МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

О. А. АРАКЕЛЯН

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ПОВТОРЕНИЯ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель профессор М. А. ЗНАМЕНСКИЙ

Москва — 1958

Московский областной педагогический институт Кафедра методики математики и физики

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Профессор СЛУГИНОВ Серапион Петрович. Кандидат педагогических наук, доцент ШУМОВ Александр Сергеевич.

Защита состоится_1958 г. в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, Москва, ул. Радио, д. 10а

Автореферат разослан_1958 г.

Ученый секретарь МОПИ

В век автоматики и завоевания космоса советская школа призвана готовить широко образованных, разносторонне подготовленных людей, хорошо знающих основы наук, в частности, хорошо знающих математику, физику.

В связи с новыми задачами, поставленными жизнью перед школой, требуется творческое и умелое сочетание теории с практикой.

В процессе подготовки учащихся к практической деятельности школа не может предусмотреть все стороны конкретной обстановки, в которой придется работать ее выпускникам. Поэтому она должна вооружить подрастающее поколение завершенной системой знаний и тем самым облегчить дальнейшее творческое применение этих знаний в каждом конкретном случае многогранной практики.

Однако состояние знаний выпускников нашей школы не полностью удовлетворяет современным требованиям.

В этом нас убеждает, кроме личных наблюдений, внимательный просмотр литературы, посвященной характеристике качества знаний учащихся.

Причины, порождающие недостатки в математической подготовке, учащихся, следует искать, прежде всего, в недостаточном теореическом и методическом уровне преподавания математики у многих преподавателей.

Сильно сказывается на качество знаний учащихся отсутствие в практике преподавания системы повторительно-обобщающих уроков.

В поисках средств для устранения недостатков в подготовке учащихся и вооружения их глубокими и прочными знаниями автор исходит из того убеждения, что успех преподавания достигается не применением того или иного метода, способа или приема, а системой преподавания в целом. В эту систему непременно должно входить хорошо организованное и систематически проводимое повторение отдельных вопросов, тем и разделов программы и заключительное повторение на завершающем этапе курса.

Особенно важно это для такой большой по объему, отвлеченной по характеру материала и разнообразной по кругу требований дисциплины, как математика.

Вопрос о повторении математики приобретает особо значение, в связи с решением Министерства просвещения РСФСР об отмене экзаменов по ряду предметов, а также в связи с предстоящей перестройкой системы образования, когда большинство из учащихся, возвратившись продолжать учебу после перерыва, почувствуют потребность в повторении ранее пройденного.

Необходимость повторения вызвана еще и психологическими особенностями процесса познания, выражающимся в том, что невозможно с первого раза усвоить полностью весь материал со всеми его подробностями. Только постоянное, в определенной системе осуществляемое включение новых знаний в систему прежних знаний может обеспечить достаточно высокое качество усвоения предмета.

Проблеме повторения, ее различным вопросам посвящено много статей и отдельных высказываний как дореволюционных, так и советских педагогов.

Однако, несмотря на обилие высказываний в пользу необходимости повторения учебного материала, все же имеющийся опыт в области методики повторения пока еще недостаточно изучен и обобщен; проблема повторения математики в школьном преподавании до сих пор не получила пока достаточного разрешения.

То здесь, то там приходится слышать заявление учителей о том, что повторение учебного материала организовано в школах слабо, отсутствует система повторения. В этом отношении права учительница школы имени К. Маркса гор. Ярославля т. Заботнова, заявившая в своем докладе, что «Не раз в инструкторских письмах НКП, в отдельных журнальных статьях по этому поводу встречались указания на то, что повторение должно проводиться в строгой системе, но вот именно этой то системы нет ни в учебниках, ни в пособиях, нет ее и в работе самих учителей»1.

Ввиду отсутствия у многих учителей системы повторительно-обобщающих уроков, идейное содержание школьного курса математики остается не раскрытым, отчего значительная часть учащихся не уясняет этой стороны предмета и встает на путь формального изучения математики.

Такая постановка преподавания математики, при которой огромное количество фактов, приобретенных учеником, не цементируется впоследствии с помощью основных идей курса математики, мало эффективна в образовательном и воспитательном отношениях.

1 Стенограмма Ярославской обл. научно-педагогической конференции. 1940, стр. 121.

Будучи убеждены в том, что повторение может значительно способствовать повышению идейно-теоретического уровня преподавания, мы выбрали темой своего исследования «Некоторые вопросы повторения математики в средней школе».

Названная тема является актуальной, так как одной из основных причин того, что далеко не все учителя обеспечивают высокое качество подготовки и достаточно прочные знания учащихся по математике, является отсутствие или методически непродуманное проведение повторения учебного материала.

