ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. С. ПУШКИНА

На правах рукописи

Ш. Н. Асанидзе

Приближенные вычисления в курсе математики восьмилетней школы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по специальности методики математики

ИЗДАТЕЛЬСТВО ТБИЛИССКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Тбилиси — 1962

Защита диссертации состоится в Тбилисском государственном пединституте им. А. С. Пушкина

1962 года

Автореферат paзослан 19/VII 1962 года

Ученый секретарь

Велики достижения наших школ в деле воспитания учащихся в коммунистическом духе. В нашей стране труд действительно стал делом чести, каждый советский человек ежедневным, добросовестным, неустанным трудом вносит свою лепту в великое дело строительства коммунизма.

Любовь молодежи к труду еще более усилилась и упрочилась после принятия исторических постановлений XXI съездом КПСС. На съезде тов. Н. С. Хрущев говорил: «Тесная связь обучения с жизнью, с производством, с практикой коммунистического строительства должна стать ведущим началом изучения основ наук в школе, основой воспитания подрастающего поколения в духе коммунистической нравственности».1

С чувством глубокой радости следует отметить, что в результате издания закона об укреплении связи школы с жизнью, школа еще больше приблизилась к жизни, к производству, к практике коммунистического строительства. Школы усилили заботу о том, чтобы наша молодежь была подготовлена к общественно-полезному труду.

Укрепление связи школы с жизнью повысило общий уровень подготовки учащихся, вовлечение в работу показало учащимся, что при выполнении любых практических дел необходимы теоретические расчеты, а расчеты невозможны без знаний. Особое значение придается основательному изучению математики. Невозможно себе представить подготовку молодежи к общественно-полезному труду без изучения основ математики.

В повседневной жизни, в практической деятельности часто мы имеем дело с приближенными числами, поэтому совершенно своевременным было введение с 1959—60 уч. года в программу восьмилетней школы по математике темы «Приближенные вычисления».

На необходимость изучения приближенных вычислений в восьмилетней школе указывалось еще в 1956 г. автором2.

1 Хрущев Н. С., О контрольных цифрах развития народного хозяйства СССР на 1959—1965 годы, доклад на внеочередном XXI съезде Коммунистической партии Советского Союза 27 января 1959 г. Госполитиздат, Москва, 1959, стр. 65.

2 Тезисы докладов X научной сессии Горийского государственного педагогического института им- Н. Бараташвили, стр. 47, Гори, 1956.

Основными объектами наблюдения были I, II, III (где работал автор), IV и V средние школы г. Гори, а также восьмилетние школы сел Бербуки, Хидистави, Тинисхиди (Горийского района).

Глава диссертации «Приближенные вычисления при изучении алгебры» была прочитана на курсах повышения квалификации учителей в 1957 г.; глава «Приближенные вычисления при изучении арифметики»—на VII научно-педагогической конференции, проведенной научно-исследовательским институтом педагогики и Министерством Просвещения Грузинской ССР (см. план-проспект, стр. 41, Тбилиси, 1958 г.); отдельные главы диссертации читались на научных сессиях Горийского государственного педагогического института имени Н. Бараташвили и напечатаны в виде тезисов:

1) «Приближенные вычисления по способу границ» в 1956 г.

2) «Приближенные вычисления при изучении арифметики», 1957 г.

3) «Приближенные вычисления при изучении алгебры», 1959 г.

4) «Приближенные вычисления при изучении геометрии», 1960 г.

Отдельные главы диссертации были прочитаны на методических объединениях учителей математики г. Гори и Горийского района.

Все соображения, высказанные в диссертации, всегда пользовались поддержкой и одобрением учителей-практиков. Диссертация состоит из следующих разделов:

Введение.

Глава I: § 1—Значение изучения приближенных вычислений в восьмилетней школе;

§ 2—Место приближенных вычислений в учебной программе по арифметике;

§ 3—Вопрос изучения приближенных вычислений в учебно-методической литературе;

§ 4 — Задачи настоящей работы.

Глава II: § 1—Приближенные вычисления в курсе арифметики;

§ 2—Приближенные вычисления при изучении алгебры;

§ 3 — Приближенные вычисления при изучении геометрии.

