АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

А. К. АРТЕМОВ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель проф. В. М. БРАДИС

Калинин—1953 г.

Успешное решение задач, стоящих перед школой в области преподавания геометрии, в значительной степени зависит от того, каким является курс геометрии: отвечает ли он требованиям педагогического процесса и созданы ли в нем необходимые условия для удовлетворительного решения этих задач. Анализ существующего положения показывает, что в этой области еще не все обстоит благополучно. Имеется ряд существенных недостатков в построении школьного курса геометрии, которые тормозят дальнейшее улучшение подготовки выпускников средней школы.

В настоящей работе делается попытка выяснить желательные изменения в построении школьного курса геометрии, направленные на улучшение подготовки учащихся.

Из этой общей задачи для исследования взяты лишь некоторые вопросы, имеющие, по мнению автора, наиболее важное значение. Именно: 1) Вопрос об общей структуре курса геометрии. Его соответствие возрастным особенностям учащихся. Создание условий для более прочного усвоения изучаемого материала, а также создание условий для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. 2) Вопрос об аксиоматическом изложении школьной геометрии. 3) Отражение идеи геометрических преобразований в курсе геометрии. 4) Выяснение возможной связи школьного курса геометрии с задачей политехнического обучения. 5) Выяснение условий для лучшего развития пространственного воображения учащихся. 6) Освещение личности и творчества нашего выдающегося соотечественника Н. И. Лобачевского.

Перечисленный круг вопросов, как показывает анализ учебно-методической литературы, еще недостаточно разработан в методике геометрии. Не претендуя на исчерпывающую полноту решения поставленной задачи, автор стремился в своей работе выяснить некоторые методические возможности, которые содействовали бы улучшению постановки преподавания геометрии в школе.

В основу решения этих основных, а также некоторых других вопросов (см. ниже) были положены труды классиков марксизма-ленинизма, постановления партии и правительства о школе, учение И. П. Павлова о высшей нервной деятельности; была использована разнообразная литература научно-методического характера (отечественная и иностранная), а также опыт работы лучших учителей математики и свой личный опыт работы с учащимися средней школы и студентами педагогического и учительского институтов.

ГЛАВА I. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПОСТРОЕНИИ ШКОЛЬНОГО КУРСА ГЕОМЕТРИИ

§ 1 этой главы содержит замечания относительно недостатков в построении ныне действующего курса геометрии.

1) Современный курс геометрии в 6—7 классах строится без учета возрастных особенностей учащихся. Весь материал курса излагается в едином стиле от 6-го по 10-й класс, хотя разница в возрасте учащихся составляет примерно 4 года. При этом довольно тонкие моменты логической стороны геометрии преподносятся учащимся в начале 6-го класса. От них требуется логическая обработка геометрических фактов, когда они по существу еще не изучали геометрию.

Это создает большие трудности для учащихся 6 класса. Для них остается непонятным, для чего нужно доказывать некоторые теоремы, истинность которых представляется несомненной; в большинстве случаев они но разбираются в структуре доказательств и заучивают их обычно без должного понимания.

2) В противоположность таким учебным предметам, как физика, астрономия, биология и др., курс геометрии построен так, что в нем не созданы условия для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся и воспитания чувства советского патриотизма. Как показывает опыт, многие выпускники средних школ имеют очень смутные и порой неверные представления о выдающемся геометре Н. И. Лобачевском, о значении его открытий для развития науки, о происхождении аксиом и т. д.

3) Существенным дефектом в подготовке учащихся с точки зрения запросов вузов является слабое развитие их пространственного воображения.

Основные ступени в развитии пространственного воображения можно представить схемой «модель—чертеж—воображаемое построение». По целому ряду причин невозможно ре-

шение каждой стереометрической задачи сопровождать показом соответствующей модели. Поэтому в основном чертеж призван способствовать формированию пространственных представлений. Психологической основой развития пространственного воображения является наличие достаточно богатого запаса пространственных представлений.

Применяемые в курсе стереометрии при решении задач на построение «упрощенные рисунки» (А. П. Киселев) очень мало способствуют формированию пространственных представлений и развитию пространственного воображения учащихся.

Немаловажным обстоятельством является факт очень неравномерного распределения числа часов на планиметрию и стереометрию (3,5 года на первую и 1,5 года на последнюю) .

Другим не менее важным дефектом в подготовке выпускников средней школы является недостаточно четкое представление о геометрии, как логической системе, большинство предложений которой получаются как следствия немногих исходных положений, весь курс геометрии им представляется набором разрозненных теорем.

4) Постановления ЦК ВКП (б) от 5/IX 1931 г. и 25/VIII 1932 г. обязывают изучать в школе в доступной для учеников форме основы наук. Что составляет основы изучаемой в школе геометрии?

Геометрия изучает пространственные формы реального мира. Пространственные формы находятся во взаимной связи. Эта связь выясняется при изучении геометрических преобразований. Изложение фактического материала ведется аксиоматическим методом. Таким образом, геометрические преобразования и аксиоматический метод являются составными частями основы науки (геометрии).

В диссертации показывается, что в нынешнем курсе геометрии ни одна из этих составных частей не отражена достаточно четко, в результате чего выпускники средних школ имеют очень слабое представление об этих составных частях основ науки.