Это исследование представляет собой попытку сделать следующий шаг на пути разработки сложной комплексной проблемы повторения.

Целью диссертации является:

1. Обоснование необходимости повторения учебного материала как средства повышения научно-теоретического уровня знаний учащихся по математике в средней школе.

2. Обобщение и критическое осмысливание положительного опыта дореволюционной и советской школы.

3. Выявление условий, при которых система вопросов и упражнений в процессе повторения, способствуют сознательному, глубокому и прочному усвоению учебного материала.

4. Установление и обоснование наиболее рациональной системы повторения, раскрытие связи и взаимосвязи между различными видами целостной системы повторения, указав их место и роль в учебном процессе, показав особенности и методические приемы проведения каждого вида повторения.

5. Анализ важнейших недостатков практики проведения повторения математики в школе.

6. Оказание помощи учителям, в первую очередь начинающим, конкретной разработкой различных уроков повторения и методики его проведения на материале основных вопросов школьного курса математики.

Этим и определяется, как построение диссертации, так и круг вопросов, рассматриваемых в ней, и методы нашего исследования.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения.

I

В предлагаемой нами работе дается обзор дореволюционной и советской литературы по разрабатываемой проблеме; анализируются различные точки зрения на изучаемый вопрос. В нашей работе мы делали критический анализ методов, предлагавшихся педагогами дореволюционной русской школы в целях повышения качества знаний выпускников средних

учебных заведений. Осмысливая педагогическое наследие прошлого, мы полностью приняли его идею систематизации знаний учащихся на более высоком теоретическом уровне. При этом, мы отказались от рекомендаций расширения программы, заменяя его углублением изученного материала в пределах, допускаемых программой и психологией отдельных возрастов школьников.

В работе рассматриваются психолого-физиологические основы повторения, где делается, в порядке вывода, ряд рекомендаций для успешного планирования и организации повторения. Эту же цель преследует и второй параграф, озаглавленный «Недостатки в математической подготовке учащихся».

Кроме этого приводится анализ недостатков в организации и методике повторения, имевших место в старой русской школе, а также недостатки, наблюдаемые ныне в практике учителей советской школы.

При проведении анализа мы исходили из целого ряда общедидактических положений и положений частной методики, установленных по вопросам повторения крупнейшими дидактами прошлого и советского периодов, а также из тех основных требований, которые предъявляются к повторению в практической работе нашими передовыми учителями. В свете этих положений мы и подходили к отбору материала и его анализу с тем, чтобы в дальнейшем сделать выводы о системе и методике организации повторения в советской школе.

Все это служит как бы введением для остальной части работы и избавляет нас от многократных ссылок на теорию в дальнейшем изложении.

Материалы, подвергнутые нами исследованию, были почерпнуты путем посещения уроков своих коллег, просмотра их тематических и календарных планов, методических разработок тем для повторения слушания докладов по вопросам повторения на различных собраниях и совещаниях, а также наблюдением за педпрактикой студентов в школах.

Экспериментально были проверены и научно обоснованы условия, при которых система вопросов и упражнений в процессе повторения, время, методы и приемы их проведения, способствуют прочному, сознательному и глубокому усвоению учебного материала.

На многочисленных примерах показано как, через упражнения, знания учащихся приобретают прочность и устойчивость.

Все, только что перечисленное и личный 28-летний педагогический опыт работы в школах, составило ту базу, на основе которой мы приводим в приложении один из возможных ва-

риантов организации повторения математики в средней школе.

От других работ, имеющих отношение к вопросу повторения, настоящая работа отличается тем, что:

1. Каждое рассматриваемое в работе положение исследуется в свете живого педагогического процесса в школе.

2. Анализ каждой предлагаемой нами системы повторения той или иной темы программы и рекомендуемая методика его организации проводятся с точки зрения необходимости, с точки зрения возможности и с точки зрения фактической осуществимости.

3. Содержание большинства тем, предназначенных для повторения, раскрывается системой вопросов и упражнений несложного характера, взятых, в основном, из программного материала VII—X классов.

4. В работе достаточно полно и глубоко исследуется образовательная, и практическая значимость предлагаемой нами системы повторения для вооружения учащихся прочными знаниями.

На основании литературных данных, в первом параграфе диссертации прослеживается эволюция развития взгляда педагогической мысли и ее отдельных представителей на значение, место и методика повторения в учебном процессе.

Большое значение повторению учебного материала и упражнению придавал Я. А. Коменский (1592—1670).

Отсюда и его известное высказывание о том, что «Обучение нельзя довести до основательности без возможно частых и особенно искусно поставленных повторений и упражнений».

Проблема повторения учебного материала привлекла внимание и Н. И. Лобачевского. Он писал, что от ясности первых понятий зависит успех учения, а поэтому считал необходимым «...утвердить в них всякого лишним повторением, нежели допустить темность»1.