Глава I

В первом параграфе — Значение изучения приближенных вычислений в восьмилетней школе— приводятся доказательства того, насколько необходимы приближенные вычисления в повседневной жизни и изучение правил действия над приближенными числами в наших школах.

Велика воспитательная и образовательная роль математики в процессе становления нашего будущего поколения культурными, всесторонне образованными людьми. А изучение математики для учащихся становится привлекательным и занимательным, если оно связывается с практикой и содержание задач взято из повседневной жизни. В противном случае математика для учащихся оказывается не занимательной, она превращается в «сухой предмет» и учащимися изучается безо всякой заинтересованности, изучают потому, что их обязывают. При решении задач практического характера, а также при выполнении других практических работ учащимся приходится самим измерять величины и считать различные предметы. Известно, что при всяком измерении получаем приближенное значение измеряемой величины. В большинстве случаев результат счета представляет собой точное число, но бывают случаи счета, когда удовлетворяются приближенным значением.

В действительности мы чаще имеем дело с приближенными числами, и если хотим, чтобы изучение математики не было оторванным от жизни, абстрактным, скучным, должны основательно познакомить учащихся с приближенными числами и элементарными способами действия над ними.

Из наблюдений явствует, что несмотря на очевидность вышесказанного, большинство учащихся и некоторые учителя принимают числа, данные в сборнике задач, во всех случаях как точные числа.

При решении задач ребенок должен чувствовать ее связь с внешней объективной реальностью, данные задачи должны быть взяты из этой реальности, из повседневной жизни, из практики. Но решение подобных задач затруднит детей, если они не будут знать правил действия над приближенными числами; например, сколько десятичных знаков или сколько значащих цифр сохранить в результате, как избавиться от т. н. длинных цифровых «хвостов», которые быстро растут при умножении десятичных дробей.

Во втором параграфе — Место приближенных вычислений в учебной программе по арифметике—рассматривается как обстоял вопрос изучения приближенных вычислений в наших школах на разных этапах ее развития.

В советских школах изучение приближенных чисел и действий над ними было введено с 1927 г. (дан анализ программы). Новые программы разработаны в соответствии с постановлениями ЦК ВКП(б) от 5/IX—1931 г. и 25/VIII—1932 г. Из новой программы по математике был изъят вопрос об изучении приближенных чисел. Методисты это объясняли разными причинами. Например, в «Методике преподавания математики», вышедшей под общей редакцией С. Е. Ляпина, и в статье С. В. Филичева

«Приближенные вычисления в курсе арифметики V класса средней школы» изъятие данного раздела объясняется перегрузкой программы.

Методист В. С. Березанская в «Методике арифметики» и И. Н. Кавун в книге «Приближенные вычисления» считают, что причиной изъятия из программы вопроса о приближенных вычислениях является недостаточное наличие методической литературы по данной теме. По нашему мнению, правы Березанская и Кавун. К тому времени школьно-методический элементарный курс приближенных вычислений не был разработан. Большинство учителей не знало методики разработки данной темы и. естественно, обучение этой теме было некачественное.

Теперь, когда имеется достаточная литература по школьному курсу приближенных вычислений (достаточно назвать работы В. М. Брадиса), когда учителя математики средних школ в достаточной степени знакомятся с данной темой в педвузах (в курсе элементарной математики целый семестр отводится приближенным вычислениям), — нам представляется своевременным и справедливым включение в программу восьмилетней школы отдельной темы о приближенных вычислениях.

Затем дается анализ старой программы и высказано мнение, что вопросы, предусмотренные программой, были совершенно недостаточны для того, чтобы учащиеся получили законченные знания элементов приближенных вычислений.

Далее приводятся мнения советских методистов о введении приближенных вычислений в наших школах. Особо подчеркивается настоятельное требование известного советского методиста В. М- Брадиса о внесении в программу по математике темы «Приближенные вычисления». Во всех его трудах, посвященных приближенным вычислениям, имеется требование об обязательном изучении приближенных вычислений в школе.

