АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

В. Г. АШКИНУЗЕ

ПОСТРОЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ ВОСЬМОГО КЛАССА НА ОСНОВЕ ИДЕИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

Научный руководитель — член-корреспондент АПН РСФСР, доктор физико-математических наук, проф. В. Л. ГОНЧАРОВ

Москва — 1956

Настоящая диссертационная работа имеет своей целью выяснить возможность и наметить конкретные пути последовательного и широкого внедрения идеи, функциональной зависимости в курс алгебры средней школы. Таким образом, объектом рассмотрения является не одна какая-либо тема или раздел курса алгебры, а проблема взаимной связи и взаимного проникновения различных разделов курса и группировки этих разделов вокруг центральной идеи — идеи функциональной зависимости. Эта проблема рассматривается подробно в отношении VIII класса. Тем не менее, как мы полагаем, основные методические положения, разработанные в диссертации, сохраняют свое значение и за пределами VIII класса.

Указанные выше цели определяют структуру диссертации: одна из ее частей, — вторая часть, — является разработкой годового курса алгебры VIII класса, включающей в себя весь необходимый теоретический материал и примерный подбор упражнений к нему (всего 235 упражнений). Такая форма дает, повидимому, наибольшие возможности осветить чрезвычайно многочисленные и разнообразные вопросы, которые неизбежно возникают при рассмотрении годового курса как единого целого.

Второй части диссертации предпосылается первая, в которой устанавливаются общие методические положения, лежащие в основе предлагаемого построения курса алгебры VIII класса.

Третья — и последняя — часть диссертации посвящена описанию экспериментальной проверки предлагаемого курса алгебры VIII класса и анализу ее результатов.

Первая часть диссертации содержит четыре главы.

Первая глава носит вводный характер; в ней вопрос о построении курса алгебры на основе идеи функциональной зависимости рассматривается с точки зрения задач политехнического обучения.

Основное требование к преподаванию математики, вытекающее из задач политехнического обучения, заключается в том, что математические знания, даваемые учащимся средней школой, должны быть практически применимыми. Это основное требование может быть отнесено и к качеству обучения и к отбору подлежащего изучению материала. В отношении каче-

ства обучения требование практической применимости знаний означает прежде всего требование глубокого и активного усвоения математической теории, осознание единства и взаимной связи различных разделов этой теории между собой и с другими дисциплинами. Что касается отбора материала, то, в соответствии с задачами политехнического обучения, изучению в школе подлежит то, что богато практическими приложениями, что вводит в круг общих и плодотворных математических идей и методов (которые сами могли возникнуть и развиться лишь из потребностей практики), то, что, по словам академика П. С. Александрова, находится «на столбовой дороге математики, а не в ее закоулках».

Последовательное построение курса алгебры средней школы на основе идеи функциональной зависимости дает возможность выполнить все указанные требования. В самом деле, это обеспечивает курсу алгебры тесную связь с приложениями, Дает возможность самым естественным образом ввести в рассмотрение и сделать объектом математического исследования большое число законов физики, химии, техники, которые все выражают те или иные функциональные зависимости.

Идея функциональной зависимости, отражающая явления в их взаимной связи, в их изменении и развитии, в наибольшей степени соответствует положениям диалектического материализма — мировоззрения, которое советская школа воспитывает у учащихся.

Наконец, курс алгебры, основанный на идее функциональной зависимости, приобретает необходимую стройность и целеустремленность, благодаря которым особенно отчетливо обнаруживаются взаимные связи и взаимное проникновение различных частей курса.

При этом упражнения с функциональным содержанием часто требуют от учащихся привлечения знаний и умений, относящихся к различным разделам курса. Эти упражнения воспитывают у учащихся инициативу в выборе из всего запаса имеющихся у них знаний того материала, который необходим для решения данного вопроса, привычку контролировать каждое свое действие и до конца осмысливать получаемые результаты. Все это не может не способствовать глубокому и сознательному усвоению учащимися математической теории.

Таким образом, построение школьного курса алгебры на основе идеи функциональной зависимости есть действенное средство решения задач политехнического обучения в преподавании алгебры.