5) Школьная геометрия еще недостаточно удовлетворительно решает задачу о развитии логического мышления учащихся. Многие выпускники плохо разбираются в структуре геометрических предложений, порою не умеют по данному предложению построить ему обратное, противоположное и т. д. Главной причиной этого является крайне преждевре-

менная постановка таких вопросов в курсе геометрии (6-й класс).

Эти соображения приводят к выводу о необходимости внести в построение действующего курса некоторые изменения.

В истории русской методики геометрии (§ 2) высказывались различные соображения по вопросу об общей структуре курса геометрии в средней школе. Так, на 1-м Всероссийском с'езде преподавателей математики четко определились две точки зрения по данному вопросу: концентрическое построение курса (С. А. Богомолов, А. Р. Кулишер и др.) и линейное построение (Н. А. Извольский). Позднее вопрос о концентризме в геометрии поднимался не один раз на страницах методической печати. Этот вопрос особенно остро встал в связи с переходом на всеобщее обязательное семилетнее обучение. Необходимость подготовить выпускников семилетних школ к практической работе заставляла намечать концентризм в пределах 5—10 классов: 5—7 кл.—начальный курс геометрии законченного характера, построенный на наглядно-дедуктивной основе; 8—10 кл.—основной курс геометрии, построенный на базе начального курса.

В работе дается анализ имевшихся проектов основного курса геометрии.

Такое деление на концентры было вполне оправданным в условиях всеобщего обязательного семилетнего обучения. Это же деление не оправдывается в связи с переходом на всеобщее десятилетнее обучение. Наиболее целесообразной представляется следующая общая структура курса геометрии в средней школе (§3):

1. Пропедевтический курс геометрии (1—5 классы). Этот курс имеет две главные задачи:

а) формирование геометрических представлений учащихся для более успешного овладения последующим материалом;

б) накопление геометрических сведений, необходимых в повседневной человеческой практике, а также для выполнения практических работ по физике и другим предметам (например, уменье определять об'ем тела, площади простейших фигур, длину окружности и т. д.).

2. Единый систематический общеобразовательный курс геометрии (6—10 классы). Его главное назначение заключается в том, чтобы вооружить учащихся систематизированными знаниями основ науки, подготовить их к дальнейшей учебе в вузах, к практической работе; изучение этого курса

должно содействовать политехническому обучению в средней школе.

По методам изложения материала систематический курс желательно подразделить на три ступени:

Первая ступень (6—7 классы). Изложение наглядно-дедуктивное с постепенным усилением роли дедукции.

Вторая ступень (8, 9 и большая часть 10-го класса). Преобладающее значение получает дедукция. Учащиеся знакомятся с ролью аксиом и основных понятий в геометрии, видами теорем и их взаимной связью и др.

Третья ступень—заключительный курс геометрии (в конце 10-го класса), являющийся составной частью систематического курса и имеющий главной целью провести обзор ранее изученного материала с новой точки зрения (подробнее см. ниже гл. VIII).

Такая структура курса позволит:

а) существенно облегчить изучение геометрии в 6—7 классах, сделать ее в сознании учащихся геометрией реального мира, окружающего нас;

б) прочнее усвоить наиболее тонкие моменты логической стороны геометрии;

в) глубже и прочнее усвоить весь изучаемый материал благодаря наличию заключительного курса обзорного характера;

г) пополнить содержание курса сведениями, до некоторой степени отражающими новейшие достижения науки.

ГЛАВА II. ВОПРОС ОБ АКСИОМАТИЧЕСКОМ ИЗЛОЖЕНИИ ШКОЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Необходимость знакомства учащихся с аксиоматическим методом диктуется прежде всего такими соображениями:

а) Аксиоматический метод является важнейшей составной частью «основ науки», и нет никакой причины игнорировать этот метод в рамках средней школы.

б) Аксиоматический метод позволяет систематизировать различные геометрические предложения. Геометрия представляется стройной логической системой.

в) Ознакомление с этим методом открывает широкие возможности для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся. Наиболее благоприятным для этого является вопрос о происхождении аксиом.

Анализ научной и учебно-методической литературы позволяет наметить следующие различные варианты аксиоматического изложения геометрии:

1) Строго выдержанное аксиоматическое изложение-геометрии в духе современной аксиоматики, дли которой выполняются требования непротиворечности, независимости и полноты.

2) Изложение на основе избыточной системы аксиом (отказ от выполнения требования независимости).

3) Традиционный вариант. Здесь некоторые аксиомы формулируются явно, другие вводятся неявно. Соотношение между числом первых и последних может быть различным. Поэтому традиционный вариант представлен большим количеством разнообразных работ.

Какой из этих вариантов должен найти место в школе?

При разборе научно-педагогических особенностей каждого из намеченных вариантов устанавливается, что наиболее приемлемым для школы является изложение по традиционному варианту. Однако в этом варианте идея аксиоматического метода до конца не доводится; она лишь провозглашает, ся. Изучая геометрию по традиционному варианту (как это делается в настоящее время), учащиеся не выносят из школы достаточно ясного представления об аксиоматическом методе.