В своей докторской диссертации — «Вычислительная работа в курсе математики средней школы» В. М. Брадис с сожалением отмечает: «Несмотря на пропаганду правил подсчета цифр, которую я вёл с 1923 года и которая имела некоторый успех (целесообразность этих правил никем не оспаривалась), основной своей цели — обеспечить широкое применение этих правил в школьном преподавании — я еще не добился» (стр. 20).

Анализируется существующая программа восьмилетней школы и отмечается, что сейчас основательное изучение вопросов, связанных с приближенными вычислениями, обуславливает то, что наша молодежь будет реально воспринимать числа, данные жизнью, будет знать технику производства действий над ними.

В третьем параграфе — Вопрос об изучении приближенных вычислений в учебно-методической

литературе — дан обзор учебно-методической литературы по приближенным вычислениям.

Несмотря на то, что необходимые материалы для шкального курса приближенных вычислений теоретически достаточно разработаны, а обучение данной теме имеет большое педагогическое значение, она до сегодняшнего дня не получила своей школьно-методической разработки. Попытки разработки методики приближенных вычислений в основном мы встречаем в журнальных статьях, этому же вопросу посвящены теоретические труды проф. В. М. Брадиса, а также диссертация В. У. Грибанова об арифметике приближенных вычислений в средней школе.

Из советских математиков, работавших в области приближенных вычислений, в первую очередь следует назвать основателя русской школы приближенных вычислений, передового русского математика, инженера-кораблестроителя. Героя Социалистического Труда, академика Алексея Николаевича Крылова. В 1912 г. он издал известную книгу «Приближенные вычисления», где изложил рациональные приемы приближенных вычислений. В труде «Лекции о приближенных вычислениях» он дал правило записи приближенных чисел, которое получило широкую популярность в науке и технике. Это правило в математическую литературу вошло под названием «принципа акад. Крылова».

Велика заслуга известного методиста проф В. М. Брадиса в разработке теории приближенных вычислений в элементарной математике. Им было разработано «Правило подсчета цифр» и разные методы оценки точности приближенных чисел. В его трудах: «Арифметика приближенных вычислений», «Как надо вычислять», «Теория и практика вычислений», «Ошибки в математических рассуждениях», «Устный и письменный счет. Вспомогательные средства вычислений», «Средства и способы элементарных вычислений»—разработана теория приближенных вычислений в элементарной математике и попутно указаны пути их включения в школьный курс.

Разработке элементарных способов теории приближенных вычислений посвятили свои труды И. Н. Кавун, М. Л. Франк, Я. С. Безикович, Н. И. Щетинин. И. Н. Шевченко

Отдельные главы многих книг посвящены некоторым вопросам теории приближенных вычислений (И. К. Андронов, Г. Н. Берман, А. Ф. Гаврилов, Д. К. Фадеев и И С. Соминский, Р. А. Калнин. Б. Н. Белый (дисс).

Некоторые вопросы методики приближенных вычислений даны в учебниках по методике преподавания математики и в другой литературе методического характера (В. М. Брадис — «Методика преподавания математики в средней школе», его докторская диссертация—«Вычислительная работа в курсе математики средней школы», Е. С. Березанская — «Методика арифметики», «Методика преподавания математики» под общей ре-

дакцией С. Е. Ляпина; А. Харабадзе — «Частный курс методики математики»1), «Преподавание математики» — сборник статей под редакцией А. И. Фетисова.

Диссертация В. У. Грибанова—«Арифметика приближенных вычислений в средней школе» посвящена разработке вопросов методики арифметики приближенных вычислений.

По данному вопросу имеется много журнальных статей. Например, статьи П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, С Н. Чуканцева, В. У. Грибанова, М. Г. Васильева, С. В. Филичева, Д. М. Маергойз.

В диссертации дается анализ перечисленных книг и статей, а также критика некоторых разработанных в них вопросов. На основании обзора учебно-методической литературы можно сделать вывод, что разработка вопросов изучения приближенных вычислений большей частью встречается в журнальных статьях, которые в основном посвящены вопросам приближенных вычислений в арифметике.

