих точек, кроме точек этой прямой.

3. Через прямую и точку, не принадлежащую этой прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

4. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.

5. Через две паралельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

6. Через данную прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей.

Вышеуказанные аксиомы и вытекающие из них следствия, а также материал, изученный в курсе планиметрии, делают возможным дать достаточно строго аксиометрическое построение раздела «Прямые и плоскости в пространстве».

В § 3 рассмотрен вопрос о последовательности изучения тем: «Параллельность прямых и плоскостей» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей», являющихся основными разделами курса стереометрии, которые в учебниках, методических пособиях и статьях изложены в различной последовательности. И поныне нет единого мнения о последовательности изложения вышеуказанных тем (См. «Методические рекомендации руководителям школ города Москвы об уроках математики», выпущенные Московским городским отделом народного образования, М., 1966, стр. 15; «Проект программы средней школы по математике», журнал «Математика в школе» № 1, 1967 г., стр. 23 и др.).

Некоторые авторы (Х. Б. Абугова, К. С. Богушевский, Н. А. Глаголев, Е. Зеленин, 3. Я. Квасникова, А. А. Столяр, А. И. Фетисов и др.) предпочитают изложить сначала тему «Параллельность прямых и плоскостей», а затем тему «Перпендикулярность прямых и плоскостей» по следующим причинам:

а) наличие или отсутствие общих точек у двух прямых, у прямой и плоскости, а отсюда и понятие параллельности естественно и логично поставить в самом начале изучения стереометрии;

б) выполнение и чтение чертежей в первом случае для учащихся значительно легче, чем во втором, так как на чертеже

сохраняются не только параллельность, но и отношение отрезков параллельных прямых;

в) плоское изображение пространственных фигур искажает перпендикулярность, что затрудняет воспроизведение чертежа учащимися. Понятие перпендикулярности требует более развитого пространственного воображения, чем понятие параллельности.

Такая же последовательность прохождения материала предусматривается и в ныне действующей программе.

Некоторые авторы (И. Е. Гопп, А. Могильницкий, Т. А. Песков и др.), однако, не согласны с вышеуказанным порядком изложения тем, исходя из следующих соображений:

а) отдельные теоремы о перпендикулярности доказываются проще теорем о параллельности;

б) если сначала изучается перпендикулярность, учитель имеет возможность с первых уроков решать вычислительные задачи, придерживаясь того порядка, который принят в стабильном задачнике Н. Рыбкина.

Возникает необходимость определения целесообразности одной из выше приведенных концепций. Известно, что одной из основных целей преподавания стереометрии является развитие у учащихся логического мышления и пространственного воображения. Исходя из этого, соглашаясь с мнением первой группы авторов вместе с тем, мы в пользу этой точки зрения приводим еще следующие мотивы:

а) изложение материала в указанной последовательности дает возможность решать задачи на проекционном чертеже с первых же уроков, что имеет большое значение для развития пространственного воображения у учащихся;

б) решение задач на проекционном чертеже широко освещено педагогической печатью и эффективные результаты этого метода хорошо известны. Решение задач на проекционном чертеже и построение изображений плоских и пространственных фигур требуют изучения свойств параллельного проектирования, которые входят в тему: «Параллельность прямой и плоскости»;

в) задачи на вычисления, до введения понятия о перпендикулярности прямой к плоскости с успехом могут быть заменены задачами на построение на проекционном чертеже и задачами на доказательство.

В последующих главах диссертации подробно освещена методика преподавания указанных тем, исходя из предложенной последовательности изложения.

В § 4 обоснована удобность употребления математической символики в преподавании стереометрии и указано на то, что в школьной практике она почти не применяется. В диссертации приводится символика, которую использует автор в работе

и рекомендует применять в преподавании стереометрии в школе.

В § 5 дан анализ литературы, в которой рассмотрены построения изображения плоских и пространственных фигур, по следующим вопросам:

а) роль и значение чертежей в преподавании стереометрии:

б) об удобности и целесообразности параллельного проектирования в построении изображений плоских и пространственных фигур; основные свойства параллельного проектирования;

в) характерные ошибки, встречающиеся в школьной практике, при построении изображений пространственных фигур и их комбинаций, и пути их устранения;

г) методика изучения построения чертежей пространственных фигур.