В другом месте Н. И. Лобачевский обращает внимание преподавателей на то, чтобы они взяли на себя заботу привести в строжайший порядок знания учащихся. При этом главное в повторении, но его мнению, — это усовершенствование и систематизация прежних знаний. Но так как повторить все невозможно, то Н. И. Лобачевский предлагает повторить «существенные основания и положения науки с утверждением которых подробности легко уже могут быть усвоены и выведены как необходимые последствия»2.

1 Разрядка наша О. А.

2 Ф. 92, арх. 5843. 1845—1846 гг. разрядка везде наша.

Значение и место повторения в обучении и многие другие вопросы, связанные с его методикой, наиболее полно впервые обосновал в середине XIX века крупнейший представитель прогрессивной русской педагогической мысли К. Д. Ушинский (1824—1870).

Вопросы повторения в педагогической системе К. Д. Ушинского разрабатывались на широкой научной основе, с учетом психологической основы повторения.

Многие педагогические выводы К Д. Ушинского находят свое обоснование в учении И. П. Павлова.

В противовес мнениям, что повторение задерживает темп прохождения программы, К. Д. Ушинский писал: «Лучшие из дидактов... кажется, только и делают, что повторяют, но между тем быстро идут вперед»1.

Прогрессивные педагогические идеи К. Д. Ушинского не были и не могли быть широко реализованы в условиях дореволюционной школы.

Значение педагогического наследия К. Д. Ушинского по достоинству было оценено только в советское время.

В диссертации подробно приводится анализ программ под углом зрения того места, которое отводилось повторению. Показывается, что, хотя в дореволюционных программах официально указывалась необходимость повторения и представлялись возможности для этого, тем не менее, эти возможности не использовались должным образом, вследствие отсутствия единого взгляда на цели и содержания повторения, в результате чего эффективность повторения снизилась, оно проводилось сухо, однообразно, схематично и утомительно для учащихся.

Положительным в старой школе был факт признания необходимости введения повторительного курса и издание ряда повторительных пособий по математическим дисциплинам. Однако эти повторительные курсы не могли устранить вышеуказанные недостатки, так как они сами в большой мере страдали этими недостатками.

Появление повторительных курсов указывает на один очень важный момент, заключающееся в том, что в то время педагогическая мысль уже отличала своеобразие работы ученика по усвоению нового материала от работы при повторении пройденного, усвоенного уже однажды.

Считая неприемлемой для советской школы идею повторительных курсов, тем не менее мы глубоко убеждены в том, что помимо учебников по математике, позволяющих постепенно усваивать учебный материал, ученик должен располагать

1 К. Д. Ушинский, Избр. пед. соч., 1939, т. I, стр. 338,

книгами для углубленного повторения, где пройденные вопросы повторяются и систематизируются на более высоком научном уровне.

Позднее появляются работы, посвященные вопросам повторения, где делается попытка конкретизировать разработанную К. Д. Ушинским теорию повторения, применительно к отдельным учебным предметам начальной и средней школы. Мы имеем в виду прежде всего работы В. П. Вахтерова «Повторение», М. Демкова «О повторении», М. Попруженко «Повторение по отделам» и другие.

На основе рассмотренных материалов в диссертации указываются наиболее характерные недостатки в проведении повторения, имевшие место в дореволюционной русской школе. Здесь отметим лишь, что повторение чаще всего осуществлялось как стереотипное воспроизведение пройденного ранее материала без достаточного его осмысливания и углубления, что обычно кончалось поверхностным, несознательным запоминанием учебного материала и непосильной перегрузкой памяти учащихся.

Эти недостатки обусловлены как историческими условиями, так и неправильным пониманием сущности процесса обучения, свойственным педагогам старой русской школы, базировавшимся на буржуазной теории педагогики и психологии.

Надлежащее место и значение повторения в учебном процессе могла установить лишь советская дидактика, творчески переработавшая положительный опыт старой школы в целом и высказывания ее отдельных представителей в частности, на основе марксистско-ленинской методологии и продолжения обобщения опыта новой советской школы.

Вопросы повторения начинают разрабатываться совместными усилиями учителей-практиков, методистов и психологов. Все большее значение приобретает вопрос об активной мыслительной деятельности при повторении (А. Смирнов, Б. Есипов, Л. Занков, М. Шардаков, Б. Комаровский, М. Скаткин и др.). В практику школы постепенно входят повторительно-обобща-ющие уроки.

На страницах печати находят место многочисленные статьи, брошюры и книги, посвященные вопросам повторения (В. Лукьянов, А. Смирнов, М. Скаткин, В. Тихомиров, Б. Комаровский, Б. Журавлев, Е. Раскин, Н. Полозова и И. Демпман, Г. Стальков, Капитан Гридин, Н. Щербов и другие).

