АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

Б. Р. АНДРУСЕНКО

МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ НАБЛЮДЕНИЙ, ПРИВОДЯЩИХ К ПОСТРОЕНИЮ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ, В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научные руководители профессор М. П. ЧЕРНЯЕВ

кандидат педагогических наук, доцент А. Н. ПОЛЯКОВ

МОСКВА, 1966.

Характерной особенностью развития современной науки, техники и производства является все возрастающее проникновение математических методов в их различные области. Математические знания нужны теперь несравненно более широкому кругу людей, чем это имело место до недавнего времени. Такое положение в науке и производстве не может не влиять на содержание математического образования в политехнической средней школе.

В настоящее время ведется работа по совершенствованию содержания школьного образования, направленная на повышение идейно-теоретического уровня математической подготовки учащихся и повышение качества их знаний. Большое внимание при этом уделяется усвоению учащимися общих идей и методов математики, содействующих сближению школьного курса математики с математикой как наукой. Конкретные пути такого сближения могут быть различны. Наше исследование идет по тому из них, который связан с математической обработкой наблюдений, приводящих к построению эмпирических формул.

Важность такого направления исследования связана с тем, что методы математической обработки опытных данных в настоящее время находят широкое применение в таких областях знаний, для которых основой научного исследования служат наблюдения и эксперименты, приводящие к числам — результатам всякого рода измерений, — непосредственно отражающим количественную сторону рассматриваемого явления и, в известной мере, вскрывающим зависимость между переменными величинами.

В школе наблюдения и опыты, преследующие цель количественной оценки величины, проводятся, главным образом, на уроках физики и химии. Но учителя таких предметов не владеют численными методами обработки опытных данных и поэтому лишены возможности осуществить качественно новый подход к организации и проведению лабораторных работ по исследова-

тельскому методу, при котором учащиеся смогли бы «открывать» отдельные законы самостоятельно, в процессе математической обработки результатов собственных наблюдений и опытов.

Создавшееся ненормальное положение еще в большей мере осложняется тем, что этими методами не владеют и учителя математики, вследствие чего они не в состоянии обеспечить должный уровень подготовки учащихся в вопросах математической обработки результатов наблюдений, приводящих к построению эмпирических формул. Всему этому надо учить и самих учителей.

Запросы смежных дисциплин служат, безусловно, серьезным доводом в пользу включения в школьный курс математики сведений, относящихся к методам обработки результатов опыта. Вместе с тем внутренние потребности преподавания самой математики настоятельно требуют того же.

Так, например, до настоящего времени школьники не получают почти никаких сведений о том, как перейти от табличного или. графического задания функции к аналитическому ее заданию. Это существенный пробел в методике обучения. Он приводит к определенному разрыву связи между решением прямых и обратных задач в преподавании математики.

Обучая школьников методам обработки наблюдений, мы не только оказываем содействие ликвидации такого разрыва, но и помогаем решению ряда других проблем преподавания математики. Среди них особое место отводится идее функции и ее графического изображения, теории и практике табличных и инструментальных вычислений, применению правил действий над приближенными числами.

Первые высказывания о целесообразности изучения в школе методов построения эмпирических формул в России и на Западе появились в начале XX века (В. Р. Мрочек и Ф. Ф. Филиппович, Н. А. Томилин, Дж. Перри, S. Barnard М. А. и J. М. Child, В. А. и др.).

В 20-х годах построение эмпирических формул простейшего вида нашло свое отражение в книгах В. Добровольского, С. С. Державина, А. Г. Лойцянского, Э. Норриса и Р. Крэго и др.

В послевоенные годы появились отдельные работы, в которых затрагивались вопросы не только построения эмпирических формул, но и методики их изучения в средней школе.

Наиболее полно они нашли свое освещение в работах Е. В. Вандышевой, Б: Е. Маргулиса и Л. И. Резникова.

Е. В. Вандышева рассматривает эмпирические формулы, как одно из практических приложений элементарных трансцендентных функции; Б. Е. Маргулис — разрабатывая методику изучения в школе несовместных систем уравнений; Л. И. Резников — исследуя проблему применения графического метода на уроках физики.