Роль и значение чертежей в преподавании стереометрии, общеизвестны. С другой стороны, известно, что токари, слесари и другие квалифицированные рабочие обычно работу выполняют по заднным чертежам. Следовательно, необходимо, чтобы рабочий — ученик овладел умениями и навыками, необходимыми для того, чтобы он смог чертить и читать чертеж. Именно поэтому в вечерних школах нужно обратить особое внимание на то. чтобы преподавание стереометрии систематически тесно связывалось с преподаванием черчения.

Мы тщательно изучили положения, выдвинутые действительным членом АПН СССР проф. Н. Ф. Четверухиным, проф. А. М. Бескиным и другими, о роли и значении чертежей в преподавании стереометрии и сделали конкретные выводы, которыми пользовались в работе.

Затем рассмотрен вопрос о том, какой из частных видов параллельного проектирования целесообразно широко использовать при изучении раздела «Прямые и плоскости в пространстве».

С этой целью дан анализ некоторых методических статей, пособий и учебников ряда авторов (К. С. Богушевский, А. Ю. Ибрагимов, Н. П. Ирошников, 3. Я. Квасникова, Г. А Назаревский, А. А. Панкратова. Б. В. Романовский, В. Репьев, К. П. Сикорский и др.). В процессе преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» одни авторы рекомендуют применять кабинетную проекцию, другие принимают за основу произвольное косоугольное проектирование, но вместе с тем, замечают, что в некоторых случаях полезно применять и частные виды параллельной проекции. В диссертации исследованы вышеуказанные взгляды и отдано предпочтение второму взгляду.

В программе свойства параллельного проектирования даны после темы «Параллельность плоскостей». Однако проведен-

ный нами педагогический эксперимент и наблюдения показывают, что на первых уроках стереометрии целесообразно доказать первые три свойства параллельного проектирования, а с двумя последними свойствами ознакомить учащихся с помощью наглядных пособий (без доказательства).

Здесь уместно отметить, что в учебниках на азербайджанском языке, методических статьях и т. д. понятия «проекция», «рисунок», «изображение», «чертеж» очень часто отождествляются и во многих случаях употребляется термин «рисунок», что, несомненно, ошибочно- В диссертации на конкретных примерах разъясняются различия этих понятий.

Исследования показывают, что многие учащиеся при построении плоских и пространственных фигур, сечений многогранников и т. д. допускают грубые ошибки. Характерные из них приведены в диссертации, исследованы причины их происхождения и намечены пути устранения.

Нами исследованы также труды ряда авторов (К. С. Богушевский, А. Р. Зенгин, Д. Ф. Изаак, П. Г. Казаков, Е. С. Кочетоква. И. Г. Польский, А. Д. Семушин и др.), относящиеся к методике построения чертежей плоских и пространственных фигур. На основании выводов, полученных из данного исследования подробно излагается методика изучения этого вопроса в процессе преподавания раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерней школе.

Одним из главных вопросов преподавания математики и (в частности геометрии) является развитие логического мышления учащихся. Исходя из этого, в § 6 подробно исследуются логические ошибки, допускаемые учащимися при изучении раздела «Прямые и плоскости в пространстве» и даются рекомендации для их устранения.

При анализе логических ошибок учащихся мы опирались на идеи марксизма-ленинизма, труды математиков, педагогов и психологов Х. Б. Абуговой, Н. М. Бескина, В. И. Зыковой, Е. Н. Кабановой-Меллер, Н. И. Лобачевского, А. Д. Семушина. К. Д. Ушинского, А. И. Фетисова, А. Я. Хинчина и др. В диссертационной работе логические ошибки учащихся разделены на две группы: ошибки в области понятий и определений и ошибки в области предложений.

Проведенные эксперименты и наблюдения выявили следующее:

1. Учащиеся не понимают дедуктивное строение и логическую сущность курса геометрии, а также затрудняются понять роль первоначальных понятий, определений и аксиом.

2. Учащиеся не совсем хорошо понимают зависимость между прямой, обратной и противоположной теоремами, а также их связь с необходимыми и достаточными условиями.