В той же первой главе кратко излагается история проникновения идеи функциональной зависимости в курс алгебры рус-

ской средней школы. При этом обнаруживается, что борьба за внесение идеи функциональной зависимости в курс математики средней школы в течение всего последнего столетия стояла в центре борьбы передовых педагогических сил за сближение школьного преподавания с требованиями жизни, практики с одной стороны, и науки, с другой стороны, против схоластики и формализма в обучении математике. В частности, весьма поучительные оказывается опыт введения элементов высшей математики в курс реальных училищ и кадетских корпусов. Этот опыт показывает, что необходимым условием успеха введения элементов высшей математики в курс выпускного класса средней школы является проникновение идеи функциональной зависимости в курс математики предшествующих классов. Это обстоятельство становится особенно существенным в настоящий момент, в связи с предстоящим включением в курс X класса элементов математического анализа, которое предусмотрено проектом новой программы по математике.

Вторая глава первой части диссертации посвящена методическим вопросам, связанным с изучением понятий функции и ее графика. Основные методические установки диссертации по этим вопросам вытекают из того, что введение понятия функции определяет в процессе обучения скачок в развитии абстрактного мышления учащихся, переход на новую, высшую ступень абстракции.

Как установлено экспериментальными исследованиями в области психологии обучения1, при переходе на высшую ступень абстракции роль второй сигнальной системы в образовании временных связей оказывается весьма ограниченной; основную же роль играют первосигнальные связи. Применительно к рассматриваемому нами вопросу это означает, что не определение понятия функции играет решающую роль в деле усвоения учащимися идеи функциональной зависимости (особенно на первых порах ее изучения), а те наглядные (в первую очередь — графические) представления, которые у учащихся будут связаны с понятием функции.

Кроме того, усвоение понятия функции, являясь переходом на новую ступень абстракции, должно быть процессом более или менее длительным. Поэтому понятие функции должно занимать такое место в курсе алгебры, чтобы учащиеся могли сталкиваться с ним в разнообразных вопросах на протяжении достаточного времени.

Наконец, для того, чтобы в нужный момент стал возможным переход на ту ступень абстракции, которая характери-

1 Н. А. Менчинская, «К проблеме психологии усвоения знаний». (Известия АПН РСФСР, вып. 61, 1954 г.).

зует изучение функциональной зависимости, необходимо, чтобы предыдущая ступень абстракции, связанная с введением буквенных обозначений, была осознана учащимися как ступень абстракции. Это положение говорит о необходимости специально заботиться о том, чтобы на протяжении VI и VII классов в процессе изучения уравнений и, особенно, тождественных преобразований учащиеся не утрачивали понимания числового, арифметического смысла буквенных выражений.

Часть второй главы посвящена обзору современной учебной и методической литературы с точки зрения сформулированных выше положений.

Рассматривается также вопрос о характере вырабатываемых у учащихся наглядных представлений, связанных с понятиями функции и ее графика. Для того, чтобы эти представления были адэкватны изучаемым понятиям, необходимо, чтобы график функции осмысливался как геометрическое место точек, абсциссами которых являются допустимые значения аргумента, а ординатами — соответствующие значения функции. При этом основная психологическая трудность заключается в том, что при соединении плавной кривой конечного числа точек (координаты которых вычислены) учащиеся должны самостоятельно представить себе бесконечное число оставшихся невыполненными вычислений и построений. Не будучи в состоянии сделать этого, учащиеся часто не осознают реального смысла промежуточных точек графика функции, что серьезно затрудняет все дальнейшее изучение функционального материала.

Наиболее естественным путем преодоления этой трудности является выработка в сознании учащихся «динамической модели» функциональной зависимости: представления о непрерывно движущейся по оси абсцисс точке, изображающей изменение аргумента, и о расположенной на одной с ней вертикали другой точке с переменной ординатой, изображающей изменение функции. Такая модель дает возможность осмыслить график функции как траекторию движущейся точки, как результат конечного процесса движения. Стремление к выработке такой модели определяет соответствующий подход к понятию функции (на первых порах его изучения), который мы называем динамическим и который проявляется в формулировках основных определений (использующих понятие переменной величины) и, особенно, в выборе примеров для первоначального рассмотрения.

Третья глава первой части диссертации посвящена тождественным преобразованиям алгебраических выражений.