Четвертый параграф — Задачи настоящей работы.

Так как в наших школах программой не предусматривалось изучение приближенных вычислений, учащиеся в большинстве случаев не разбирались в решении задач практического характера. Например, студент-практикант Горийского гос. пединститута дал следующее задание ученикам V класса: вычислить, сколько кубических метров воздуха приходится на каждого ученика в классной комнате. Нескольким ученикам было поручено самим измерить длину, ширину и высоту комнаты с точностью до сантиметра. Измерения проделали, но затруднились в получении окончательного ответа. Почему? Выяснилось, что учащиеся знают правило округления числа, если заранее требуется точность результата округления, но в том случае, когда объем комнаты получили с точностью шести десятичных знаков, не поняли, с какой точностью должны были взять результат. Подобное явление имело место при проведении внешкольного мероприятия, когда учащимся было дано задание вычислить—сколько понадобится кирпичей для возведения части определенной стены.

Как выше отмечалось, вопрос о приближенных вычислениях достаточно разработан в учебной литературе, но нет методической разработки данной темы, если не примем во внимание разработку вопросов изучения приближенных вычислений в арифметике. А в объяснительной записке программы по арифметике для восьмилетних школ сказано, что дальнейшее совершенствование навыков приближенных вычислений проводится в процессе их применения при изучении математики и смежных дисциплин.

Автор работы ставит перед собой цель, по возможности, ответить на поставленные вопросы. В работе дана методика

1 На грузинском языке.

изучения приближенных вычислений по отдельным классам и дисциплинам в математике в восьмилетней школе.

Глава II

§ 1. Приближенные вычисления в курсе арифметики

Согласно тому, как указано в объяснительной записке к программе по арифметике для восьмилетней школы, при разработке темы «Приближенные вычисления», изучение которой предполагается в VI классе, следует уточнить, расширить и привести в систему сведения о приближенных вычислениях, полученные учащимися в V классе. Встает вопрос: какие сведения из приближенных вычислений и при изучении какого материала должны преподнести учащимся V класса? В данном параграфе мы отвечаем на эти вопросы и даем методику изучения темы «Приближенные вычисления».

Приближенное число как результат счета — этот вопрос может быть разработан при изучении темы: «Устная и письменная нумерация многозначных чисел». Учащимся даем примеры, когда результат счета выражается точным числом (количество учащихся в классе, количество букв в каком-нибудь алфавите и др.), вместе с этим рассматриваем и такой пример, когда нет возможности точно выразить результат счета (количество деревьев в каком-нибудь заповеднике, количество населения большого города и др.). Учащиеся часто допускают такие ошибки: говорят, что результат счета является приближенным тогда, когда велико число объектов счета. Здесь следует дать указания, что число объектов счета может быть велико, но их можно сосчитать точно, а при малом числе объектов счета иногда нет возможности выразить результаты точным числом.

Приближенное число как результат измерения — разработку этого вопроса следует увязать с изучением темы «Система метрических мер». Следует довести до сознания детей, что результаты измерений не могут быть выражены точным числом ни в одном случае, и, поэтому, в действительности мы имеем дело с их приближенными значениями. Укажем причины этого и практически покажем учащимся на измерении какой-либо величины. Измерения на практике выполняют с различной точностью. Для установления этой точности следует принять во внимание: что измеряем, чем измеряем и с какой целью измеряем.

Приводятся примеры из практической жизни на измерение с различной точностью.

Округление чисел — разработка данной темы предусмотрена программой. При этом вводятся понятия о надежных, сомнительных и ненадежных цифрах. Рассматривается три вида округления чисел с различной точностью (с недостатком, с из-

бытком, с поправкой). Необходимо заострить внимание на случаях округления десятичных дробей, когда в десятичных знаках сохраняются нули.

Деление с остатком—рассматривается вопрос об округлении приближенного частного при делении с остатком. Здесь дается определение приближенного числа: приближенными называются такие числа, которые получаются в результате всяких измерений и округлений, а также в результате некоторых случаев счета и вычислений Здесь же дается приближенное деление до 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. и методика разработки темы.