Наиболее целесообразным было бы такое изложение школьной геометрии: 2-я ступень систематического курса—по традиционному варианту; в заключительном курсе геометрии один из разделов показать в изложении на основе избыточной системы аксиом. Это дало бы возможность использовать все то ценное, что обеспечивается знакомством с аксиоматическим методом, не загромождая в то же время курс геометрии излишними подробностями.

Рассмотрение истории данного вопроса показывает, что преобладающим вариантом школьного изложения геометрии является третий (традиционный) вариант.

В начале 20-го столетия в методике геометрии стали высказываться предложения о построении школьной геометрии на базе избыточной аксиоматики. В России за изложение школьной геометрии на этой основе высказывался С. А. Богомолов на 1 Всероссийском с'езде преподавателей математики. Пример такого изложения геометрии дается в «Курсе элементарной геометрии» Д. И. Перепелкина (для педвузов). Совсем недавно А. Столяр сделал попытку изложить первые уроки, стереометрии на основе избыточной системы аксиом (см. сборник «Из опыта работы передовых учителей математики», изд. АПН РСФСР, 1950 г. ). В диссертации дается анализ этой работы.

Из иностранной литературы можно отметить книгу Мерэ

«Новые начала геометрии», которые также излагаются на основе избыточной аксиоматики.

В настоящее время в методике геометрии вопрос об аксиоматическом изложении школьного курса решается следующим образом.

Развитие геометрии делят на три периода: догреческий, греческий (евклидовский) и современный. Первый период характеризуется накоплением отдельных фактов, собранием эмпирических данных. Второй период характеризуется стремлением представить геометрию как логическую систему. Основной работой этого периода являются «Начала» Евклида. Третий период охватывает развитие геометрии от Лобачевского до наших дней. Аксиоматика достигает современного развития.

По этой схеме исторического развития науки и строится изложение геометрии в школе: догреческий период в младших классах, греческий период—в 6—10 классах. Современный период не имеет отражения в школе.

Такое теоретическое обоснование данного вопроса является ничем не оправданным. Оно приводит к убеждению, будто умственное развитие школьника также совершается этапами: до 6-го класса он способен лишь накоплять эмпирические данные, а с 6-го класса он вдруг оказывается в состоянии сразу же мыслить отвлеченно. Представляется более целесообразным в основу решения данного вопроса положить принцип постепенного повышения логической строгости изложения курса. Это позволит сгладить резкость перехода от одной ступени к другой (что облегчит усвоение геометрии для учащихся) и в то же время даст возможность в заключительном курсе подняться выше греческого уровня развития геометрии.

В диссертации разбирается также вопрос о выборе аксиом при школьном изложении геометрии.

ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЯ КАК УЧЕНИЕ О ГРУППАХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ШКОЛЬНЫЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ

В настоящее время геометрия рассматривается как наука, изучающая различные виды геометрических преобразований. Отражение этой идеи в школьном курсе геометрии позволило бы поднять научную ценность курса, способствовало бы развитию функционального мышления учащихся, что в свою очередь является важной предпосылкой для формирования диалектико-материалистического мировоззрения, давало бы

новые теоретически обоснованные способы решения геометрических задач.

В истории русской методики геометрии не один раз высказывались пожелания отразить идею геометрических преобразований в школьном курсе геометрии сильнее, чем это сделано в учебнике А. П. Киселева. Еще на 2-м Всероссийском с'езде преподавателей математики с обстоятельным докладом по этому вопросу выступал А. Р. Кулишер. Докладчик отмечал различные возможные применения идеи преобразования фигур в курсе геометрии средней школы.

Известный учебник по элементарной геометрии Н. А. Глаголева отражает идею геометрических преобразований значительно полнее, чем учебник А. П. Киселева. Однако весь курс Н. А. Глаголева не охватывается этой идеей,

В последние годы наиболее полное освещение рассматриваемого вопроса дается в работах А. И. Фетисова. Он считает необходимым курс геометрии в школе подчинить одной об'единяющей идее. Такой идеей удобнее взять идею геометрических преобразований, потому что предметом изучения геометрии являются группы преобразований; эта идея является одной из важнейших идей диалектико-материалистического мировоззрения.

За границей попытку такого построения школьной геометрии предпринял Мерэ (отмеченная выше книга). Однако его курс построен настолько сложно, что является малодоступной книгой для школьников. «Сокращенный курс геометрии» Бурле также строится на идее геометрических преобразований.

Изучение научной и учебно-методической литературы позволяет наметить три различных варианта введения в школу учения о геометрических преобразованиях:

1) Курс геометрии строится в духе «Начал» Евклида. О геометрических преобразованиях говорится вскользь при изучении соответствующего раздела курса геометрии (как это делается, например, в учебнике А. П. Киселева).

2) В основу кладется изучение свойств фигур вне зависимости от какого-либо преобразования. Наряду с этим отводится специальный раздел, посвященный изучению некоторых элементарных преобразований. Этот раздел является самостоятельной системой внутри всего курса геометрии.

3) Весь курс подчинен одной об'единяющей идее—геометрическим преобразованиям. Все геометрические факты рассматриваются в связи с тем или иным видом преобразования фигур.