3. Учащиеся не могут пользоваться различными методами

доказательства (анализом, синтезом, методом от противного и др.).

4. Учащиеся затрудняются в строгом доказательстве теорем и не чувствуют в нем необходимости.

5. Учащиеся не могут отличать определения некоторых понятий от соответствующих признаков (например, определение параллельности прямой и плоскости от соответствующего признака; определение перпендикулярности прямой и плоскости от соответствующего признака и т. д.). поэтому не могут правильно применять определения и признаки при доказательстве геометрических предложений.

6. Учащиеся трдно усваивают понятия скрещивающихся прямых и угла между ними, угла между прямой и плоскостью, линейного угла двугранного угла, расстояния между двумя прямыми в пространстве (особенно, если это скрещивающиеся прямые) и т. д.

Основные причины указанного положения состоят в следующем:

1. В программе и научно-методической литературе мало внимания уделено изучению дедуктивного строения геометрии.

2. Недостаточно разработана методика изучения структуры геометрии в школе. Учителя не всегда достаточно четко раскрывают содержание первоначальных понятий и аксиом, зависимость между математическим понятием, определением, аксиомой, теоремой.

3. С самого начала изучения геометрии (VI кл.) учителя мало заботятся о воспитании у учащихся чувства необходимости в доказательстве предложений.

4. В существующем учебнике А. П. Киселева определения некоторых понятий (например, параллельности прямой и плоскости, параллельности двух плоскостей, перпендикулярности прямой и плоскости, линейного угла двугранного угла и др.), формулировки и доказательства некоторых теорем (признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности двух плоскостей, теоремы о двух и трех перпендикулярах и др.) даны недостаточно точно и не в обобщенном виде.

В этом параграфе с точки зрения предупреждения логических ошибок в знаниях учащихся проанализированы учебники и методические пособия ряда авторов (Б. А. Агаев, Н. М. Бескин, К. С. Богушевский, Н. А. Глаголев, В. Городецкий, А. П. Киселев. Е. Ф. Моногенова, К. П. Сикорский. К. С. Халафов, А. И. Фетисов и др.). Полученные выводы автором диссертации использованы в разработке методики изучения данного раздела в вечерней школе.

В § 7 рассмотрен вопрос развития пространственного представления и воображения у учащихся вечерних школ при прохождении раздела «Прямые и плоскости в пространстве».

Известно, что одна из целей, стоящих перед преподаванием курса геометрии, заключается в том, чтобы развить пространственное представление учащихся. Для этого в курсе стереометрии имеются широкие возможности и разнообразные методы.

Мы знаем, что психологический процесс, при помощи которого происходит отображение характерных наглядных признаков предметов и явлений от прошлого восприятия, называется представлением. Представления играют важную роль в процессе восприятия учащимися предметов и явлений в совокупности их свойств, в усвоении математических понятий и применении их в практической деятельности.

Ф. Энгельс писал: «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира» (Анти-Дюринг, ОГИЗ, 1948,стр. 37). Значит, геометрия, специальный раздел математической науки, и является наукой, изучающей пространственные формы материального мира. Большое значение в деле развития пространственного представления учащихся имеет изучение пространственных форм материального мира и их взаимосвязей.

Используя различные пути при изложении курса стереометрии, учитель должен помочь создать учащимся новые пространственные представления.

Имеется ряд научно-исследовательских работ, посвященных развитию пространственного представления при изучении геометрии у учащихся дневных школ (Г. А. Владимирский. П. Я. Дорф, Е. В. Фетисов и др.). Однако аналогичные работы для вечерних школ почти отсутствуют.

Принимая во внимание соответствующую специфику вечерних школ и используя выводы вышеуказанных авторов, мы обстоятельно изложили пути и способы развития пространственного представления у учащихся этих школ (используя наглядные пособия, устное решение задач, задачи на построение, трудовой опыт самих учащихся и т. д.).

III глава — Исследование состояния преподавания стереометрии в вечерней (сменной) общеобразовательной средней школе (первый эксперимент) — состоит из четырех параграфов.

§ 1 посвящен цели исследования. Эта цель заключается в том, чтобы с научной и методической точек зрения изучить состояние преподавания программного материала, степень усвоения материала учащимися, выявить степень умения и навыки применения теории в практике.