Среднее арифметическое. —С понятием среднего арифметического учащиеся знакомятся еще в начальной школе. В V классе происходит его повторение и углубление. При разработке темы напоминаем учащимся, что среднее арифметическое часто встречается в жизни (следует привести примеры). В работе приводятся разные приемы установления точности среднего арифметического.

Точное и приближенное значение величин — этим вопросом начинается тема «Приближенные вычисления» в VI классе. При прохождении данного материала следует подытожить знания детей по вопросу о приближенных числах, нужно четко напомнить учащимся, что точные и приближенные числа отличаются друг от друга, что нельзя производить действия над приближенными числами по тем же правилам, что и над точными числами. Надо привести множество примеров приближенных чисел и убедить учащихся, что в действительности чаще мы имеем дело с приближенными числами. Здесь мы знакомим со знаком приближенного равенства (^).

Абсолютная и относительная погрешность приближенных чисел. — Учащимся следует объяснить, что по абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерения различных неличин, поэтому вводится понятие относительной погрешности.

Здесь же нужно ознакомить учащихся с тем, что относительную погрешность часто выражают в процентах

Десятичные знаки и значащие цифры. — При разработке десятичных дробей учащиеся знакомятся с понятием десятичного знака-

Если даны два приближенных значения одной и той же величины, выраженные в одинаковых единицах, тогда об их точности можно судить по количеству десятичных знаков—более точным будет то значение, которое содержит больше десятичных знаков.

Если даны приближенные значения различных величин или два приближенных значения одной и той же величины, выраженные в разных единицах, тогда для оценки их точности обращаются к количеству значащих цифр — чем больше в числе значащих цифр, тем меньше погрешность.

Таким образом, о точности нескольких приближенных чисел можно судить путем сопоставления их десятичных знаков или значащих цифр. «Запись числа говорит сама за себя» (В. М. Брадис).

Затем особо следует подчеркнуть двоякий смысл нуля в приближенных числах.

Запись приближенных чисел. Принцип академика Крылова. — При изучении приближенных вычислений основное внимание нужно направить на то, чтобы учащиеся сознательно понимали правило записи приближенных чисел. Запись приближенных чисел следует производить по принципу акад. Крылова.

Приближенные числа надо писать так, чтобы все его значащие цифры были надежными, кроме последней. Последняя цифра может быть сомнительной, причем погрешность в среднем не должна превышать одной-двух единиц этого разряда.

В этом принципе записи приближенных чисел требование о том, чтобы погрешность последней цифры «в среднем» не превышала одной-двух единиц этого разряда, принадлежит проф. В. М. Брадису.

Сложение и вычитание приближенных чисел. Правила действия над приближенными числами можно выводить в результате рассмотрения конкретных примеров. Сперва рассматривается сложение целых приближенных чисел. В такой же последовательности обучаем вычитанию приближенных чисел.

На основании рассмотрения примеров выводится правило: в результате полученном от сложения или вычитания приближенных чисел следует оставить столько десятичных знаков, сколько было в приближенном числе с наименьшим количеством десятичных знаков.

При разработке сложения приближенных чисел следует обратить внимание на такие случаи, когда к точным числам прибавляются приближенные числа.

При сложении или вычитании приближенных чисел имеется возможность заранее округлить компоненты. Округление должны произвести так, чтобы сохранить одним десятичным знаком больше, чем мы имеем в компоненте с наименьшим количеством десятичных знаков.

Умножение приближенных чисел. — Изучение данного вопроса лучше вести в следующей последовательности:

а) умножение приближенных чисел, содержащих одинаковое количество значащих цифр;

б) умножение приближенных чисел, содержащих различное количество значащих цифр;

в) умножение приближенных чисел на точное число.

На основании рассмотренных примеров выводится правило: при умножении приближенных чисел должно быть сохранено

столько значащих цифр, сколько имеется в приближенном числе с наименьшим количеством значащих цифр. При умножении приближенного числа на точное число значащие цифры точного числа не учитываются, в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько было в приближенном числе.

В работе дана разработка умножения приближенных чисел т. н. способом варьирования.