При анализе научно-педагогических достоинств и недостатков каждого из этих вариантов выясняется, что наилучшим является третий из них. При изложении геометрии по этому варианту получается целостность курса, система, подчиненная одной об'единяющей идее; учащиеся подводятся к современным научным представлениям о геометрии; оказывается возможным, как отмечает Л. И. Фетисов, основываясь на своем опыте работы, сократить время на изложение материала курса. Поэтому желательно весь систематический курс геометрии строить на идее геометрических преобразований.

ГЛАВА IV. КУРС ГЕОМЕТРИИ В СВЯЗИ С ЗАДАЧЕЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

В директивах XIX с'езда партии предусматривается в текущей пятилетке «... приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

В какой связи должны находиться преподавание геометрии и политехническое обучение?

Классики марксизма-ленинизма дали исчерпывающий ответ на вопрос о сущности политехнического обучения. В известных заметках на тезисы Н. К. Крупской В. И. Ленин предостерегал от неправильного толкования сущности политехнизма. Он писал, что политехническое обучение должно быть неразрывно связано с широким общим образованием.

В 1931 году постановлением ЦК ВКП(б) решительно осуждались попытки извращения существа политехнизации.

Для осуществления политехнического обучения представляются необходимыми три следующих главных мероприятия:

1) Связь преподавания каждого отдельно взятого учебного предмета (особенно физики, математики, химии и черчения) с задачей политехнического обучения. Теоретические знания по каждому предмету должны быть показаны в применении к технике, чтобы дать учащимся возможность приобрести некоторый политехнический кругозор на занятиях по данному предмету.

2) Экскурсии на завод, в МТС и т. д., лекции, показ кинофильмов технического содержания, например, на тему «Теоретические основы полета самолета» и т. п.

3) Практическая работа в мастерских, лабораториях, на пришкольных участках и т. д.

Все три вида мероприятий должны быть обязательными. Их необходимо запланировать в общей системе обучения школьников.

Как возможно осуществить первое из этих мероприятий применительно к курсу геометрии?

Общепризнанной является необходимость в педагогической практике руководствоваться известным ленинским тезисом об основных ступенях познания истины: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике».

Исходя из этого принципа в связи с задачей политехнического обучения представляется необходимым наметить три ступени изучения каждого раздела курса геометрии:

1) Постановка перед учащимися задач практического характера, решение которых требует наличия новых сведений по геометрии. Это можно сделать в форме беседы, опираясь на материал конкретного содержания из жизненной практики школьников, а также на материал, полученный в результате экскурсий в мастерские, на завод и пр.

2) Изучение теоретических вопросов данного раздела. Учащиеся узнают новые геометрические предложения, появившиеся как ответы на запросы практики. На этой ступени уместны задачи чисто математического содержания (например, задачи на построение).

3) Решение задач прикладного характера, а также задач из смежных дисциплин, используя при этом приобретенные теоретические знания.

При отборе таких задач представляется целесообразным руководствоваться следующими основными принципами:

1) Содержание задач должно строиться на материале из различных и наиболее важных отраслей техники. Таким путем окажется возможным дать учащимся широкий политехнический кругозор.

2) Содержание задач не должно быть чрезмерно пере полнено специальной терминологией, особенностями технического характера, чтобы не создавать больших трудностей в понимании этих особенностей.

3) Техническое содержание задач должно быть легко иллюстрируемым несложными рисунками, схемами и пр.

В диссертации приводятся примеры такого рода задач применительно к разделам курса «Тригонометрические функции острого угла» и «Метрические соотношения в треугольнике и круге».

ГЛАВА V. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ВОПРОСЫ

О построении изображений в школьном курсе геометрии

Чертежи в школьном курсе геометрии:

а) конкретизируют рассматриваемые геометрические фигуры, вносят элементы наглядности;

б) при наличии в школьном курсе неявных аксиом являются незаменимым источником той наглядной убедительности, которая призвана заменить эти аксиомы;

в) способствуют накоплению пространственных представлений и развитию пространственного воображения;

г) дают практические навыки изображения пространственных форм на бумаге, что очень важно с точки зрения практической подготовки учащихся.

Совершенно понятно, что для этого чертежи должны быть верными, наглядными и свободно выполнимыми (Н. Ф. Четверухин. Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии. Учпедгиз, 1946 г.). Применяемые в настоящее время «упрощенные рисунки» взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве не удовлетворяют этим требованиям. Как исправить это положение?

В работе показывается, что метод ортогонального проектирования на две и три взаимно-перпендикулярные плоскости также не может удовлетворить всем требованиям педагогического процесса. Вместе с тем ввиду важности этого метода в технике и в связи с задачей политехнического обучения необходимо познакомить учащихся с его основными идеями и научить их применять теоретические знания на практике.

В курсе стереометрии построения изображений целесообразнее выполнять на проекционном чертеже. Такие изображения являются наглядными, вызывают «пространственное представление оригинала» (Н. Ф. Четверухин) и позволяют эффективно решать задачи на построение в стереометрии.

Для того, чтобы учащиеся могли осмысленно выполнять построения на проекционном чертеже, их необходимо познакомить с простейшими свойствами параллельного проектирования.