Вопросами повторения начинают заниматься методические объединения, научно-исследовательские учреждения, имеющие отношение к школе, авторы многих учебников педагогики.

Посвящены специальные исследования (диссертации) вопросам повторения той или иной математической дисциплины в том или другом классе (А. Лавров, Л. Мухина).

Не останавливаясь на достоинствах и недостатках этих работ, отметим, что в них содержится ряд полезных учителю рекомендаций по организации повторения в своих классах. Во многих этих работах правильно ставится и раскрывается цель и значение проблемы повторения в процессе овладения знаниями, уделяется большое внимание вопросу повторения в учебном процессе, педагогически и психологически обосновываются многие в них рекомендации.

Проблема разработки системы и методики повторения нуждается в новых усилиях в разных направлениях.

Второй параграф первой главы посвящен рассмотрению состояния математической подготовки учащихся средней школы, на фоне ведущих идей школьной математики, ибо наиболее успешное устранение недостатков в преподавании может быть достигнуто в результате выдвижения на первый план этих идей.

Совокупность всех этих недостатков в преподавании математики приводит к самому распространенному недостатку — формализму в знаниях учащихся, основной причиной которого является формализм в преподавании.

В конце параграфа указываются некоторые мероприятия для их устранения. В число этих мероприятий входит система и методика повторения пройденного ранее материала. Последнее зависит от ряда других вопросов: от системы и методики упражнения; от форм и методов задавания вопросов и т. д., которым посвящена в нашей работе третья глава.

II

Вторая глава нашей работы посвящена дидактическим требованиям к методике повторения математики в средней школе. Обобщается опыт передовых учителей, касающийся условий, обеспечивающих успешность повторения; приводятся многочисленные примеры организации повторения, указываются приемы и методы, через которые осуществляется это повторение.

На конкретных примерах показывается место и время проведения повторения, даются некоторые советы, которые полезно учесть при планировании повторения.

Система повторения может быть построена по-разному в зависимости от тех целей, которые оно преследует.

В зависимости от целей и характера учебного предмета в целом и специфики каждого раздела или темы курса в от-

дельности, повторение может быть организовано либо одновременно с усвоением новых знаний, либо самостоятельно.

Виды повторения.

В существующей литературе, в той или иной мере систематизирующей вопросы повторения, мы встречаем весьма различную терминологию при классификации видов повторения соответственно целям, времени и способам проведения.

При таком подходе к классификации один и тот же термин, например, «виды повторения», употребляется и для обозначения определенных периодов повторения, и в значении приема, и для выражения цели повторения.

Не беря на себя решение этого дискуссионного вопроса, отметим однако, что нам представляется наиболее правильным избрать минимум терминов с одним лишь условием — оговорить их понимание, которого надо придерживаться в дальнейшем изложении.

Внесение такой определенности в терминологию вопросов повторения необходимо еще потому, что без этого наша задача — систематизировать опыт работы по повторению математики — не представляется нам возможной.

Нужно считать наиболее установившимися следующие виды повторения:

1. Повторение в начале учебного года.

2. Текущее повторение всего ранее пройденного:

а) повторение пройденного в связи с изучением нового материала (сопутствующее повторение);

б) повторение пройденного вне связи с новым материалом.

3. Тематическое повторение (обобщающее и систематизирующее повторение законченных тем и разделов программы).

4. Заключительное повторение (организуемое при окончании большого раздела программы или в конце учебного года).

Цели и время повторения тесно связаны и взаимообусловлены и в свою очередь определяют методы и приемы повторения.

Поэтому задачи повторения и методика его проведения могут быть выражены в трех следующих вопросах, по существу, исчерпывающих смысл повторения — Что повторять? Как повторять? Когда повторять?

Первый из этих вопросов касается выбора материала для повторения, второй — имеет в виду систему и методы повторения, а третий вопрос тесно связан с организацией педагогического процесса.

Запоминание учащимися учебного материала за большие промежутки времени требует целесообразной его группиров-

ки. образования системы знаний; систематизацией материала облегчается запоминание и прочность усвоения.

Задача учителя при планировании повторения заключается, прежде всего, в отборе материала, в установлении последовательности и времени повторения, в распределении отобранного материала по урокам, в установлении форм и методов, в которых должно осуществляться это повторение.

Коме этого, при планировании повторения необходимо учитывать и свойства памяти.

Основные требования к организации повторения должны исходить из целей повторения и специфики математики как учебного предмета.

Одной из особенностей математического материала является его соотносительность и потому сравнимость многих ее разделов, форм и методов доказательств: арифметические дроби сравниваются с алгебраическими; теория делимости чисел сравнивается с теорией делимости многочленов; многие разделы планиметрии сравниваются с соответствующими разделами стереометрии. В ряде случаев устанавливается общность математических явлений, понятий и действий — полная аналогия между ними.

Эта соотносительность позволяет во многих случаях устанавливать тесную связь между ранее изученным материалом и новым и может быть положена в основу всех видов повторения.

Первое требование к организации повторения, исходящее из его целей, это определение времени Когда повторять? Самый общий ответ на поставленный вопрос таков: повторение следует проводить во все дни учебного года. Оно должно осуществляться по принципу: «Учить новое, повторяя, и повторять, изучая новое. (В. П. Вахтеров).

Это не означает, однако, что нельзя организовать уроки специально для повторения, скажем таких вопросов программы, которые трудно запоминаются, и которые вместе с тем не всегда удается увязать с текущим материалом.

Необходимость и продуктивность повторения материала небольшими дозами в течение учебного года подтверждается данными психологии, особенно психологии памяти школьника.

План повторения и выбор тем для повторения учитель должен составлять в каждом отдельном случае на основании общих теоретических соображений с учетом того," как усвоен учащимися материал соответствующих разделов.

Заблаговременная разбивка учебного материала по темам для тематического и заключительного повторения создает

целенаправленную работу учителя и класса, способствует самостоятельной подготовке учащихся и предупреждает перегрузку учащихся.

Второе требование к организации повторения, исходящее также из целей, должно отвечать на вопрос: Что повторять? Исходя из высказываний классиков педагогики, положительного опыта дореволюционной и советской школ, можно выдвинуть следующие положения, которыми нужно руководствоваться при отборе учебного материала по различным видам повторения:

1. Не следует повторять все, ранее пройденное. Нужно выбрать для повторения наиболее важные вопросы и понятия, вокруг которых группируется учебный материал.

2. Выделять для повторения такие темы и вопросы, которые по трудности своей недостаточно прочно усваиваются, например, преобразование иррациональных выражений, вопросы эквивалентности уравнений и неравенств, математическую индукцию; понятие о пределе и др.

3. Выделять для повторения надо то, что необходимо обобщить, углубить и систематизировать.

4. Не следует повторять все в одинаковой степени. Повторять основательно надо главное и трудное. При отборе материала для повторения необходимо учитывать степень его связи с вновь изучаемым материалом, какой материал укрепится и без повторения в силу частого его употребления.

Третье требование к организации повторения математики должно отвечать на вопрос: Как повторять?, т. е. осветить те методы и приемы, которыми должно осуществляться повторение. Методы и приемы повторения должны определяться в тесной связи с видами повторения. Поэтому этот вопрос должен рассматриваться конкретно, по видам повторения, что и сделано в диссертации. Здесь ограничимся несколькими замечаниями.

Необходимо разнообразие методов и приемов повторения; надо сделать повторение интересным, путем внесения некоторых элементов новизны как в порядке и комбинациях учебного материала, так и в методы изучения.

Особенно это надо при повторении математики: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев делать его немного занимательным» (Паскаль).

По поводу полезности многообразия методов и приемов весьма удачно выразился немецкий математик-педагог Керр: «Лучше одну теорему разобрать десятью способами, чем десять теорем одним способом». К сожалению, этому хорошему принципу следуют далеко еще не все преподаватели матема-

тики. Повторение должно проводиться при активном и самостоятельном труде учащихся как в классе, так и дома. Повторение теории должно сочетаться с упражнениями.

Повторение является одним из видов учебной работы учащегося. Оно также требует определенных условий для его успешного осуществления.

Этими условиями являются:

1. Соблюдение системы повторения в течние учебного года, т. е., чтобы повторение не было работой от случая к случаю, чтобы повторение входило органической частью в самую методику изучения математики.

2. Четкая целеустремленность в работе, сознательное отношение учащихся к повторению, осознание ими задач и результатов, которых они должны добиться при повторении.

3. Тщательный отбор и продуманное планирование материала повторения.

4. Стимулирование самостоятельности и активности в процессе повторения, что достигается разнообразием форм и методов повторения.

5. Правильная дозировка и распределение повторения во времени.

6. Сознательная установка «Учить, чтобы усвоить и запомнить».

Такая установка при повторении имеет огромное значение для запоминания учебного материала (подробно об этом изложен в § 3, гл. I настоящей работы).

Без целевой установки даже многократное повторение может не дать желаемого результата. Намерения при повторении весьма важный фактор.

7. Органическая связь и продуманное сочетание отдельных видов повторения. Основные виды повторения должны дополнять друг друга, представлять стройную систему педагогически целесообразного повторения.

8. Уроки повторения должны быть внимательно продуманы как с точки зрения содержания, так и организации их. Постановка самих вопросов по своей форме и характеру должна заставлять несколько по-иному осмысливать прежний материал.

III

В третьей главе рассматриваются некоторые методические приемы, используемые при повторении.

Многообразие методов особенно необходимо на уроках повторения, на которых, как правило, учащиеся оперируют известным материалом, а условие новизны достигается

именно посредством многообразия методов и новой группировки учебного материала.

Следуя Ленинской установке о том, что «Только богатство методов и форм в изучении основ науки дадут возможность понять законы явлений...»1 ЦК ВКП(б) в своих постановлениях прямо указывал, что необходимо применять «в советской школе различные новые методы обучения» и что «ни один метод не может быть признан основным и универсальным методом учебы...».

Вопрос многообразия методов и приемов при повторении находит естественно-научную основу в учении И. П. Павлова.

При повторении ранее пройденного учебного материала следует использовать различного рода учебные наглядные пособия, составлять вместе с учениками различные логические схемы, таблицы, систематизирующие материал темы или раздела, практические работы на местности и т. п.

Повторение должно проводиться устно, полуписьменно или письменно; широко должны быть использованы упражнения.

При повторении самым опасным является шаблон как в смысле способов проведения, так и в смысле содержания повторяемого материала.

Мало пользы от такой организации повторения, когда оно сводится к издавна осужденному способу задавания: «от сих и до сих» и бесконечному повторению при опросе.

Приемы и методы повторения, равно как и организационные формы, в которых осуществляется это повторение, весьма важны для достижения целей повторения.

В диссертации приводятся конкретные примеры разнообразия методов и приемов повторения, применяемые передовыми учителями и самим автором этих строк.

Кроме того, в диссертации даются по некоторым вопросам программы подсобные методические материалы, необходимые учителю для организации повторения в своих классах. Показывается, как пользуясь многообразием методов и приемов повторения значительно повышается сознательность понимания учебного материала и их прочность.

В частности, мы широко используем при повторении сравнения, сопоставления и аналогии. Этим путем добиваемся лучшего уяснения связи между различными разделами курса и рационального использования учебного времени, оставляя широкий простор для самостоятельной творческой работы учащихся.

1 В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 188.

В третьей главе, по существу делается попытка ответить на вопрос: Как повторять?

В этой связи возникает необходимость ответить на ряд других вопросов от правильного ответа на которых зависит успешность повторения. Таковыми являются, например:

I. Роль вопросов учителя в процессе повторения.

2; Система упражнений и методика их проведения при повторении.

3. Место и пределы использования математических софизмов (парадоксов), при повторении.

4. Повторение при решении задач.

5. Повторение посредством домашних заданий.

6. Место и значение контрольных работ в системе повторения.

7. Повторение в процессе опроса.

8. Сравнения, сопоставления и аналогии в процессе повторения.

Вот некоторые из тех путей, с помощью которых можно не только повторить, но и разнообразить это повторение.

Формы постановки вопросов при повторении

Ввиду важности этого вопроса мы посвятили ему в настоящей работе специальный параграф. Здесь ограничиваемся лишь некоторыми замечаниями.

Форма постановки вопроса учителем играет при повторении очень важную роль. Многочисленны примеры, когда учителя не достигают целей урока из-за неумения облечь учебный материал в систему вопросов, предлагаемых учащимся.

Умение задавать вопросы приобретает особые трудности в процессе повторения, когда несколькими немногими вопросами нужно привести в движение основное содержание той или иной темы, а то и раздела.

Вопросы, задаваемые при повторении, по своей форме и содержанию должны содействовать не только воспроизведению ранее пройденного, но и его углублению.

В прследнее время среди учителей замечается повышенный интерес к проблеме форм борьбы против формализма в знаниях учащихся. Одним из объектов этой борьбы остается качество и форма задавания вопросов.

Многие учителя трудятся сейчас над созданием конструктивных вопросов, цель которых определить степень сознательности, глубины и полноты понимания ученика.

Каждый из таких вопросов требует не только наличия формальных знаний, но и полного понимания поставленного воп-

роса, умения проанализировать, обобщить ряд однородных явлений.

В работе приводится множество таких вопросов по разным разделам программы.

Система упражнений и методика их проведения при повторении

Изучение теоретического материала должно находиться в тесной связи с упражнением, так как теория и практика в процессе познания находятся в неразрывной связи.

Недооценка роли упражнений (как и ее переоценка) в школьном обучении неизменно приводит к формализму в знаниях теории, следовательно, к снижению общеобразовательного уровня учащихся.

Практика передовых учителей и опыт автора показывает, что наиболее подходящим способом выполнения упражнений при повторении является устная и полуписьменная форма работы. Эта форма работы оправдывает себя не только рациональным использованием учебного времени, но и тем, что освобождает учащихся от тех выкладок и преобразований, которые мешают учащимся схватить преобразование в целом, предвидеть последующие преобразования и конечный результат.

Не останавливаясь подробно на тех преимуществах, которые имеют устные и полуписьменные упражнения, отметим, однако, что письменные упражнения должны в определенной мере перемежеваться или сочетаться с устными и полуписьменными упражнениями.

Основным вопросом теории упражнений является вопрос о принципах построения систем упражнений и методики их проведения. Этот вопрос недостаточно разработан в общей дидактике. В частности, не разработана система упражнений при повторении. В своей работе мы показываем лишь необходимость его изучения и делаем попытку установить некоторые исходные положения, которыми должно определяться изучение вопроса системы упражнений при повторении.

Необходимо, чтобы упражнения к урокам повторения были, прежде всего, не громоздкими, насыщенными как по содержанию, так и по методам выполнения; они должны исключать всякий шаблон и в известной мере быть оригинальными по замыслу, требующими несколько иного подхода к предмету. Кроме этого, упражнения при повторении должны сгруппироваться в основном вокруг ведущих понятий и идей школьной математики, чтобы эти упражнения, охватив основные во-

просы предмета, вместе с тем дали бы возможность углублять, обобщать и систематизировать знания учащихся.

В число этих упражнений можно включить и математические софизмы.

В противовес двум крайностям, существующим в современной методике относительно значения и места софизмов в школьном преподавании, мы находим, что математические софизмы должны быть использованы как средство развития мышления, его точности, для поднятия научной «бдительности».

Основная цель введения софизмов в практику преподавания заключается в приобщении к критическому мышлению, к умению не только воспроизводить готовые логические схемы, известные учащимся из учебников, но и критически осмысливать каждое звено рассуждений в соответствии с правилами логики.

Рассмотрение софизмов полезно еще в том отношении, что на них ученик не находит готовых ответов в учебнике. Здесь от него требуется понимание сущности пройденного теоретического материала, самостоятельное обращение с известным запасом математических сведений.

В диссертации достаточно подробно излагается методика использования софизмов при повторении.

Повторение при решении задач и выполнении различного рода упражнений

Каждая задача представляет собою исключительно важное по своему значению и разностороннему охвату средство повторения теории, закрепления основных положений этой теории и усовершенствования навыков. Особенно это заметно сказывается, когда основные этапы решения задачи и производимые в них преобразования обосновываются.

В задачах и упражнениях ученик встречает вопросы теории в новых связях, в новых сочетаниях, в несколько перестроенном виде, и ученику приходится пользоваться этой теорией применительно к условиям решаемой задачи. Усилия ученика в этом направлении способствуют устранению формализма в его знаниях.

Задачи, которые будут рассматриваться под личным наблюдением учителя в классе и какие будут заданы на дом, должны быть подобраны к урокам заблаговременно. Для этой цели весьма полезно заводить карточки, на лицевой стороне которой пишется текст задачи или пример, а на обороте даются некоторые указания относительно учебного материала. Желательно, чтобы учащиеся, решая задачу, указывали рядом,

на какие математические предложения опирается решение данной задачи, производили логический анализ решения.

Имея такую карточку упражнений, учитель предлагает их учащимся не наугад, а выбирает соответствующим образом. Этим способом легко проверяется, какой теоретический материал повторен при решении этих задач и какой остается для повторения. В диссертации приводятся образчики таких работ.

Аналогии в процессе повторения

Исключительно велика роль аналогии в педагогическом процессе. При умелом использовании аналогией удается преодолеть трудности усвоения материала, в частности, начал алгебры и стереометрии.

Аналогии особенно широко используются при повторении учебного материала. И это естественно, так как в таком случае применение аналогий помогает учащемуся восстановить в памяти без особых усилий материал одних разделов на основе запоминания соответствующего материала другого раздела.

Наконец, именно через аналогию устанавливается связь между старым и новым материалом.

Нередко метод аналогии, применяемый в школьном обучении, смешивают с методом сравнения. Между тем они не тождественны. Хотя метод сравнения во многом напоминает аналогию, тем не менее его нельзя называть аналогией. Метод сравнения представляет собою либо средство отыскания аналогии и в этом случае имеет служебное значение по отношению к последней, либо применяется как следствие найденной уже аналогии для более глубокого ее изучения.

В диссертации вопрос аналогии рассматривается в более широком плане и предлагается один из возможных вариантов организации повторения учебного материала с помощью аналогии.

В основу этого варианта повторения положена идея замены действий (объектов) низшего порядка на одну ступень высшим, т. е. для отыскания аналогий между понятиями или объектами исходи из следующих положений:

1) одно действие заменяется действием на одну ступень высшим: сложение — умножением, вычитание — делением, умножение — возведением в степень, деление — извлечением корня;

2) один объект заменяется объектом на одну ступень высшим: точку — прямой, прямую — плоскостью, плоскую фигу-

ру — телом, или в частности: окружность — сферой, многоугольник — многогранником и т. д.

Таким путем получается ряд аналогов к данному объекту. Например, одному планиметрическому предложению: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой», указанным выше способом составляется семь переходов, из коих шесть оказываются справедливыми, и лишь один не верным. Все эти шесть аналогий разумны и одинаково справедливы.

Как положительный эвристический фактор аналогия может оказать помощь при наведении учащихся на открытие нового для них предложения; она может помочь в выборе метода или приема доказательства или решния математической проблемы.

Что касается предложенного нами метода, то он поможет направить усилия учащихся в наиболее вероятном направлении для отыскания аналогов к данным объектам, если, конечно, таковые есть.

IV

В «Приложении» приводится один из возможных вариантов организации повторения математики в средней школе, с учетом тех общих и частных соображений, которые были нами высказаны в основной части диссертации.

В качестве примеров даны разработки текущих, тематических, заключительных повторений основных вопросов программы. Кроме того, в приложении по рассматриваемым темам даются подсобные методические материалы, необходимые учителю для организации повторения, как то: вопросы и упражнения по темам для углубленного повторения и образцы заданий, которые не приведены в основной части.

V

В результате настоящего исследования сделано следующее:

1. Освещена история разрешения проблемы повторения математики в русской дореволюционной средней школе, история формирования необходимых требований к повторению математики.

В отличие от других работ, в которых, обычно, либо отрицалась полностью, либо восхвалялась роль русских педагогов в разрешении проблемы повторения, мы стремились быть более точными в оценке их роли, указывая как положительные, так и отрицательные стороны их работы,

2. Дана характеристика состояния вопроса о повторении в советской дидактике и методике, в опыте учителей математики средней школы. В существующей литературе больше говорилось о значении повторения и меньше — о системах и методах организации повторения.

3. Исследование материалов по вопросу повторения и сделанные нами выводы проводятся на более широкой основе — философской, педагогической и психологической. Особенно подробно раскрываются, исходя из учения Павлова, физиолого-психологические основы повторения и, на этой основе, дается ряд рекомендаций для его организации.

4. Сделана попытка разработать необходимые требования к организации повторения математики и решить вопрос: о системе и методике организации повторения математики в средней школе. При решении перечисленных вопросов проведена идея о необходимости широкого использования в методике математики проверенных на опыте положений дидактики.

5. Предлагается один из возможных вариантов организации повторения, в котором учебный материал сгруппирован вокруг основных идей школьной математики. Кроме этого в диссертации даются, по рассматриваемым темам, подсобные дидактические материалы, необходимые учителям для организации повторения. Эти разработки, как и подсобные материалы к ним, не сковывая инициативу учителей, окажут им помощь, особенно начинающим.

Нашим самостоятельным вкладом в разработку этой системы является выдвижение и обоснование необходимости организации повторения учебного материала, сгруппированное вокруг основных идей школьного курса математики (учение о числах, учение об уравнениях и неравенствах, учение о функциях), а также система вопросов и упражнений, которая способствует осмысливанию пройденного материала, его дальнейшему углублению, систематизации теоретического материала и упрочению необходимых учебных навыков учащимся.

Целесообразность такой системы вопросов и упражнений при повторении обосновывается в §§ 9, 10 нашей работы.

В сложном процессе усвоения математических знаний повторение является одним из ответственных этапов обучения.

Усилия советской методики и психологии направлены на разработку таких приемов и методов преподавания, которые при сохранении достаточно широкого круга прочных и глубоких знаний могли бы противодействовать перегрузке памяти. В свете этих задач приобретает большое значение вопрос об организации в школах систематического повторения и о методике его осуществления.

Как нам кажется, выводы, сделанные нами в данном исследований, могут способствовать разрешению этой, весьма важной, проблемы — противодействовать перегрузке памяти учащихся и вооружить их глубокими и прочными знаниями основ наук.

Примечание. Основное содержание диссертации опубликовано в трех статьях, общим объемом в 10 П. л.:

а) «Некоторые вопросы повторения математики в средней школе» (Ученые записки Рыбинского пединститута, выпуск 2, 1958 г.);

б) «Из истории проблемы повторения учебного материала но математике в школах» и «Аналогии в процессе повторения» (Ученые записки Московского областного пединститута им. Н. К. Крупской. 1958 г., том 63).