После изучения умножения приближенных чисел по способу подсчета цифр будет полезно ознакомить учащихся со способом т. н. «сокращенного умножения» приближенных чисел. В работе дается умножение приближенных чисел по указанному способу, и автор работы считает целесообразным разработать данный вопрос в математическом кружке.

Деление приближенных чисел. Если учащиеся хорошо усвоили умножение приближенных чисел, то для них никакой трудности не представит изучение деления приближенных чисел. Дело в том, что при делении приближенных чисел сохранение значащих цифр в частном происходит по тому же правилу, что и при умножении приближенных чисел, т. е. при делении приближенных чисел в частном следует сохранить столько значащих цифр, сколько цифр имеется в приближенном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Будет полезно, если после доведения до сознания учащихся деления приближенных чисел способом подсчета цифр в кружке математики разработаем т. н. способ «сокращенного деления» приближенных чисел. В работе дается методика разработки указанного способа.

Решение задач и примеров с использованием правил действия над приближенными числами. Если задача или пример решается одним действием, точность результата определяется вышеуказанными правилами действий над приближенными числами. При решении такой задачи или примера, когда приходится выполнять несколько действий, в промежуточных действиях должны сохранить на одну цифру больше, чем это требуется по правилу (т. н. «запасная цифра»). В конечном результате запасная цифра отбрасывается по правилу округления. С целью подтверждения данного предложения следует решить с учащимися пример без сохранения запасной цифры в промежуточных действиях, а затем с сохранением одной и двух запасных цифр.

Для избавления от лишних вычислений можно произвести предварительные округления так, чтобы осталось одной цифрой (запасная цифра) больше по сравнению с менее точным числом из всех данных чисел. При решении задач и примеров учащимся следует показать, как упрощаются вычисления при использовании правил подсчета цифр.

§ 2. Приближенные вычисления при изучении алгебры

При изучении алгебры на всех уроках должно происходить закрепление и углубление знаний, полученных учащимися по арифметике.

В объяснительной записке программы по алгебре указано, что: «На протяжении всего изучения курса алгебры восьмилетней школы необходимо систематически уделять внимание укреплению и развитию вычислительных навыков, в особенности навыка приближенных вычислений» (стр. 12).

На уроках алгебры учащихся следует научить: возведению в степень приближенных чисел, извлечению корня из приближенного числа, вычислению значений алгебраических выражений, когда входящие в них буквенные выражения являются приближенными; использованию некоторых приближенных формул с целью более быстрого вычисления выражений; решению таких уравнений, корни которых выражены приближенными числами; решению уравнений графическим способом; решению уравнений номограммами, использованию счетной (логарифмической) линейки и др. Все эти вопросы имеются в программе по алгебре. Но главным является заинтересованность преподавателя. Нужно, чтобы на уроке рядом с решением примеров с точными числами решались и такие задачи, где встречаются действия над приближенными числами.

В VI классе учащиеся знакомятся с понятием степени (с натуральным показателем). Здесь же следует ознакомить их и со степенью приближенных чисел.

Затем, в упражнениях на вычисление численных значений алгебраических выражений учащимся следует предложить и такие примеры, в которых численные значения букв, входящих в выражение, являются приближенными числами. К сожалению, в сборнике задач по алгебре нет таких примеров с приближенными данными.

Вычисление численного значения алгебраического выражения представляет хороший материал для применения и закрепления «правил подсчета цифр», поэтому будет целесообразно, если преподаватель сам составит такие примеры и в достаточном количестве решит в классе.

После разработки сокращенных формул умножения целесообразно ознакомить учащихся с приближенными формулами:

И, наконец, при решении уравнений первой степени следует решать такие примеры, где неизвестное будет выражено приближенным числом. Такие примеры должны быть весьма простыми,, т. е. вопрос об уравнениях изучается здесь впервые и не следует перегружать учащихся сложными вычислениями.

В VII классе после изучения алгебраических дробей полезно дать учащимся приближенную формулу:

после чего можно рассмотреть частное:

В данном классе впервые вводится понятие о неравенстве. В процессе разработки этого вопроса учащихся должны ознакомить с записью приближенного равенства л ~д|±А^) в виде двойного неравенства:

Далее в диссертации рассматриваются способы вычисления высших и низших границ величины д, дана методика изучения их округления.