Неевклидовы геометрии в курсе средней школы

Мысль о внедрении элементов геометрии Лобачевского в школьный курс высказывалась не один раз. На I Всероссийском с'езде преподавателей математики за такое предло-

женйе высказывались С. А. Богомолов, П. А. Долгушин. На 2-м Всероссийском с'езде преподавателей математики с докладом на эту тему выступал Г. А. Грузинцев. В прениях по этому докладу все выступавшие в сущности признавали желательность такого мероприятия (П. А. Долгушин, Д. Д. Мордухай-Болтовский и др.). В более близкое к нам время о необходимости знакомства учащихся с заслугами Н. И. Лобачевского высказывался действительный член АПН РСФСР П. С. Александров.

Знакомство с простейшими фактами геометрии Лобачевского позволяет отчетливее представить структуру евлидовой геометрии, дает возможность узнать о том вкладе в науку, который сделал Н. И. Лобачевский, представляет геометрию как науку, развивающуюся в порядке борьбы противоположных взглядов, что является очень ценным для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

Для того, чтобы учащиеся без больших затруднений могли усвоить основные идеи геометрии Лобачевского, необходимо проделать некоторую подготовительную работу, направленную на выяснение общей структуры геометрии и прежде всего роли 5-го постулата Евклида.

Представляется наиболее целесообразным отнести сообщение сведений о геометрии Лобачевского в заключительный курс в конце 10-го класса и связать этот вопрос с повторением всего курса геометрии. На кружковых занятиях желательно познакомить учащихся с вопросом о существовании других неевклидовых геометрий.

О слиянии планиметрии и стереометрии

Проводимое в настоящее время четкое отделение планиметрии от стереометрии имеет то преимущество, что позволяет малоподготовленному ученику на первых порах заниматься более простыми вопросами геометрии. Вместе с тем такое разделение в сильной степени тормозит развитие пространственного воображения учащихся, поскольку на стереометрию отводится очень небольшое число часов. С другой стороны, полное слияние планиметрии и стереометрии также нежелательно: курс геометрии предстал бы перед учащимися более сложным, пришлось бы рассеивать их внимание по двум направлениям—фактам на плоскости и в пространстве, что может привести к путанице в их представлениях.

В интересах лучшего развития пространственных пред-

ставлений учащихся представляется необходимым использовать положительные стороны того и другого направления Именно: систематический курс геометрии удобнее строить по принципу частичного слияния планиметрии и стереометрии, т. е. планиметрия и стереометрия изучаются отдельно друг от друга, но допускается при этом их взаимное вмешательство «во внутренние дела каждой». Пример.

Разбирая геометрические места точек плоскости, учащиеся узнают:

а) геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, есть окружность;

б) геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, представляет собой две прямые, параллельные данной и находящиеся от нее по разные стороны (на равных расстояниях).

Эти геометрические места точек легко обобщаются на пространство. Получаем, соответственно, шаровую и цилиндрическую поверхность. Точна так же удобно было бы при постановке планиметрических задач исходить из запросов стереометрии, например, изучать свойства прямоугольника, как грани параллелепипеда, окружности, как сечение шара плоскостью и т. д. При этом главной задачей курса геометрии на данном этапе является усвоение материала планиметрии, а отступления в стереометрию носят вспомогательный характер, имеющие целью закрепить ранее полученные знания по стереометрии (из пропедевтического курса, жизненной практики). Для лучшего усвоения таких стереометрических отступлений необходимо использовать модели, чертежи и т. п.

В стереометрии в свою очередь знания, полученные при изучении планиметрии, должны найти по возможности полное применение.

Проводить стереометрические отступления при изучении планиметрии заставляют также интересы политехнического обучения. Очень многие даже простейшие задачи технического характера являются «задачами в пространстве». Их решения будут более эффективными в том случае, если они опираются на развитую пространственную интуицию учащихся. Предлагаемые отступления как раз и призваны совершенствовать их пространственные представления.

В диссертации рассматриваются и другие примеры, поясняющие высказанную мысль, приводятся сведения из истории данного вопроса, а также высказывания известных ученых и

методистов (H. Ф. Четверухин, С. А. Богомолов, В. Ф. Каган и др.).

В работе исследуется вопрос о применении тригонометрических функций в курсе геометрии. На ряде примеров показывается, что желательно более широкое использование тригонометрических функций в курсе геометрии по сравнению с тем, как мы имеем в настоящее время. Это позволило бы в некоторых случаях упростить доказательства теорем и тем самым выкроить время для других целей. Предлагаемая связь является также целесообразной и с точки зрения политехнического обучения школьников.

ГЛАВА VI. ОБОСНОВАНИЕ ПРЕДЫДУЩИХ ВЫВОДОВ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ УЧЕНИЯ И. П. ПАВЛОВА О ВЫСШЕЙ НЕРВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Некоторые основные положения учения И. П. Павлова

1) «...основное представление о деятельности нервной системы есть представление о рефлексе, как об известном нервном пути, по которому внешнее раздражение, попав в центральную нервную систему, затем доходит до того или другого рабочего органа» (Павлов).

2) Если одновременно и достаточно много раз действуют два раздражителя, то между соответствующими очагами возбуждения устанавливается проторенный нервный путь, который связывает эти очаги в единую систему. При возбуждении одного очага происходит возбуждение и другого. Между очагами устанавливается временная связь. Эта связь сохраняется, укрепляется, если сохраняются условия, ее породившие, и, наоборот, разрушается при длительном отсутствии таких условий.