Изучая опыт работы передовых учителей в данной области, мы старались выявить и обобщить лучшие стороны этого опыта. Цель педагогического эксперимента заключалась ещё в том, чтобы выявить трудности, встречающиеся в процессе пре-

подавания раздела по существующим программам и учебникам, и определить как отражются недостатки программ и учебников на знаниях учащихся.

§ 2 посвящен методике исследования. Методика исследования заключалась в следующем:

1. Изучение тематического и поурочного планов учителей.

При изучении тематических планов обращалось внимание:

а) насколько правильно, полно, логично и рационально распределены темы и подтемы данного раздела программ и как правильно разделено количество выделенных часов; в) насколько целесообразно запланировано повторение учебного материала, как спланированы обобщающие уроки после той или иной темы и т. д.

При изучении поурочных планов обращалось внимание: а) на правильные определения типа, цели, методов проведения и оборудования урока; б) на содержание, правильное чередование отдельных этапов урока; в) на эффективность урока и степень активизации мышления учащихся; г) на научно-идейный уровень урока.

2. Изучение классных журналов и письменных работ учащихся с целью определения: а) как реализуются тематические планы; б) насколько планомерно и систематически проводится устная проверка знаний учащихся, контрольные работы и их содержание; в) какова успеваемость учащихся по математике, в частности по стереометрии.

3. Наблюдения на уроках учителей и собеседование с ними, с целью:

1) Определить: а) правильность построения уроков с научно-методической точки зрения; б) как осуществляется связь теории с практикой; в) пути закрепления пройденного материала; г) наличие индивидуальной работы с отстающими учащимися; 2) Выявить характерные недостатки в работе учителей (если они есть) и определить их основные причины; 3) Обобщить опыт работы лучших учителей; 4) Установить: а) трудности, встречающиеся при выполнении учебной программы и методы и средства, которые применяют учителя для ликвидации этих трудностей; б) общий уровень усвоения программного материала классом и отдельными учащимися; в) причины плохого усвоения материала отдельными учащимися, и ознакомиться в связи с этим с мнениями и предложениями учителей в части улучшения методов преподавания и совершенствования программ.

4. Проведение письменных работ по специально составленным упражнениям.

Цель этой работы: по отдельным вопросам исследуемой темы проверить в разных классах реальное состояние знаний и

возможностей учащихся по усвоению программного материала.

§ 3 посвящен проведению педагогического эксперимента и его результатам. Педагогический эксперимент был проведен в перечисленных ниже вечерних школах г. Баку и его районов: № 10 (препод. Г. Гусейнов, А. Аскерова); № 23 (препод. А. Мирзоян, Ф. Ниязи. Э. Григорян, Л. Скляничкина); № 48 (препод. Н. Меджидова); № 84 (препод. С. Халафли, Б. Султанова); № 96 (препод. К. Ахмедов); № 90 (препод. Н. Мамедов. Ш. Абдуллаева) ; №27 (препод. Н.Нуралиев, Т. Муталлимов); № 51 (препод. А. Мамедов).

Во время проведния эксперимента были обнаружены следующие недостатки в работе учителей:

1. Некоторые учителя не придерживаются последовательности изучения учебного материала по программе, а придерживаются последовательности, указанной в учебнике А. П. Киселева. В результате этого понятие угла между скрещивающимися прямыми преподносится учащимся не на первых уроках, а в конце раздела. О параллельном проектировании и его частном случае, ортогональном проектировании, либо не дается никаких сведений, либо они даются очень поверхностно.

2- Ряд педагогов, еще не ознакомив учащихся с понятием перпендикулярности прямой к плоскости, приступают к решению задач по задачнику Н. Рыбкина, а это значит, что учащиеся решают задачи формально. Это несоответствие программы, учебника и задачника учитель может и должен устранить.

3. В основном решаются задачи на вычисления. Мало уделяется внимания решению задач на построение и доказательства, в которых есть большая необходимость. Вместе с тем определения геометрических образов не связываются с задачами существования.

4. Некоторые учителя уделяют недостаточно внимания повторению (1—2 часа в конце учебного года).