Производство вычисления способом границ не нуждается во внесении особого аппарата, он является простым и совершенно доступным для учащихся, поэтому разработка этого материала возможна в школьном кружке математики.

В указанном классе программой предусматривается построение графиков прямой и обратной пропорциональной зависимости

Естественно, что можно так разработать эти вопросы, так подобрать численные значения неизвестного, чтобы не встретить приближенных значений, но это случится в том случае, если односторонне подойти к вопросу

Если же хотим, чтобы разработка данного вопроса стала для учащихся интересной и понятной, значения неизвестного следует брать из реальной действительности, а такие значения будут приближенными. Например, при изучении графика прямой пропорциональности следует брать график таких уравнений у=1,25д. Это уравнение дает аналитическое изображение соответствия делений на шкалах термометров Реомюра и Цельсия. Если построим график этой функции и из точек, соответствующих значениям аргумента > — 2, 3, 4..., опустим перпендикуляры на ось V, получим двойную шкалу, которая выразит соответствие делений шкал термометров Цельсия и Реомюра.

Учащиеся под руководством преподавателя должны сделать график зависимости длины и радиуса окружности, а также график перевода килограммов в фунты и т. д.

При построении графика у = — обратной пропорциональной зависимости, следует сделать двойную шкалу, которая дает возможность найти отношение между у и х при известном значении к.

Затем следует объяснить учащимся, что такие графики представляют собой простой вид номограмм. После построения подобных графиков хорошо, если учитель выделит один урок и уделит его построению и использованию простых номограмм.

При изучении графика уравнения у = ах+b внимание учащихся следует заострить на графическом решении таких уравнений, в которых значения неизвестных будут выражены приближенными числами.

И, наконец, в VII классе программой предусматривается решение системы уравнений с двумя неизвестными первой степени и геометрическое объяснение его решения И при изучении данного вопроса следует решить несколько систем уравнений, где значение неизвестного будет приближенным.

В VIII классе после разработки темы «Квадратный корень и его арифметическое значение, приближенный квадратный корень из положительного числа» учащихся нужно познакомить с правилом, что при извлечении корня в результате должны сохранить столько значащих цифр, сколько имелось в подкоренном приближенном числе.

Вслед за этим на ученическом кружке по изучению математики будет полезно ознакомить учащихся с т. н. «сокращенным способом» извлечения корня из приближенных чисел, а также с извлечением квадратного корня из приближенных чисел по способу Герона.

После разработки данных вопросов полезно ознакомить учащихся с приближенными формулами

В указанном классе программой предусматривается изучение использования таблиц квадратных корней из чисел. При разработке данного вопроса лучше сперва заставить самих учащихся составить такие простые таблицы, а затем объяснить правила пользования готовыми таблицами.

После изучения графика функции y = x2, учащимся следует сказать, что если нужно найти y посредством данного m. то дело имеем с извлечением квадратного корня. Если на параболе найдем точку, соответствующую y, а затем определим абциссу данной точки, то это и будет решением задачи, т. е. одному значению у на параболе соответствуют две точки, абциссы которых отличаются лишь знаком, поэтому здесь ясно видно, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения.

В данном классе программой предусмотрено приближенное и графическое решение уравнений и систем уравнений. При решении задач на составление квадратных уравнений, учащимся

следует дать и такие задачи, в которых неизвестное будет приближенным числом.

Из наблюдений известно, что в тех школах, где учителя не уделяют достаточного внимания приближенным вычислениям, учащиеся хотя и умеют составлять уравнения для решения задач, но, если при решении квадратного уравнения корень не извлекается точно, считают, что уравнение составлено неверно.

Желательно ознакомить учащихся с решением полных квадратных уравнений приведенного вида путем номограмм.

При изучении графического решения системы уравнений внимание учащихся следует заострить на том, что при графическом решении находим приближенное значение неизвестного.

Затем даются примеры на решение системы уравнений графическим способом.