3) Необходимо различать два вида раздражителей, сигналов. Первую систему сигналов (общую для человека и животных) составляют те сигналы, которые непосредственно исходят из окружающей среды и улавливаются различными органами чувств (колебания температуры, болевые ощущения и т. д.).

В человеческом обществе, кроме первой сигнальной системы, имеется еще вторая сигнальная система, связанная с языком, речью. Слово для человека является таким же условным раздражителем, как и все остальные общие у него с животными. Оно связано со всеми внутренними и внешни-

ми раздражениями, приходящими в большие полушария, их сигнализирует, заменяет и может вызвать все те действия организма, которые обусловливают данные раздражения (Павлов).

Вторая сигнальная система возникает и развивается на основе первой.

4) Образование временных связей (ассоциаций)—это и есть понимание, знание определенных отношений внешнего., мира. «... каждая маленькая, первая ассоциация это есть момент рождения мысли... Эти ассоциации растут и увеличиваются. Тогда говорят, что мышление становится все глубже и шире» (Павлов).

Необходимым элементом всякой мыслительной деятельности является прежний опыт, т. е. система ранее образованных связей. Для образования более широких и абстрактных понятий, требуется больше этого прежнего опыта.

5) Разнообразные раздражения, падающие на головной мозг, встречаются, взаимодействуют друг на друга, в конце-концов уравновешиваются, систематизируются; создается динамический стереотип, т. е. «слаженная уравновешенная система внутренних процессов» (Павлов). Образование динамического стереотипа есть нервный труд, напряженность которого зависит от многих причин. Эта система уравновешенных процессов легче устанавливается, если действующие раздражения образуют некоторую систему, т. е. при внешнем стереотипе.

При замене одной системы раздражителей другой наблюдается «некоторое наслоение стереотипов и соперничество между ними» (Павлов).

Педагогические выводы применительно к вопросам, рассматриваемым в настоящей работе

1. Так как вторая сигнальная система развивается на основе первой, то это означает, что при первоначальном знакомстве учащихся с геометрией необходимо апеллировать к наглядности, к конкретным геометрическим образам. Отсюда следует, что наглядно-дедуктивное изложение материала геометрии на 1-й ступени систематического курса является необходимым и вполне оправданным.

2. Если прежний опыт является необходимым элементом всякой мыслительной деятельности, если углубление мышления есть образование новых ассоциаций на базе предыдущих, на основе прежнего опыта и если для образования более аб-

страктных понятий требуется больший прежний опыт, то это означает, что прежде чем переходить к изучению курса геометрии, построенного на формально-дедуктивной основе, необходимо предпослать такому курсу нечто вспомогательное, имеющее целью, накопить этот прежний опыт. Отсюда понятно, почему в настоящее время курс геометрии в 6—7 классах с большим трудом усваивается учащимися. Обоснованной становится необходимость пропедевтического курса геометрии, а также наглядно-дедуктивного изложения на 1-й ступени систематического курса.

3. Если временные связи действительно являются временными и разрушаются при отсутствии условий, их породивших, то в интересах прочности усвоения материала становится очевидной необходимость заключительного курса обзорного характера, а в равной степени и систематическое повторение пройденного материала.

Точно так же становится ясной нецелесообразность такого построения курса геометрии, когда длительное время учащиеся изучают только лишь планиметрию и совершенно забывают приобретенные раньше сведения из стереометрии. Небольшие экскурсы в область стереометрии при изучении планиметрии в систематическом курсе позволят по меньшей мере сохранить тот прежний опыт, на основе которого в будущем (при систематическом изучении стереометрии) будут создаваться новые ассоциации. Этим самым окажется возможным сохранить непрерывность в накоплении пространственных представлений учащихся и развитии их пространственного воображения.

4. Для развития пространственного воображения учащихся необходимо придерживаться схемы «модель—чертеж—воображаемое построение». Одной из причин слабого развития пространственного воображения учащихся является нарушение указанной схемы. Пытаются, минуя первый этап и неудовлетворительно отрабатывая второй, сразу же перейти к воображаемым построениям, подменяя реальные образы их словесным определением. А так как слово является реальным раздражителем, вызывающим представление того образа, который оно означает, то, ввиду чрезвычайной неопределенности употребляемых в школе стереометрических чертежей при решении задач на построение, нельзя думать, что за воображаемыми построениями скрываются четкие и конкретные пространственные представления. Как раз наоборот, по закону образования временных связей эти представления страдают такой же неопределенностью, как и применяемые ныне «упрощенные рисунки», что не может не привести к путанице в представле-

ниях учащихся и во всяком случае не благоприятствует развитию их пространственного воображения. В этом отношении построения на проекционном чертеже обладают значительными преимуществами.

5. Если динамический стереотип легче всего образуется под воздействием внешнего стереотипа, то это означает, что курс геометрии как в целом, а также и каждый из его разделов должны представлять собой стройную систему. Отсюда следует, что курс геометрии целесообразнее подчинить одной об'единяющей идее. Если учесть все то ценное, что дает учащимся изучение преобразования фигур, то становится понятным, что такой идеей удобнее всего взять идею геометрических преобразований.