5. Задачи, данные учителями в проверочных письменных работах, были по последней пройденной теме, не было никакой связи с предыдущими темами. В некоторых школах письменные работы были проведены не с целью проверки знаний учащихся, а ради выполнения тематического плана.

6. В поурочных планах учителей обнаружены следующие недостатки:

а) построение большинства уроков однообразно, учителя не проявляют творческой инициативы, чтобы уроки были эффективными; б) как правило обучение математике в школе не связывается повседневно с трудовой деятельностью учащихся. в) поурочные планы составляются очень сокращенно и схематично и поэтому в них очень трудно «уловить» и определить методические соображения учителей.

7. Слабо ведется текущий учет успеваемости учащихся.

Чтобы выявить состояние усвоения раздела «Прямые и плоскости в пространстве» учащимися, мы составили 30 различных вариантов упражнений, которые полностью охватили этот раздел, и провели контрольные работы в школах.

В диссертации приведен подробный анализ результатов этих контрольных работ и сделаны соответствующие выводы.

IV глава посвящена методике изучения раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерней школе.

Успешное усвоение раздела «Прямые и плоскости в пространстве» (как и всех других разделов математики) зависит от логического, рационального расположения материала и правильного научно-методического изложения данной темы. Именно поэтому мы старались расположить материал так, чтобы знания и навыки, полученные учащимися на новом уроке, опирались на предшествующий материал и в то же время служили предпосылкой для изучения следующей темы.

При введении каждого нового понятия мы считали нужным дать теорему существования (в виде задачи) соответствующего геометрического образа. Кроме этого, вновь изучаемые геометрические образы, понятия и предложения объясняли примерами, взятыми из окружающей нас действительности, связанные с трудовой деятельностью учащейся рабочей молодежи, с техникой.

В этой главе приведено изложение теоретического материала каждой темы (с методическими указаниями), основанное на выводах, полученных в предыдущих главах данной диссертации, и даны подробные решения ряда задач по темам.

Для повторения и закрепления пройденного материала в конце каждой темы приводятся вопросы и упражнения, которые могут быть использованы учителем. Эти вопросы и упражнения можно разбить на следующие виды:

а) упражнения подготовительного характера;

б) упражнения, помогающие усвоению нового теоретического материала;

в) упражнения, помогающие закреплению пройденного материала;

г) упражнения, помогающие закреплению ранее пройденного материала;

д) упражнения, помогающие развитию практических умений и навыков учащихся.

В теме «Определения, аксиомы и теоремы в математике; необходимые и достаточные условия» даются краткие исторические сведения о развитии геометрической науки, на основе изученного материала из курса планиметрии изложена сущность первоначальных понятий, определений, аксиом и теорем в математике. Необходимые и достаточные условия объяснены на известных теоремах из планиметрии и в дальнейшем они

используются при прохождении раздела «Прямые и плоскости в пространство. Приведено достаточное количество разнообразных упражнений, помогающих сознательному усвоению понятия «Необходимые и достаточные условия».

После этого рассматриваются аксиомы стереометрии и их следствия. С помощью этих аксиом и их следствий даются определения следующих понятий: совпадающие плоскости; пересекающиеся прямая и плоскость; пересекающиеся плоскости. Здесь же указан ряд примеров на применение на практике изученных аксиом и введенных понятий.

При рассмотрении взаимного расположения прямых в пространстве доказывается теорема существования скрещивающихся прямых, дается определение этого понятия и его признак. На пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые приводятся примеры из производственной практики учащихся.

В теме «Свойства параллельного проектирования» следует опираться на знания учащихся об изображении пространственных фигур и их комбинаций, полученные на уроках черчения, отметить широкое применение чертежей в производстве.

Затем даются понятия «плоскость проекции», «проектирующие прмые», «проекции точки», «данные точки» и доказываются первые три свойства параллельного проектирования (проекция точки есть точка; проекцией прямой, не параллельной направлению проектирования, является прямая; отношение отрезков проектируемой прямой равно отношению их проекций), а справедливость других двух свойств (проекции параллельных прямых параллельны между собой; отношение параллельных отрезков равно отношению проекций этих отрезков) подтверждается с помощью наглядных пособий, доказтельства этих свойств даются после изучения параллельных плоскостей. После этого решаются простые задачи на построение на проекционном чертеже.