§ 3. Приближенные вычисления при изучении геометрии

При изучении геометрии, в частности, при решении задач и выполнении практических работ, следует широко пользоваться знаниями по приближенным вычислениям, приобретенным в курсе арифметики и алгебры.

Программой по геометрии требуется, чтобы теоретические знания, приобретенные на уроках, широко использовались при выполнении работ практического характера. При выполнении таких работ, учащимся самим придется измерять различные величины и производить действия над полученными результатами с соблюдением правил действия над приближенными числами.

Изучение систематического курса геометрии начинается с VI класса, но в начальной школе и в V классе средней школы предусмотрен пропедевтический курс геометрии, тогда и происходит изучение геометрического материала наглядно.

В V классе после разработки среднего арифметического следует обобщить знания о развитии глазомера, полученные в начальной школе, и провести практические работы по определению расстояния шагами. Все ученики должны знать, какую часть метра составляет его шаг. Учащиеся должны уметь измерять какое-либо расстояние шагами, а затем выразить в метрах.

Нужно провести большую работу по привитию навыков приближенного измерения расстояния «на глаз» (развитие глазомера). Учащиеся должны знать приблизительно, на каком расстоянии виден человек и разные животные, на каком расстоянии можно различать цвета, на каком расстоянии виден ночью свет зажженной спички или папиросы и т. д. Нужно постараться выработать в учащихся навыки измерения «на глаз» таких расстояний, которые часто встречаются в жизни и в военном деле.

При решении задач геометрического содержания, действия над числами должны производить с учетом правил действия над

приближенными числами (в диссертационной работе дано решение задач с геометрическим содержанием с использованием правил подсчета цифр).

По ходу изучения систематического курса геометрии у учащихся следует развивать способность логического мышления, потребность доказательства теоремы, но не нужно забывать, что правдивость каждой теоремы, где это будет возможно, необходимо показывать практически, на основании измерений и вычислений.

В VI классе должны быть широко использованы навыки приближенного измерения расстояния «на глаз», выработанные в предыдущих классах, а также должны быть выработаны у учащихся навыки определения углов «на глаз».

После разработки осевой симметрии и признаков равенства треугольников, учащихся следует упражнять в определении недоступных расстояний. Приемы измерения недоступных расстояний следует разработать сперва в классе, а затем выполнить работу практически в открытом месте (в диссертации дается решение задач на определение недоступных расстояний с использованием признаков равенства треугольников, свойств окружности и его радиуса, свойств паралеллограмма, а также свойства средней линии треугольника).

В VIII классе свойства подобий, решение прямоугольных треугольников с помощью тригонометрических функций и другие метрические соотношения в треугольнике представляют хороший материал для определения недоступных расстояний и высот. (В диссертационной работе даны такие пути приближенных определений недоступных расстояний и высот, которые основываются на знании признаков подобия треугольников: определение расстояния с помощью большого пальца, спички, тени).

При решении геометрических задач большое внимание следует обратить на решение задач графическим способом. Некоторые геометрические задачи очень легко решаются графическим способом и требуют большой работы при решении путем вычисления. Нужно показать учащимся преимущество графического способа решения. Следует выработать в учащихся такие навыки, чтобы они перед решением задачи выбирали наиболее рациональные пути ее решения. Учащиеся должны знать, что при графическом решении, задачи получат приближенные значения. Они должны уметь оценить допущенную ошибку. (В диссертации дано графическое решение задач и указано на преимущество решения данных задач этим способом).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих трудах:

1. Методические указания в арифметике, тема «Теория и практика вычисления» (для студентов-заочников факультета начального образования), издательство «Цодна», Тбилиси, 1960.

2. Приближенные вычисления при изучении арифметики, Труды Горийского государственного педагогического института им. Н. Бараташвили, т. IV ,1960.

3. Приближенные вычисления при изучении алгебры, Труды Горийского государственного педагогического института им. Н. Бараташвили, т. IV, 1960.

Заказ № 881 УЭ 09152 Тираж 180

Типография Издательства Тбилисского университета, Тбилиси, проспект И. Чавчавадзе, 1.