6. Элементы неевклидовых геометрий могут быть предложены вниманию учащихся только старших классов, поскольку, чем богаче прежний опыт, тем легче усваиваются более абстрактные понятия. С этой точки зрения становится очевидной ошибочность предложений авторов об'яснительной записки действующей в настоящее время программы по геометрии относительно сообщения учащимся 6-го класса о существовании неевклидовых геометрий.

Таким образом, полученные ранее на основании опыта выводы подтверждаются также и с точки зрения павловского учения о высшей нервной деятельности.

ГЛАВА VII. ПЕРВЫЕ УРОКИ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В СТАРШИХ КЛАССАХ

С чего начинать первые уроки 2-й ступени систематического курса геометрии? (Начало 8-го класса).

Содержание этих уроков может быть охвачено следующей программой: а) общие сведения о предмете геометрии; б) определения и основные понятия; в) аксиомы и теоремы; г) роль дедуктивных доказательств в геометрии; д) состав геометрических предложений (условие и заключение); виды теорем, зависимость между ними.

Такое содержание первых уроков, опираясь на предыдущий материал, позволило бы повторить его в наиболее существенных пунктах и явилось бы необходимым введением к такому изучению геометрии, когда пребладающее значение получает дедукция.

Вопрос о доступности этого материала для учащихся не может вызвать какого-либо сомнения. Во всяком случае ясно, что по сравнению с существующим положением мы получаем

большой выигрыш: время изучения этого важного раздела геометрии отодвигается примерно на 2 года, учащиеся располагают достаточными сведениями из геометрии, чтобы осмысленно усвоить эти важные понятия.

Представляется вполне возможным на этих уроках определить геометрию как науку о пространственных формах реального мира. Здесь же будет вполне уместным указать, что геометрия «...дает свои законы, абстрагируясь от конкретных предметов, рассматривая предметы, как тела, лишенные конкретности, и определяя отношения между ними не как конкретные отношения таких-то конкретных предметов,, а как отношения тел вообще, лишенные всякой конкретности» (И. Сталин, «Марксизм и вопросы языкознания»).

При выяснении роли основных понятий в геометрии следует проанализировать какое-либо известное учащимся определение. Так, например, определяя треугольник, как замкнутую ломаную линию, состоящую из трех звеньев, мы используем такие понятия, как «ломаная линия», которая определяется через понятие «отрезок». При определении последнего используются понятия «точка», «прямая» и др.

При анализе доказательства известного учащимся предложения устанавливается, что это доказательство было основано на некоторых предложениях, которые приняты без доказательства (аксиомах). Если, например, разобрать задачу на деление данного угла пополам, то можно установить, что при построении биссектрисы угла были использованы, например, такие аксиомы: а) из любой точки плоскости можно провести окружность произвольного радиуса; б) через две различные точки можно провести прямую и притом только одну.

Такой работой, которая, понятно, не может целиком ложиться только лишь на первые уроки в старших классах, а должна проводиться достаточно часто во все последующее время изучения геометрии, постепенно подводим учащихся к выяснению логической структуры геометрии.

При выяснении вопроса о роли дедуктивных доказательств в геометрии представляется необходимым на ряде примеров убедить учащихся в том, что непосредственные наблюдения дают не всегда точные сведения о предмете. Точно также было бы желательно посеять у учащихся сомнение в возможности полностью доверяться чертежам. С этой целью было бы полезно проанализировать 2—3 геометрических софизма, где ложность вывода проистекает из-за доверия к чертежу. Этой работой учащиеся подводятся к выводу, что в геометрии нельзя полностью доверяться чертежам и непосредственным

наблюдениям; чертежи могут дать неверный ответ на какой-либо вопрос; чтобы получить более точный ответ, необходимо доказать утверждаемое предложение, выводя его в конечном счете из аксиом.

В диссертации дается методическая разработка первых уроков геометрии в старших классах средней школы.

ГЛАВА VIII. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ

Мысль заканчивать изучение геометрии обзором пройденного высказывалась не один раз. О необходимости такого мероприятия высказывались такие известные ученые и методисты, как, например, Н. А. Извольский, П. А. Долгушин, Б. Б. Пиотровский, К. М. Щербина, А. И. Фетисов и др. В проекте программы по математике для средней школы, разработанного управлением начальных и средних школ Министерства просвещения РСФСР в 1947 г., отводилось специальное время на обзор всего курса геометрии.

Несмотря на то, что многие методисты высказывались относительно целесообразности заключительного курса геометрии, однако автору неизвестны какие-либо конкретные методические разработки такого курса. В диссертации делается попытка восполнить отмеченный пробел.

С точки зрения задач, стоящих перед школой в настоящее время, заключительный курс имеет следующее назначение:

1) Способствовать более глубокому формированию диалектико-материалистического мировоззрения учащихся.

2) Систематизировать ранее полученные знания, показать на изученном материале геометрию как единую целостную логическую систему.

3) Познакомить выпускников средней школы с бессмертными заслугами выдающегося русского ученого Н. И. Лобачевского и его ролью в развитии геометрической науки.

4) Добавить другие сведения исторического характера.

5) Поднять строгость аксиоматического изложения геометрии на новую ступень, излагая один из ее разделов на базе полной избыточной системы аксиом, что приблизило бы школьную геометрию к науке.

6) Повторить в наиболее существенных пунктах ранее изученный материал.