В теме «Углы с соответственно параллельными сторонами» доказываются следующие теоремы:

1. Если плоскость пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

3. Два угла, с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами, равны.

После доказательств этих теорем даются определения угла между скрещивающимися прямыми и взаимной перпендикулярности двух прямых в пространстве, а также доказывается предложение «Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и к другой».

Далее рассматривается взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, даются теоремы существования параллельности прямых и плоскостей и соответствующие определения. Затем излагаются необходимое и достаточное условия параллельности прямой и плоскости.

По данной теме даны некоторые задачи на проекционном чертеже и задачи на доказательства, кроме этого, показано применение теоретического материала в практических вопросах на производстве.

В теме «Взаимное расположение двух плоскостей», дается теорема существования двух параллельных плоскостей и доказывается теорема — признак параллельности двух плоскостей. Следует отметить, что теорема—признак параллельности двух плоскостей легко доказывается на основании теоремы существования, поэтому эту и следующие теоремы можно предложить учащимся доказать самостоятельно:

1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии пересечения плоскостей параллельны между собой.

2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, равны.

Затем приводятся примеры параллельных плоскостей в производстве, решаются задачи на построение и доказательство.

Здесь доказываются IV и V свойства параллельного проектирования.

Далее изложена тема «Геометрические места точек в пространстве», даны задачи и упражнения по данной теме. Надо отметить, что введение темы «Геометрические места точек в пространстве» в программу по стереометрии вечерней школы очень полезно, так как задачи, решаемые в этой теме помогают развитию логического мышления и пространственного воображения учащихся. Без этого знания учащихся по стереометрии, были бы неполными.

Опыт показывает, что учащиеся затрудняются при решении задач на применение геометрических мест точек в пространстве. Для устранения этого недостатка необходимо выполнить ряд упражнений в нахождении геометрических мест точек в пространстве. В диссертации приведено достаточное количество таких упражнений. Задачи, в которых требуется применение геометрических мест точек в пространстве, дают возможность познакомить учащихся с различными взаимными комбинациями геометрических фигур в пространстве. Решение задач на«воображаемые построения» с помощью геометрических мест способствуют развитию у учащихся пространственного представления.

В теме «Перпендикуляр и наклонные» рассматриваются в обобщенном виде теорема о двух перпендикулярах, опреде-

ление и признак перпендикулярности прямой к плоскости, которые связываются с задачами на доказательство, построение и нахождение геометрических мест точек в пространстве. Здесь же рассматривается применение указанных предложений в производстве.

Все свойства произвольного косоугольного проектирования относятся к ортогональным проекциям, но есть свойства, которые относятся только к последним. Порядок изучения этих свойств указан в диссертации.

Имея ввиду, что учащимся вечерней школы, на производстве часто приходится встречаться с чертежами, данными в ортогональной проекции, им необходимо сознательно усвоить взаимное расположение прямых и плоскостей в ортогональной проекции, а также развить графическую культуру, научится читать чертежи; с этой целью в диссертации даны устные упражнения, задачи на построение и некоторые задачи на вычисления графического характера с решениями в ортогональной проекции.

Затем рассмотрена тема «Угол между прямой и плоскостью и его свойства». Для успешного усвоения этого понятия используется наглядное пособие, с помощью которого можно демонстрировать следующую теорему:

Острый угол между прямой и ее ортогонольной проекцией на плоскости есть наименьший угол из всех углов, которые образует эта прямая с любыми прямыми в этой плоскости.

Только после доказательства этой теоремы дается определение понятия «угол прямой с плоскостью»:

Углом между прямой и плоскостью называется острый угол, образованный этой прямой с ее ортогональной проекцией на эту плоскость.

Далее рассматривается тема «Сравнительная длина перпендикуляров и наклонных». Изложение ее аналогично тому, которое имеется в стабильном учебнике А. П. Киселева.

Известно, что при решении ряда задач применяется теорема о трех перпендикулярах, формулировка и доказательство которой не вызывает у учащихся затруднений, но применять ее к решению задач они зачастую не умеют. Учащиеся, видя перпендикулярность прямой к проекции наклонной, не могут сделать вывод о перпендикулярности этой же прямой к самой наклонной.