В первом параграфе этой главы рассматривается с методической точки зрения вопрос о теории тождественных преобразований. Дело в том, что на буквенные выражения можно смотреть двояким образом: можно считать, что действия над буквенными выражениями являются просто действиями над числами, только обозначенными специальным образом — при помощи букв; другая возможная точка зрения состоит в том, что буквенные выражения рассматриваются как самостоятельные объекты арифметических операций, имеющие нечисловой характер. Первая — арифметическая, или функциональная — точка зрения естественным образом возникает в школьном преподавании с первых шагов изучения алгебры — при введении буквенных обозначений; в дальнейшем, именно эта точка зрения обеспечивает возможность проведения идеи функциональной зависимости при изучении тождественных преобразований. Вторая же — абстрактно-алгебраическая, или формальная — точка зрения характерна для некоторых формальных конструкций современной абстрактной алгебры (таких, как кольцо многочленов над данным полем и т. д.), которые в случае полей конечной характеристики не могут быть осуществлены на основе функциональной точки зрения. Формальная точка зрения, рассматривающая алгебраические выражения как некоторые символические объекты арифметических действий, а их числовые значения — как нечто внешнее по отношению к ним, совершенно чужда элементарной алгебре. Тем не менее, анализ методической литературы показывает, что в последнее время намечается тенденция провести в элементарной алгебре формальную точку зрения.

Рассматривая вопросы методики изучения тождественных преобразований, мы исходим из того, что тождественные преобразования в математике являются не объектом, а орудием, инструментом исследования. Это, конечно, не означает, что тождественные преобразования не должны быть в школе предметом самостоятельного специального изучения. Но для того, чтобы учащиеся могли овладеть тождественными преобразованиями как необходимым аппаратом, нужно, чтобы тождественные преобразования в процессе их изучения находили себе применения. При этом многочисленные и весьма разнообразные примеры упражнений, требующих осмысленного и целенаправленного применения тождественных преобразований доставляются упражнениями с функциональным содержанием.

Основная методическая задача в преподавании раздела тождественных преобразований заключается в том, чтобы привить учащемуся умение в каждом конкретном случае усматривать, какой вид алгебраического выражения наиболее удобен

для решения стоящей перед ним задачи, и выполнять все преобразования, которые требуются для приведения к этому виду. Полное решение этой задачи представляет собой самостоятельную методическую проблему, которая вполне назрела в настоящее время и должна явиться темой специального исследования. В диссертации делаются первоначальные попытки приблизиться к решению этого вопроса в отношении тождественных преобразований иррациональностей.

Четвертая глава первой части диссертации посвящена изучению уравнений. Вопрос о решении уравнений можно рассматривать как один из вопросов исследования функций. Тем самым изучение уравнений естественным образом включается в общую систему изучения функциональной зависимости, и рассмотрение каждого вида уравнений тесно связывается с изучением соответствующих функций. В диссертации показывается, что такое единство изучения уравнений и функций приносит пользу обоим этим разделам курса.

Теоретической основой решения уравнений в школе служит теория равносильности уравнений. Анализ различных изложений теории равносильности в методической литературе показывает, что они недостаточно соответствуют потребностям практики решения уравнений, результатом чего является известный отрыв этой практики от теории равносильности. В диссертации устанавливается, что для достижения наибольшего соответствия между теорией равносильности и потребностями практики решения уравнений следует использовать пониятие смешанной системы, т. е. системы, состоящей из уравнений и неравенств1. Здесь же дается изложение теории равносильности при помощи смешанных систем. Доказываются две общие теоремы, охватывающие все возможные преобразования: в одной из этих теорем рассматриваются тождественные преобразования каждой из частей уравнения, в другой — преобразования уравнения, заключающиеся в выполнении над обеими ее частями одних и тех же операций. Частными случаями этих общих теорем являются все обычно применяемые на практике теоремы о равносильности уравнений. В диссертации указывается также система изучения теории равносильности уравнений в VII—X классах.

Примерно по тому же плану излагается теория равносильности систем уравнений. При этом, в частности, оказывается, что все применяемые обычно преобразования систем уравнений могут быть сведены к преобразованию, называемому подстановкой.

1 Это понятие использовано в других ситуациях несколькими авторами (И. А. Гибш, С. И. Новоселов, П. С. Моденов).

В той же главе диссертации рассматривается понятие кратности решения системы уравнений, которое тесно примыкает к кругу вопросов, изучаемых в VIII классе средней школы, а потому имеет определенный методический интерес, хотя до сих пор не рассматривалось в методической литературе. В отличие от определений, имеющихся в монографиях по алгебраической геометрии (которые используют громоздкий вспомогательный аппарат и потому доступны лишь узкому кругу специалистов), даваемое в диссертации определение кратности решения системы уравнений опирается лишь на основные понятия математического анализа. При этом указывается элементарный способ нахождения кратности решений систем уравнений, использование которого в VIII классе серьезно углубляет геометрическое содержание темы «Нелинейные системы уравнений».