Во второй главе диссертации дан анализ и многих других работ, в той или иной мере затрагивающих вопросы построения эмпирических формул в средней школе, на основе которого сделан следующий вывод:

Имеющий место в методической литературе различный подход к отбору содержания и объема материала, относящегося к изучению в школе методов решения задач на построение эмпирических формул, недостаточное внимание к методике организации и проведения приближенных вычислений, сопутствующих построению эмпирических формул, отсутствие конкретных и четких рекомендаций к методике решения задач на построение эмпирических формул на разных этапах их изучения в школе, а также тот факт, что ни в программах, ни в учебниках для школы соответствующий материал об эмпирических формулах не нашел никакого своего отражения, говорят о том, что для школьного курса математики вопрос о методах математической обработки результатов опыта является сравнительно новым и методически почти не разработанным. Приведенные выше соображения о роли обучения школьников таким методам указывают на настоятельную необходимость соответствующей разработки. Это и определило проблему настоящей диссертации, которая состоит в следующем:

Исследовать математическое содержание теории и практики обработки результатов наблюдений и экспериментальных данных и возможности изучения и применения соответствующих методов обработки в школе на уроках математики и смежных с нею дисциплин, преследуя цель обеспечить подготовку учащихся к практической деятельности и к продолжению образования в высшей школе.

В процессе исследования общей проблемы диссертации необходимо было решить ряд частных задач, главными из которых явились следующие:

1) изучить накопившийся опыт изложения методов решения задач на построение эмпирических формул в русской дореволюционной и советской средней школе;

2) определить содержание сведений по функциям и их графи-

кам, навыкам вычислений (письменных и устных, табличных и инструментальных) и правилам действий над приближенными числами, знание которых необходимо школьникам для овладения методами обработки опытных данных;

3) произвести отбор материала по методам обработки наблюдений;

4) разработать методику обучения учащихся решению задач на построение эмпирических формул;

5) выявить практические возможности применения методов обработки опытных данных для качественно нового подхода к организации и проведению некоторых лабораторных работ по исследовательскому методу в смежных с математикой дисциплинах и указать пути осуществления такой связи в преподавании математики и физики;

6) проверить экспериментально доступность для учащихся разработанной системы изучения методов математической обработки наблюдений, приводящих к построению эмпирических формул.

Для решения этих задач использовались следующие методы исследования: изучение и анализ отечественной и некоторой зарубежной научной и методической литературы по методам обработки наблюдений, приводящих к построению эмпирических формул, наблюдения над процессом преподавания тех разделов школьного курса математики, знание которых необходимо для овладения численными методами обработки опытных данных, и анализ педагогического эксперимента.

Диссертация состоит из введения, заключения, списка использованной литературы и следующих глав:

Глава I. Эмпирические формулы.

Глава II. Краткий обзор учебно-методической литературы по вопросу изучения эмпирических формул в школьном курсе математики.

Глава III. Методика решения задач на построение эмпирических формул в курсе математики средней школы.

Глава IV. Применение учащимися знаний по математической обработке наблюдений в их лабораторной практике на уроках физики.

Глава V. Экспериментальная проверка основных положений диссертации.

Математическое содержание методов обработки наблюдений

По эмпирическим формулам имеется ряд специальных книг как в отечественной литературе (К. А. Семендяев, М. Л. Цуккерман, Н. П. Беляев, П. Г. Берфин, А. К. Успенский и др.), так и в зарубежной (например, Theodore R. Running, Lee H. Johnson, Dale S. Davis). Кроме того, им уделяется внимание и в отдельных пособиях для вузов (А. Я. Хинчин, В. М. Брадис, Р. С. Гутер и Б. В. Овчинский, Б. П. Демидович, И. А. Марон и Э. 3. Шувалова, А. Уорсинг и Дж. Геффнер и др.).

В первой главе из известных в математике различных методов обработки результатов наблюдений, приводящих к построению эмпирических формул, отобран круг знаний, подлежащий изучению в политехнической средней школе на уроках, во внеклассной работе, на факультативных занятиях и в классах с математической специализацией. Отбор произведен, исходя из основного принципа: изучать в школе, главным образом, такие методы выбора вида эмпирических формул и те способы вычисления их параметров, которые органически связаны со школьным курсом математики, существенно важны для него и находят практические приложения в смежных дисциплинах.