Для того, чтобы устранить эти затруднения, надо пользоваться наглядными пособиями, описание и применение которых даны в пособиях П. Я. Дорфа, Е. Ф. Данилова и др.

Доказательство теоремы о трех перпендикулярах основывается на обобщенном определении и признаке перпендикулярности прямой и плоскости.

Следующие теоремы о зависимости параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей сформулированы в виде задач на доказательства и приведены их решения.

1. Доказать, что если из двух параллельных прямых одна перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

2. Доказать, что если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны между собой.

3. Доказать, что если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости.

4. Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

Последнее предложение можно считать вторым признаком параллельности двух плоскостей.

Далее рассмотрены задачи на «воображаемые построения» и для сравнения этим же способом решен ряд задач, ранее решенных на проекционном чертеже.

В теме «Двугранные углы» до определения понятия линейного угла полезно рассмотреть с учащимися следующую задачу:

Доказать, что из всех прямых, проведенных на одной из граней двугранного угла, прямая, перпендикулярная его ребру, образует наибольший угол с другой гранью (эта прямая называется линией наибольшего ската плоскости).

После этого дается определение линейного угла двугранного угла:

Линейным углом двугранного угла называется угол между двумя перпендикулярами, лежащими в каждой грани, к ребру двугранного угла.

Далее указывается на то, что в частном случае перпендикуляры могут пересечься в одной и той же точке ребра двугранного угла.

Для демонстрации двугранного и линейного углов, наряду с другими наглядными пособиями, используется и модель Д. Маергойзина.

Как известно, имеется учебный прибор, при помощи которого можно измерять непосредственно двугранные углы; в диссертации показано как использовать этот учебный прибор для измерения двугранных углов различных деталей на производстве и дан ряд соответствующих упражнений.

До определения биссектральной плоскости двугранного угла дается теорема существования этого геометрического образа.

После определения перпендикулярности плоскостей доказывается необходимое и достаточное условие перпендикуляр-

ности двух плоскостей, причем доказательство дается в общем виде с использованием понятия линейного угла, данного нами выше, и обобщенного определения и признака перпендикулярности прямой и плоскости.

На обобщающих уроках повторения взаимного расположения двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей, теоремы о двух и трех перпендикулярах, двугранного угла и его линейного угла и т. д. можно использовать в качестве наглядного пособия токарный резец (модель в увеличенном виде и рисунок — плакат).

V глава посвящена педагогическому эксперименту (второй эксперимент), проведенному в десятых классах вечерней общеобразовательной средней школы, и выводам.

Для выяснения целесообразности и приемлемости предложенной методики изучения раздела «Прямые и плоскости в пространстве» был проведен педагогический эксперимент в десятых классах следующих вечерних школ Октябрьского, Наримановского, Орджоникидзевского и Артемовского районов г. Баку: № 10 (препод. Г. Гусейнов). № 23 (препод. Е. Григорян и Ф. Ниязи), № 27 (препод. Т. Муталимов и Н. Нуралиев), № 84 препод. (Б. Солтанова, С. Салманов, С. Халафли, А. Яфтумов), № 96 (препод К. Ахмедов).

До начала проведения педагогического эксперимента мы ознакомили вышеперечисленных педагогов с §§ 4, 5, 6, 7 второй главы и четвертой главой диссертации и объяснили им цель проводимого эксперимента.

В процессе проведения педагогического эксперимента, в результате наших наблюдений, в собеседованиях с педагогами и по письменным отзывам, данным педагогами, мы пришли к выводу, что предложенная нами методика при изучении указанного раздела приемлема и материал хорошо усваивается учащимися. Это же подтвердилось при опросе учащихся и при проведении контрольных работ по пройденной теме.

Но вместе с тем, при проведении педагогического эксперимента мы сталкивались с некоторыми трудностями:

1. Изучение материала, изложенного в некоторых параграфах (§ 8; § 16; § 17), невозможно было уложить в один урок, как это предусмотрено в диссертации.

2. В некоторых случаях учащиеся затрудняются прямую и обратную теоремы сформулировать в одном предложении с использованием понятия необходимого и достаточного условия и затрудняются в доказательстве этих теорем.