Вторая часть диссертации состоит из семи глав, соответствующих темам VIII класса, и расположенных в том порядке, в каком они предназначаются для изучения.

Первая глава (10 часов) имеет целью повторение материала VI и VII классов, а также известное углубление и обобщение этого материала. Упражнения подобраны с таким расчетом, чтобы не только закрепить навыки, приобретаемые в VI и VII классах, но и в достаточной мере обеспечить сознательность всех выполненяемых операций. Последнее в особенности относится к тождественным преобразованиям.

Специально обращается внимание учащихся на связь, существующую между разложением на множители многочленов и решением алгебраических уравнений. Показ приема разложения на множители квадратного трехчлена (при помощи выделения полного квадрата) позволяет ознакомить учащихся с решением квадратных уравнений с числовыми коэффициентами. Включение этого материала во вводную тему VIII класса дает возможность, в частности, с самого начала учебного года приступить к решению задач на составление квадратных уравнений и тем самым, сэкономить время, которое иначе должно быть затрачено специально на решение задач при изучении общей теории квадратного уравнения.

Вторая глава (15 часов) имеет целью первоначальное ознакомление учащихся с понятием функциональной зависимости. Введению определения функции и ее графика предпосылается разбор ряда примеров, имеющих характер вычислительно-графических упражнений с последующим «чтением» построенных по точкам графиков. Вводимые затем определения существенным образом опираются на накопленные при выполнении этих упражнений наглядные представления.

В этой же главе рассматриваются такие свойства функций, как четность и нечетность, возрастание и убывание (на отрезке), причем посредством специально подобранных упражнений основное внимание обращается на создание наглядных (графических) представлений, связанных с этими понятиями.

В заключение более подробно рассматривается линейная функция, а также некоторые ее практические приложения. При этом затрагиваются также вопросы о существовании и числе решений линейного уравнения с одним неизвестным и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

В третьей главе (19 часов) рассматривается степенная функция с рациональным показателем.

Начало главы посвящено степенной функции с натуральным показателем. Изучение этой функции естественным образом наполняет функциональным содержанием пункт программы «Степень с целым положительным показателем». При этом выясняется зависимость свойств степенной функции с натуральным показателем от значения показателя. Рассмотрение поведения степенной функции при малых (по абсолютной величине) значениях аргумента позволяет, с одной стороны, обнаружить аналитическую (точнее, арифметическую) природу геометрического факта касания параболы любой степени в ее вершине с осью абсцисс, а с другой — осветить вопрос о различных порядках малости величин — вопрос, имеющий многочисленные приложения в технике и физике, в том числе уже в школьном курсе.

Далее вводится понятие корня, а также понятие степени с дробным показателем (относимое к VIII классу проектом новой программы по математике). При этом основные свойства корня получаются как следствия основных законов действия возведения в степень в применении к степени с дробным показателем. В связи с введением понятия степени с дробным показателем рассматривается степенная функция с дробным показателем. .

В том же порядке рассматриваются степень с отрицательным показателем и соответствующая степенная функция, после чего дается общий обзор свойств степенной функции с любым рациональным показателем.

Четвертая глава (21 час) посвящена тождественным преобразованиям иррациональных выражений. Построение этой главы подчинено двум основным целям:

1) научить не только технике выполнения преобразований, но и сознательному их выбору для тех или иных целей, т. е., обучая тождественным преобразованиям, возможно более широко демонстрировать их применения;

2) возможно более выпукло осветить те преобразования, которые специфичны именно для иррациональных выражений, используя при этом как известные те преобразования, которыми учащиеся уже владеют в применении к рациональным выражениям и которые без существенных изменений переносятся на иррациональные выражения.

С этой точки зрения представляется целесообразным, например, сложение радикалов, не содержащее в себе ничего нового по сравнению с известной учащимся операцией приведения подобных членов, не выделять в самостоятельную тему, а рассматривать параллельно с преобразованиями, служащими для приведения радикалов к простейшему виду. Это дает определенную экономию времени, а также придает рассматриваемым преобразованиям радикалов ясно ощутимую цель.

В ряде случаев цель тождественных преобразований определяется требованием привести данное выражение к виду, наиболее удобному для вычисления числовых значений или для обнаружения тех или иных его функциональных свойств. Вообще, упражнения с функциональным содержанием доставляют достаточно разнообразный материал для осмысленного и целенаправленного применения тождественных преобраозваний. Особенно полезными оказываются такие упражнения, в которых некоторая закономерность сначала обнаруживается эмпирически, а затем строго доказывается путем приведения данного выражения к такому виду, при котором она становится вполне очевидной.