На основе анализа принятой в математике постановки задачи на построение эмпирических формул выбрана ее формулировка для школьников:

Пусть в результате наблюдений какого-то явления получено n пар соответственных значений аргумента х и функции у и при этом ничего неизвестно о природе зависимости у от х.

Найти такую эмпирическую формулу y = f(x), которая для каждого данного х давала бы значение у, мало отличающееся от соответствующего ее значения, найденного из опыта.

Неопределенность задачи в такой постановке («мало отличающееся») исключается в математике применением соглашения о критерии качества эмпирических формул. Наибольшее распространение получил критерий, в основе которого лежит принцип Лежандра, а именно:

«Лучшей считается та эмпирическая формула, для которой сумма квадратов остающихся погрешностей (невязок) является наименьшей, то есть: Ue2 = I![f(x\)—y[] = min.t (i = l,n).»

Удобство и простота применения послужили основанием для его использования в школе.

Решение самой задачи на построение эмпирической формулы,

как это принято в математике и оправдано методически в школьном курсе, распадается на два этапа:

1) выбор вида эмпирической формулы и

2) определение численных значений ее параметров.

Из методов выбора вида эмпирических формул отобраны графические методы и некоторые аналитические. Из графических— метод сравнения расположения экспериментальных точек с известными школьникам графиками функций и метод «спрямления», заключающийся в таком выборе переменных Х = φ(х, у) и У = гр(х,у) для функции y = f(x), чтобы зависимость между X и У стала линейной: У = аХ + в.

Применение первого из них развивает графическую грамотность учащихся, второго, реализуемого построением графика функции y = f(x) в специальной координатной сетке, образуемой соответствующим выбором функциональных шкал на осях координат, — совершенствует ее.

При спрямлении графиков основное внимание уделено формулам с двумя и тремя параметрами. Такое ограничение, не мешая раскрытию перед учениками принципиальных основ рассматриваемого метода, вместе с тем обеспечивает понимание и доступность его, так как обучение идет в тесном соприкосновении с известными школьникам фактами функциональной зависимости величин.

Из формул, содержащих два параметра, выбраны:

(применяется квадратичная шкала);

(применяется обратная шкала);

(применяется полулогарифмическая сетка)

(применяется логарифмическая сетка).

Из формул, содержащих три параметра, —

(точки с координатами лежат на прямой) ;

Аналитические критерии пригодности выбранного вида эмпирической формулы с одним параметром:

Для формул с двумя параметрами они сложнее. В диссертации их содержание раскрывается с учетом того, что предлагает Н. П. Беляев в книге «Аналитический метод составления эмпирических формул»1 (например, для существования зависимости вида у = ах + в необходимо и достаточно, чтобы

и А. К. Успенский в книге «Выбор вида и нахождение параметров эмпирической формулы»2. (Например, для существования зависимости вида у = ах + в необходимо, чтобы среднему арифметическому чисел х1 и хк соответствовало среднее арифметическое чисел ус- и ук,г для у = авх — среднему арифметическому чисел av и ^ соответствовало среднее геометрическое чисел у1 и ук.

Рассмотрен также критерий представимости эмпирической формулы в виде многочлена. В основе его лежит понятие разностей n-го порядка значений функции, которые вычисляются с помощью специальной схемы (разностной, или диагональной).

Обогащая объем знаний учащихся о методах выбора вида эм-

1 Днепропетровск, изд. ДИСИ, 1939.

2 М., 1960 г.

лирических формул, эти критерии раскрывают перед ними одно из практических приложений элементов высшей математики. Параметры эмпирических формул вычисляются по:

1) способу наименьших квадратов,

2) методу уравновешивания погрешностей (способу средних) и

3) методу избранных точек.

Место применения каждого из них в школьном курсе математики раскрыто в третьей главе.

Методика математической обработки наблюдений

В третьей и четвертой главах диссертации разработана система приемов и методов математической обработки опытных данных, включающая в себя пропедевтику обучения решению задач на построение эмпирических формул и систематическое изложение содержания соответствующих сведений по обработке опытных данных на разных этапах обучения школьников математике.

1. Пропедевтика по построению эмпирических формул включает в себя изучение функциональных шкал, эмпирических диаграмм и эмпирических графиков.

В настоящее время в курсе математики средней школы функциональным шкалам почти не уделяется внимания. Вместе с тем они играют важную (самостоятельную и вспомогательную) роль в графическом изображении функциональной зависимости величин, в частности, представляют интерес в связи с раздающимися голосами в пользу изучения в школе элементов номографии.

Роль функциональных шкал особенно возрастает при построении эмпирических формул, когда вид последних устанавливается с помощью различных функциональных сеток.

В диссертации дается рекомендация ввести понятие о равномерной прямолинейной шкале параллельно с изучением числовой оси. На этой ступени обучения надо обратить внимание школьников на овладение такими понятиями, как «равномерная прямолинейная шкала», «масштаб шкалы», привлекая для их иллюстрации шкалы измерительных приборов и инструментов (медицинского термометра, весов и т. д.).

Изучение прямолинейной равномерной шкалы естественно связывается с ее примением к построению линейных и столбчатых диаграмм.

Содержание сведений о прямолинейной равномерной шкале

закрепляется и расширяется в теме: «Координаты и простейшие графики». Здесь учащиеся знакомятся с уравнением П = mx такой шкалы и решением задачи выбора масштаба га шкалы, когда даны ее длина L и значения крайних пометок ,v0 и xn.

Эта задача решается школьниками при построении графиков зависимостей с резко отличающимися границами изменения величин для рационального выбора масштабов шкал на осях координат.

Знакомство со шкалами других видов (степенными и логарифмической) рекомендуется проводить параллельно с изучением соответствующих функций. Рассматриваются два способа построения таких шкал: непосредственно на носителе, исходя из уравнения шкалы u=mf(x), и путем проектирования графика функции y = f(x) на ось ординат (свертывание графика в двойную шкалу).

В диссертация разработана методика изучения эмпирических диаграмм и эмпирических графиков. Это вызвано тем, что в практике работы школы для построения линейных диаграмм берутся в основном статистические данные и совершенно не используются данные наблюдений, опыта над явлениями природы. При этом, если масштабы и соблюдаются, то только при отсчете по вертикали, что затрудняет чтение диаграмм (если такие попытки предпринимаются). Это упущения в работе учителя. Устранение их позволяет естественным путем переходить от эмпирических диаграмм к эмпирическим графикам и готовит школьников к изучению эмпирических формул.

2. Систематическое изложение методов решения задач на построение эмпирических формул раскрывается в трех направлениях: изучении на уроках математики, применении полученных знаний в лабораторной практике на уроках физики и расширении сведений о методах обработки результатов наблюдений во внеклассной работе и на факультативных занятиях со школьниками.

а) На уроках математики такую работу рекомендуется проводить одновременно с изучением графиков функций соответствующего вида.

При первоначальном ознакомлении с методами обработки опытных данных следует обучить школьников графическому методу выбора вида эмпирических формул (методу сравнения расположения экспериментальных точек с графиками известных им функций) и методу избранных точек определения численных значений их параметров.

Последовательность выполнения такой работы можно просле-

дить на примере подхода к математической обработке наблюдений, приводящих к эмпирической формуле у = кх.

Сначала ставится задача отыскания уравнения прямой, проходящей через начало координат. Решая ее. школьники уже знают, что такая прямая выражается уравнением у = кх. Остается найти отвечающее ему значение к. Выбрав с этой целью на прямой произвольную точку M(x0, у0), найдем: k=y0/x0.

При построении на миллиметровой бумаге снятие со шкал координатных осей численных значений координат выбранной точки сопровождается абсолютной погрешностью не превосходящей 0,5 мм. Это указывает на ту точность, с которой следует вычислять к, применяя правила подсчета цифр, обоснованные проф. Брадисом В. М. Для получения более точного значения к рекомендуется выбрать точку с целой абсциссой и подальше от начала координат.

После этого решается задача на построение эмпирической формулы.

Имея готовую таблицу результатов наблюдений, учащиеся строят экспериментальные точки в прямоугольной системе координат с равномерными шкалами на осях. Наблюдая разброс точек, с помощью метода нити убеждаются, что все точки группируются вблизи некоторой прямой. Так как такую сглаживающую прямую можно провести не одну, возникает вопрос, какая из них результаты наблюдений отразит лучшим образом? Ответ на него дает применение упомянутого выше критерия качества эмпирической формулы.

Дальнейшая отработка применения метода избранных точек к вычислению параметров эмпирических формул осуществляется в связи с решением задач, приводящих к эмпирическим формулам вида у = кх + в (сначала свободный член в находится по отрезку, отсекаемому сглаживающей прямой на оси ординат, а коэффициент к — последующим выбором на ней произвольной точки, а затем, после изучения приемов решения систем линейных уравнений, оба параметра вычисляются с помощью выбора на прямой двух произвольных точек) и у=-.

Применение графического метода к определению вида эмпирических формул (осуществляемого путем непосредственного сравнения расположения экспериментальных точек с графиками известных школьникам функций) является эффективным, когда

точки располагаются вблизи некоторой прямой. Если же они группируются вблизи некоторой кривой, то задача отыскания вида формулы может оказаться весьма неопределенной. Поэтому следующий этап обучения методам выбора эмпирических формул включил в себя раскрытие перед школьниками идеи преобразования криволинейной формы графика в прямолинейную.

Первым рассматривается прием спрямления гиперболы. Сам факт ее спрямления легко может быть установлен построением графика функции у= — в прямоугольной системе координат, на ось абсцисс которой нанесена обратная шкала, а на ось ординат — равномерная. Но такой подход, как показало наблюдение, воспринимается учащимися формально. Поэтому, представив сначала функцию y=k/x в виде у = кХ, где Х=1/x , школьники строят в прямоугольной системе координат (с равномерными шкалами на обеих осях) точки с координатами (X, у). Поскольку графиком функции у = кХ служит прямая, проходящая через начало координат, прямолинейность расположения таких точек становится понятной учащимся. После этого, обратив внимание школьников на неудобство вычислений каждый раз чисел X, обратных X, наносим обратную шкалу на ось абсцисс, которая такие вычисления производит автоматически.

Эта подготовительная работа делает понятным учащимся метод выбора эмпирической формулы вида У=~ , в основе которого лежит прием спрямления гиперболы.

Построив экспериментальные точки в прямоугольной системе координат (с равномерными шкалами на осях) и заметив, что они группируются вблизи кривой, напоминающей гиперболу, школьники проверяют свою догадку построением точек с теми же координатами в прямоугольной системе координат, на ось абсцисс которой нанесена уже обратная шкала. Если в такой сетке спрямление точек происходит, догадка о виде формулы считается верной.

При вычислении параметров методом избранных точек используется спрямленный график.

Применение способа спрямления находит свое дальнейшее развитие в процессе обработки наблюдений, приводящих к эмпирическим формулам вида: у = ах2 + в (используется квадратичная шкала), у = ахв (используется логарифмическая сетка) и у = авх (используется полулогарифмическая сетка).

Наряду с графическими методами выбора вида эмпирических формул в диссертации рекомендуется изложить школьникам и ряд аналитических критериев пригодности их вида (для формул с одним параметром и формулы у = кх + в).

Поскольку в данном случае вид формулы устанавливается без построения графика функции, возникает вопрос: «Как найти ее параметры?» Применение здесь способа средних является для учащихся важной вехой на пути овладения ими различными способами вычисления параметров эмпирических формул.

При последующей обработке наблюдений, приводящих к эмпирическим формулам другого вида, наряду со способом избранных точек систематически используется (как более совершенный) и способ средних, что содействует более глубокому его усвоению школьниками.

Обеспечение успеха такой методики обработки наблюдении связывается в диссертации с рядом рекомендаций по обновлению содержания программы по математике и объяснительной записки к ней, а также включению в стабильный учебник необходимых сведений о методах решения задач на построение эмпирических формул и, в соответствии с этим, частичному пересмотру содержания задачника.

б) В общей системе обучения школьников методам математической обработки результатов наблюдений важное место (четвертая глава) отводится исследованию возможных путей применения школьниками полученных знаний в их лабораторной практике на уроках физики.

В диссертации высказывается в связи с этим предложение о целесообразности проведения фронтальных лабораторных работ. Поскольку условия не всегда позволяют это сделать (главным образом из-за недостатка соответствующего оборудования), они могут быть заменены демонстрационным экспериментом.

Методика организации и проведения эксперимента, при котором школьники ставятся в положение исследователей, «открывающих новый закон», раскрывается на примерах изучения ими первого закона Фарадея, закона Ома для участка цепи и выводе формулы пути равноускоренного движения без начальной скорости.

Большая роль отводится подготовке к проведению демонстраций. Так, например, при исследовании явления электролиза, двое учеников, выступавших под руководством учителя в роли ассистентов, предварительно были проинструктированы о последовательности выполнения всей работы. Совместно с лаборантом

они до начала урока подготовили на демонстрационном столе необходимое оборудование, причем так, что доска была хорошо видна всем учащимся. Проводя необходимые измерения и взвешивания при активном наблюдении класса, вписывали их результаты в специальную таблицу, заранее подготовленную на доске. Математическая обработка результатов опыта проводилась как ассистентами на доске, так и всеми учащимися класса в своих тетрадях. Перед школьниками стояла задача самостоятельного выбора вида шкалы и ее масштаба, определения вида зависимости и вычисления параметров с последующей оценкой качества полученной формулы. При этом осуществлялась широкая и действенная связь с математикой в направлении изучения понятия функции и ее графического изображения, а также применения инструментальных вычислений (логарифмической линейки и счетов) и правил действий над приближенными числами.

Формулировка «открытого» закона и выяснение его физического смысла явились заключительным этапом проделанной работы. Этот общий вывод был сделан под руководством учителя.

В диссертации указывается примерная тематика лабораторных работ, проводимых по исследовательскому методу, даются рекомендации к «разделению труда» между учителями физики и математики (на лабораторных занятиях по физике школьники добывают необходимый числовой материал, а на уроках математики подвергают его соответствующей обработке) и подчеркивается, что при всех достоинствах лабораторных работ, проводимых по исследовательскому методу, нельзя переоценивать возможности учащихся выступать в роли «переоткрывателей» законов природы. Каждый раз надо исходить из уровня соответствующей подготовки учащихся как по физике, так и по математике, учитывать роль и место исследуемого закона в курсе физики, его связь с другими ее разделами, возможности физического кабинета и, главное, насколько эффективнее окажется такая методика по сравнению с другими возможными методами изложения данного закона.

в) Осуществляемая в настоящее время перестройка преподавания математики, направленная на дальнейшее усовершенствование содержания образования, наличие в ряде школ классов с математической специализацией, усилившееся в последние годы внимание к внеклассной работе со школьниками и намечающиеся перспективы факультативных занятий с ними создают благоприятные предпосылки для более углубленного изучения методов обработки опытных данных.

В диссертации рассмотрены возможные в этих направлениях пути расширения объема соответствующих знаний учащихся. При этом рекомендуется. В восьмилетней школе:

1) функциональные и сопряженные шкалы строить для функций, заданных уже в общем виде (например, не и = х, а и = кх + в) у применяя при этом как преобразования шкалы функции, заданной в простейшем виде, так и соответствующие преобразования ее графика с последующим свертыванием его.

2) Рассмотреть графические методы выбора вида формул:

(метод сравнения расположения экспериментальных точек с графиками известных функций и метод спрямления).

3) Дать понятие конечных разностей первого и второго порядка значений функции и на этой основе ознакомить школьников с аналитическим критерием пригодности выбора эмпирической формулы в виде квадратного трехчлена у = ах2 + вх + с.

В средней школе:

1) Изучить аналитические критерии пригодности выбора формул:

2) Рассмотреть графический способ (метод спрямления) выбора эмпирических формул вида: у = ах2 + вх + с (и сводимых к нему), у = ахв + с, у = авх + с.

3) Раскрыть содержание аналитического критерия пригодности выбора эмпирической формулы в виде многочлена у = anxn + ... + a1x + a0, n = 1, 2, 3, в основе которого лежит понятие разностей n-го порядка значений функции.

4) Ознакомить со способом наименьших квадратов определения численных значений параметров эмпирических формул и показать его применение к решению задач на построение эмпирических формул.

Методика обработки наблюдений на таких занятиях, имея много общего с методикой работы в классной обстановке, строится с учетом более высокого уровня математического развития учащихся.

Экспериментальная проверка основных положений диссертации

Педагогический эксперимент по диссертационной проблеме проводился в средней школе № 34 г. Ростова-на-Дону в течение двух лет, с 1962 по 1964 год.

В этот период наряду с занятиями в классной обстановке использовались различные формы работы с группами учащихся экспериментальных классов во внеурочное время. Методика математической обработки результатов наблюдений отрабатывалась также на занятиях со школьниками, регулярно посещавшими математический лекторий при Ростовском-на-Дону государственном педагогическом институте, а в 1964—65 учебном году— со слушателями аналогичного лектория при Армавирском государственном педагогическом институте.

Педагогический эксперимент позволил определить основное содержание материала по методам математической обработки наблюдений, подлежащего изучению в классе на уроках математики, и круг сведений об эмпирических формулах, который можно рекомендовать для факультативных занятий и внеклассной работы со школьниками, а также показал доступность его соответствующим группам учащихся. Вывод о доступности такого материала сделан на основе анализа контрольных и самостоятельных работ, классных и домашних лабораторных работ школьников, а также наблюдений за его усвоением на занятиях в классе и во внеурочное время.

В процессе педагогического эксперимента совершенствовалась методика обработки наблюдений. Так, например, если при построении эмпирических формул простейшего вида (с применением метода избранных точек вычисления их параметров) от каждого ученика требовалось полное выполнение всех этапов решения такой задачи, то при переходе к эмпирическим формулам более сложного вида и особенно в связи с применением способа средних к вычислению их параметров такая методика работы, как в классе так и с группами школьников во внеурочное время, оказалась неприменимой. Возросший объем вычислительной работы поставил задачу отыскания наиболее рациональных путей ее выполнения. Выход был найден на пути организации коллективного труда и механизации процесса вычислений. Добившись отчетливого понимания каждым учеником всех этапов решения задачи на построение эмпирической формулы и соответствующих им вычислений, выполнение самих вычислений (с широким применением логарифмической линейки и счетов) распре-

делялось между отдельными группами учащихся. Такое разделение труда, помимо чисто практической цели — экономии времени, — имеет и воспитательное значение, так как развивает у школьников чувство ответственности перед коллективом за качество своей работы.

Эксперимент позволил также внести коррективы в некоторые первоначально намеченные рекомендации по содержанию и месту изучения методов обработки наблюдений. Изложение, например, метода спрямления гиперболы при первом же знакомстве учащихся с обратной пропорциональной зависимостью в курсе алгебры показало, что школьники со средним уровнем математического развития усвоили эту идею формально. В связи с этим, опираясь на результаты последующей работы, была выработана рекомендация знакомить учащихся с приемом спрямления гиперболы на начальной стадии систематического изучения функций и графиков.

Обучение школьников методам решения задач на построение эмпирических формул позволило повысить не только уровень их математической подготовки, но и качество знаний традиционного материала.

Рассмотрим для примера влияние проделанной работы на повышение вычислительной культуры учащихся.

Изолированность в арифметике темы «Приближенные вычисления» от всего курса математики приводит к тому, что приобретенные школьниками соответствующие умения и навыки почти не находят своего применения при последующем изучении как математики, так и смежных с нею дисциплин. Аналогичное положение наблюдается и с применением счетов и логарифмической линейки для механизации вычислений. При построении же эмпирических формул учащиеся всегда оперируют с приближенными числами (наблюдения неизбежно сопровождаются ошибками измерений). Решая такие задачи в течение длительного периода обучения, они систематически закрепляют умения и навыки действий над приближенными числами, совершенствуя приемы работы со счетами, логарифмической линейкой, таблицами. Применяя специальные вычислительные схемы, знакомятся с рациональной организацией труда и способами контроля вычислении. Все это положительно сказывается на повышении вычислительной культуры школьников.

Сопоставление ответов учащихся экспериментальных и контрольных классов на уроках физики говорит в пользу разумного применения методов математической обработки результатов

опыта на лабораторных занятиях по физике. Рекомендованная автором методика «открытия» отдельных законов природы пробуждала интерес и активность познавательной деятельности школьников. Их знания отличались большей глубиной и содержательностью. Учащиеся экспериментальных классов, например, отчетливо представляли себе физический смысл исследуемого явления, могли свободно интерполировать (по графику), лучше владели техникой вычислений, чем школьники контрольных классов.

В период работы над диссертацией автор регулярно информировал педагогическую общественность о результатах своих исследований.

Им был сделан ряд сообщений на зональных конференциях математических кафедр педагогических институтов Юга РСФСР в Ставрополе, Грозном, Краснодаре, на совещаниях учителей математики в городах Гулькевичи и Армавире Краснодарского края, в Ростове-на-Дону. Кроме того, им был прочитан цикл лекций по методам решения задач на построение эмпирических формул слушателям Ростовского-на-Дону института усовершенствования учителей и Армавирского университета повышения квалификации учителей.

О ходе работы над диссертацией и ее результатах автор несколько раз докладывал также методическому семинару работников кафедр математики Ростовского-на-Дону пединститута, поддерживал тесный контакт с сектором математики НИИ общего и политехнического образования АПН РСФСР.

Эти выступления встречали одобрение и поддержку со стороны слушателей.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Анализ результатов проведенного исследования приводит к выводам:

1. Изучение методов математической обработки наблюдений, приводящих к построению эмпирических формул, возможно в органическом единстве с общим курсом математики средней школы.

2. Разработанная в диссертации система изучения методов обработки экспериментальных данных:

а) доступна школьникам;

б) вырабатывает у них глубокие и прочные знания по курсу в целом;

в) позволяет на конкретном практическом материале успешно формировать функциональные и графические представления;

г) создает условия для изучения и последующего закрепления важных для политехнической школы способов инструментальных вычислений (на счетах и логарифмической линейке), приемов работы с таблицами, правил действий над приближенными числами;

д) содействует связи преподавания математики со смежными дисциплинами, обеспечивая высокий идейно-теоретический уровень постановки лабораторных работ по исследовательскому методу;

е) пробуждает интерес школьников к изучению математики, развивает их инициативу, обеспечивает активность мыслительной деятельности и усиление элементов самостоятельного творчества.

3. Овладевая методами решения задач на построение эмпирических формул, учащиеся сталкиваются со многими конкретными примерами функциональной зависимости между величинами окружающего нас реального мира, что несомненно способствует формированию у них диалектико-материалистического мировоззрения.

4. Приобретенные школьниками умения и навыки математической обработки наблюдений в определенной мере готовят их к практической деятельности в народном хозяйстве и способствуют успешному обучению в высшей школе.

5. Сведения о методах обработки опытных данных и разработанная система их изучения с успехом могут быть использованы на факультативных занятиях по математике, во внеклассной работе с учащимися и в классах с физико-математической специализацией.

6. Обучение школьников численным методам математической обработки наблюдений является необходимым звеном в вопросе устранения разрыва между средней школой и высшей.

Основные положения диссертации нашли свое отражение в следующих работах автора:

1. «Об изучении функциональных шкал в курсе математики средней школы». Труды IV конференции математических кафедр педагогических институтов Юга РСФСР, Ставрололь-на-Кавказе, 1963.

2. «Некоторые методы построения эмпирических формул». Тексты докладов научно-практической конференции аспирантов. Ростов-на-Дону, 1964.

3. «От эксперимента к эмпирическим формулам», «Физика в школе», № 4, 1965.

4. «Изучение эмпирических формул в курсе математики средней школы». Сборник «Повышение вычислительной культуры учащихся средней школы», под ред. П. В. Стратилатова, М., 1965, изд. «Просвещение».

МО 07725

г. Майкоп, типография упр. по печати Краснодарского крайисполкома, 3.3484—200, 26.7.66 г.