3. Учащиеся затрудняются в самостотельном решении задач на нахождение геометрических мест в пространстве.

Проанализировав причины этих трудностей, мы сделали следующие выводы:

1. Невозможность изучения некоторого материала на одном уроке не следствие того, что он велик по объему или труден, а это результат того, что его нет в учебниках и потому на запись этого материала надо выделить определенное время. Значит, если указанный материал будет включен в учебник (а введение его в учебник очень желательно), то эти трудности не будут возникать.

В процессе педагогического эксперимента часть материала, который невозможно было пройти в течение одного урока, был перенесен на другой урок.

2. То, что учащиеся затрудняются использовать необходимое и достаточное условия связано с тем, что они не имели никакого представления (в предыдущих классах), об этих понятиях. Отсюда следует, что для разрешения этого вопроса надо вести подготовительную работу, начиная с VII класса.

3. То, что учащиеся затрудняются самостоятельно решать некоторые задачи на нахождение геометрических мест точек в пространстве, объясняется не трудностью их, а тем, что у учащихся вообще слабо развит навык самостоятельности в решении математических задач.

Мы старались ознакомить преподавателей математики вечерних школ с основными результатами данной работы и учесть их замечания. С этой целью автор выступал с изложением основных положений диссертации на районных (Артемовского и Орджоникидзевского р-нов г. Баку) и городских (г. Баку и г. Сумгаит) конференциях преподавателей математики в 1962, 1963 и 1965 годах и проводил занятия на курсах усовершенствования учителей г. Баку и республики.

Доклады на темы: «О развитии логического мышления учащихся на уроках стереометрии в X классе вечерних (сменных) общеобразовательных средних школ» и «О последовательности изучения параллельности прямых и плоскостей и перпендикулярности прямых и плоскостей», с которыми автор выступил на X (1963) и XI (1964) научных конференциях молодых научных работников Азербайджанского Государственного Педагогического института им. В. И. Ленина, получили одобрение, и этот материал опубликован в трудах конференции.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ АВТОРА:

1. О проекте программы по математике IX—XI классов вечерней (сменной) средней общеобразовательной школы, «Математика в школе», 1963, № 3, стр. 59.

2. О развитии логического мышления учащихся на уроках стереометрии в X классе вечерних (сменных) общеобразовательных средних школ. Материалы X научной конференции научных работников АПИ имени В. И. Ленина, Баку, 1963, стр. 70—72.

3. О последовательности изучения темы «Параллельность прямых и плоскостей» и «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Материалы XI научной конференции научных работников АПИ имени В. И. Ленина, Баку, 1964, стр. 41—44.

4. Изучение некоторых теорем из раздела «Прямые и плоскости в пространстве» в вечерней (сменной) общеобразовательной школе. Метод. Сб. «Преподавание физики и математики», 1964, вып. III. стр. 51—57.

5. Изучение аксиом в курсе стереометрии в вечерней (сменной) общеобразовательной школе. Метод. Сб. «Преподавание физики и математики». 1965, вып. III. стр. 39—46.

6. Логические ошибки в знаниях учащихся по курсу стереометрии в вечерних (сменных) общеобразовательных средних школах и пути их устранения. (Издание Азербайджанского института усовершенствования учителей). Баку, 1965, 2,25 п. л.

7. Методическое пособие по стереометрии для вечерних (сменных) общеобразовательных средних школ (Издание Бакинского института усовершенствования учителей). Баку, 1965. 4,25 п. л.

Кроме этого, автором в центральных республиканских газетах и методических журналах опубликованы статьи «Вечерняя школа и требования жизни», «Наглядность в преподавании геометрии», «О математических диктантах», «О полезных пособиях по курсу стереометрии», «Применение формулы Симпсона для вычисления объема тел», «Элементы геометрии» и др., в которых особое внимание уделяется преподаванию стереометрии в вечерних (сменных) общеобразовательных средних школах.

Сдано в набор 29/III-1967 г. Подписано к печати 6/IV-1967 г, Формат бумаги 60х901/16. ФГ 17114. Объем 11/2. Заказ 615. Тираж 150. Бесплатно.

Типография им. 26 Бакинских Комиссаров Баку ул. Али Байрамова 3.