Среди прочих преобразований большое место занимает разложение рациональных выражений на множители. Это преобразование имеет по сравнению с соответствующим преобразованием рациональных выражений ряд специфических особенностей, связанных с тем, что в области иррациональных выражений не всегда возможно разложение на неразложимые множители. Овладев техникой разложения иррациональностей на множители, учащиеся получают возможность наиболее рациональным путем выполнять упражнения, которые без этого оказываются громоздкими.

Всюду при рассмотрении тождественных преобразований иррациональных выражений имеется ввиду последовательное использование свойств арифметического корня.

Пятая глава (10 часов) посвящена простейшим преобразованиям графиков — преобразованиям, которые рассматриваются обычно в связи с изучением квадратного трехчлена, но которые для лучшего их усвоения целесообразно выделить в самостоятельную небольшую тему. К этим преобразованиям относятся переносы в направлении каждой из координатных

осей, а также симметрия относительно оси абсцисс. Изложение этого материала ведется таким образом, чтобы максимально понизить его абстрактность и тем самым облегчить усвоение его учащимися. В качестве применения изученных преобразований в порядке упражнений рассматриваются дробно-линейная функция и уравнение окружности.

В шестой главе (21 час) рассматриваются квадратный трехчлен и квадратные уравнения.

Подробно выясняются функциональные свойства квадратного трехчлена (возрастание и убывание, наличие экстремума и т. д.) и вид его графика. В числе упражнений имеются задачи на нахождение наибольших и наименьших значений квадратного трехчлена.

Изучение квадратных уравнений ведется в органическом единстве с изучением квадратного трехчлена. При этом особо подчеркивается принципиально важный момент эквивалентности задачи решения квадратного уравнения и задачи разложения квадратного трехчлена на линейные множители. При изложении всех основных моментов теории квадратного уравнения (формулы корней, теоремы Виета, зависимость знаков корней от знаков коэффициентов) привлекаются графические иллюстрации.

Один из параграфов главы посвящен графическим методам решения квадратных уравнений. Кроме двух общеизвестных графических методов рассматривается сетчатая монограмма приведенного квадратного уравнения. Все рассматриваемые графические методы используются не только для фактического нахождения корней уравнений, но и для геометрической иллюстрации общих теоретических положений, относящихся к квадратным уравнениям.

Седьмая глава (19 часов) посвящена нелинейным системам уравнений.

При изложении этой главы учащимся постоянно прививается взгляд на процесс решения системы как на последовательность замен данной системы другими системами, ей равносильными. В связи с этим все применяемые учащимися приемы решения систем уравнений (подстановка, алгебраическое сложение, введение вспомогательных неизвестных и т. д.) формулируются на основе понятия равносильности систем.

В числе упражнений на решение систем уравнений предлагаются такие, в которых требуется найти не только решения данной системы, но и кратность каждого из этих решений. В этих упражнениях особенно существенную роль играет возможность представить процесс решения системы уравнений как

последовательность переходов от данной системы к другим, ей равносильным.

При решении систем уравнений широко привлекаются геометрические (графические) иллюстрации. При этом, благодаря предшествующей работе по изучению графиков функций, программное требование, чтобы рассматривались только системы, легко поддающиеся геометрической интерпретации, оказывается не особенно ограничительным.

Специальный параграф седьмой главы посвящен системам уравнений, содержащим параметры. При решении и исследовании этих систем большая роль также отводится геометрической интерпретации. В частности, например, решая совместно уравнение некоторой кривой и уравнение семейства окружностей, касающихся этой кривой в фиксированной на ней точке, и разыскивая то значение параметра семейства, при котором окружность имеет с данной кривой касание наивысшего порядка, мы приходим к понятиям соприкасающейся окружности и радиуса кривизны кривой. Эти понятия, таким образом, естественно возникают в результате рассмотрения (в порядке упражнений) систем уравнений, содержащих параметры.

В конце главы рассматриваются иррациональные уравнения. Кроме общеизвестного способа их решения — возведения обеих частей в одну и ту же степень — учащиеся знакомятся с приемом сведения иррационального уравнения к рациональной системе уравнений путем введения вспомогательных неизвестных. Этот второй способ решения иррациональных уравнений в практическом применении оказывается, как правило, не более сложным, чем первый; в то же время, в отличие от первого, он обладает полной общностью, т. е. позволяет любое иррациональное уравнение свести к рациональной системе уравнений; кроме того, при употреблении этого способа гораздо легче выполняется отделение посторонних корней. Желанием изложить этот второй способ объясняется помещение параграфа, посвященного иррациональным уравнениям в конце главы о нелинейных системах уравнений.