Исходя из этих соображений, содержание заключительного курса можно определить следующей программой. 1. Предмет геометрии.

Преобразования фигур. Виды преобразований, их взаимная связь.

2. Метод геометрии.

Геометрия как абстрактно-дедуктивная система. Основные геометрические об'екты: точка, прямая, плоскость, основные взаимоотношения между ними: принадлежать, между, конгруентность отрезков и углов.

Анализ цепи определений; выяснение роли основных геометрических понятий при определении каких-либо других геометрических понятий.

Деление геометрических предложений на аксиомы и теоремы. Уточнение списка ранее известных аксиом. Современный взгляд на происхождение аксиом, борьба двух направлений по этому вопросу: материалистического и идеалистического.

3. Краткие сведения о возникновении и развитии геометрии. «Начала» Евклида как попытка аксиоматического построения геометрии.

4. Попытки доказательства 5-го постулата Евклида. Понятие об эквивалентных предложениях. Некоторые эквиваленты 5-го постулата.

5. Понятие об абсолютной и собственно-евклидовой геометриях. Анализ ранее доказанных теорем курса геометрии с точки зрения их принадлежности абсолютной геометрии или собственно-евклидовой.

6. Великий русский математик Н. И. Лобачевский. Биография Лобачевского. Простейшие факты геометрии Лобачевского. Связь геометрии Евклида и геометрии Лобачевского. Вопрос об опытной проверке и практическом примечении геометрии Лобачевского. Мировоззрение Лобачевского по вопросу об окружающем нас пространстве и противоположное ему учение Канта.

Эта программа рассчитывается на курс геометрии, построенный на идее геометрических преобразований. Применительно к ныне действующему курсу геометрии содержание заключительного курса может быть охвачено той же самой программой, если из нее выбросить первый пункт, заменив его краткими замечаниями о предмете геометрии. При этом список аксиом, на основе которых излагается материал заключительного курса, пополняется новыми, потому что в учебнике А. П. Киселева имеется слишком мало явно сформулированных аксиом, чтобы можно было раз'яснить учащимся сущность аксиоматического изложения геометрии.

Простейшие факты геометрии Лобачевского получаются

отрицанием некоторых эквивалентов аксиомы о единственности параллельной.

Как показал опыт, на изложение материала заключительного курса, разработанного применительно к действующему в настоящее время курсу геометрии, требуется примерно 16—18 часов занятий. По этой программе автором работы проводились занятия математического кружка 10-го класса средней школы «Васильевский мох», Калининской области, с ноября по апрель включительно 1951—52 учебного года. Из 26 учащихся 10-го класса в среднем около 2/з занималось по программе заключительного курса. В диссертации проводится описание занятий по темам, охватывающим содержание программы курса.

Устный опрос, а также результаты письменной работы показывают, что учащиеся после ознакомления с материалом заключительного курса геометрии в целом правильно понимают сущность аксиоматического построения геометрии разбираются во всей системе геометрии, а также в доказательствах отдельных теорем, выделяя аксиомы, на которых базируется данное доказательство. Материал заключительного курса является вполне доступным для них.

В текущем 1952—53 учебном году экспериментальная проверка положений заключительного курса геометрии проводится учительницей Е. Ф. Даниловой в мужской средней школе № 1 города Калинина. Работа проводится на классных занятиях в 9-м классе и имеют целью в этом классе, а также в будущем году в 10-м классе изучить частично материал заключительного курса в связи с повторением пройденного, чтобы сократить время, потребное на изложение этого курса по предлагаемой программе в конце 10-го класса. Опьгп работы Е. Ф. Даниловой также дает положительные результаты.

Все это вместе взятое позволяет надеяться, что предлагаемый заключительный курс геометрии отвечает своему назначению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Резюмируя ранее сказанное, приходим к следующим основным выводам:

1) В интересах облегчения изучения геометрии в 6—7 классах, необходимо курс геометрии построить так, чтобы в этих классах преобладала наглядность, основанная на моделях, эксперименте. Дедукция должна лишь постепенно входить в свои права.

2) С целью повышения научного уровня школьной геометрии представляется необходимым весь курс геометрии подчинить идее геометрических преобразований, показать пример изложения геометрии на основе избыточной аксиоматики, познакомить учащихся с элементами неевклидовой геометрии Лобачевского, с заслугой Лобачевского перед наукой. Все это является также необходимой предпосылкой для формирования диалектико-материалистического мировоззрения учащихся и воспитания чувства советского патриотизма.

3) Для лучшего развития пространственного воображения учащихся построения в стереометрии целесообразнее выполнять на проекционном чертеже. С этой же целью при изучении планиметрии необходимы небольшие отступления в стереометрию.

4) Для связи школьного курса геометрии с политехническим обучением необходимо по каждому разделу курса решать доступные пониманию школьников задачи технического характера.

5) В интересах прочности усвоения изучаемого материала, систематизации полученных геометрических сведений, диалектико-материалистического освещения известных учащимся геометрических фактов необходим заключительный курс геометрии.

ЕА00875. Подписано к печати 3/11 1953 года. Тираж 100 экз. Заказ 1170—53.

Г. Калинин. Типография облполиграфиздата

Замеченные опечатки

стр. 8, 3-я строка напечатано: следует читать:

сверху непротиворечности непротиворечивости