В приложении ко второй части диссертации дается примерное распределение содержащегося в этой части материала VIII класса (как теоретического материала, так и упражнений) по урокам (всего, вместе с контрольными работами, 115 часов).

Как видно из данного обзора содержания второй части диссертации, основные отличия предлагаемого построения курса алгебры VIII класса от традиционного заключаются в более глубоком проникновении в функциональное содержание ряда программных тем и в некоторой перестановке тем. В некоторых

случаях в предлагаемом курсе затрагиваются (как правило, в порядке упражнений) вопросы, не оговоренные прямо в программе (возрастание и убывании функции, поведение степенной функции при малых значениях аргумента, дробно-линейная функция и некоторые другие). Однако все эти вопросы настолько близки к изучаемому курсу, что их рассмотрение можно считать выходом за пределы не программы, а установившихся традиций преподавания этого раздела курса алгебры.

Третья часть диссертации посвящена описанию экспериментальной проверки курса алгебры VIII класса, содержащегося во второй части.

Проверка отдельных глав курса параллельно с их разработкой проводилась автором лично, а также некоторыми другими учителями в восьмых классах различных школ г. Москвы (школы № 68 и № 271, школа рабочей молодежи № 17), начиная с 1950 г. Систематическая проверка курса была проведена в течение первого полугодия 1954—55 учебного года в двух восьмых классах школы № 68 Киевского района г. Москвы, в которых преподавание вел автор. За это время был проверен материал, содержащийся в главах I—IV второй части диссертации. Третья часть диссертации содержит описание организации и хода этой проверки и анализ ее результатов.

В ходе эксперимента в разработки были внесены некоторые коррективы: было исключено ознакомление со способом сокращенного умножения, уточнены вопросы методики построения графиков линейных функций, значительно упрощено изложение понятий возрастания и убывания функций.

Объективным материалом для оценки результатов эксперимента послужил анализ контрольных работ. За время эксперимента в каждом из опытных классов было проведено шесть контрольных работ.

Кроме того, в ходе экспериментальной работы анализировался самый процесс усвоения материала учащимися. Для этого после каждого урока фиксировалось, какие затруднения возникали при изложении нового материала или выполнении упражнений, как учащиеся справились с домашним заданием, какие у них возникали вопросы, каковы характерные черты их ответов при опросе.

Анализ всего накопленного таким образом материала позволяет сделать следующие выводы из эксперимента.

1. Экспериментальная проверка обнаружила полную доступность предлагаемого материала для учащихся восьмых классов. Так как экспериментальной проверке была подверг-

нута большая и притом наиболее существенная (и наиболее отличающаяся от традиционной системы) часть курса алгебры восьмого класса, имеются основания распространить этот вывод на весь предлагаемый курс восьмого класса в целом.

2. К функциональному материалу, занимающему в предлагаемой методике большое место, учащиеся относятся с живым интересом и усваивают его с большей легкостью, чем всякий другой материал; последнее относится, в особенности, к слабым, т. е. плохо подготовленным учащимся.

3. При группировке различных тем курса алгебры вокруг центральной идеи — идеи функциональной зависимости — знания учащихся, относящиеся к различным разделам курса, оказались более сознательными и действенными, а потому и более прочными.

В то же время при проведении эксперимента возникли некоторые затруднения, свидетельствующие о недостатках подготовки учащихся по арифметике и алгебре. Поскольку эти недостатки носят более или менее общий характер, проведенный эксперимент позволяет высказать некоторые пожелания относительно отдельных моментов обучения арифметике и алгебре в V—VII классах. Именно в арифметике необходимо добиться большей уверенности в действиях над дробями, особенно десятичными, а также известной свободы в ориентировке учащихся на числовой шкале. В области алгебры необходимо обеспечить в течение всего обучения в VI—VII классах ясное понимание числового смысла буквенных выражений и их преобразований. Желательно было бы также добиться несколько большего разнообразия алгебраических упражнений с тем, чтобы учащиеся VI и VII классов не привыкали к весьма ограниченному числу шаблонов. Все это существенно облегчило бы работу в VIII классе по предлагаемой методике. Разумеется, существенную помощь в этом же отношении может оказать и правильно поставленная функциональная пропедевтика.

Л-83416. Тираж 100. Заказ 66.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР-