МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Р. А. АЛЕКСАНДРОВА

ИСТОРИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ СОВРЕМЕННОГО СРЕДНЕГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВО ФРАНЦИИ, АНГЛИИ И США

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (методика математики)

Научный руководитель — заслуженный деятель науки РСФСР, член-корреспондент АПН РСФСР, профессор И. К. АНДРОНОВ

Москва — 1966 год

Официальные оппоненты

1. Профессор И. Е. ШИМАНСКИЙ

2. Доцент В. Л. МИНКОВСКИЙ.

Защита диссертации состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской

(Москва, ул. Радио, 10а)

« », 1966 года

Автореферат разослан « » 1966 г.

Секретарь ученого совета (Холодова И. Л.)

Успешное общественное и экономическое развитие нашей страны предъявляет повышенные требования к математическому образованию молодежи. Резолюция исторического XXIII съезда КПСС указывает: «В этой пятилетке предстоит в основном завершить переход на всеобщее среднее образование молодежи. Качество и содержание общего, трудового и политехнического обучения должно соответствовать современным требованиям» («Резолюция XXIII съезда Коммунистической партии Советского Союза по отчетному докладу ЦК КПСС» Москва, 1966, стр. 19).

Кроме того, научные достижения в математике последних десятилетий привели к появлению большого разрыва между математикой-наукой и учебным предметом математикой.

Все это приводит к выводу о необходимости некоторого усовершенствования нашей системы математического образования, обогащения содержания курсов математики, изменения методов обучения.

Для того, чтобы усовершенствование нашей системы математического образования было более обоснованным, и тем самым более убедительным, необходимо рассмотреть работу передовых педагогов математики в крупнейших зарубежных странах — Франции, Англии, США так как реконструкция приняла международный характер.

В связи с этим возникла проблема серьезного изучения математического образования в зарубежных странах, в частности, во Франции, Англии, США с целью критического анализа и целесообразного отбора наиболее интересного материала в содержании, системе и методах обучения математике передовых капиталистических школ.

В результате нами написано исследование «Историческое развитие современного среднего математического образования во Франции, Англии и США».

Изучая иностранную литературу крупнейших библиотек СССР, а также получая ряд сведений и часть литературы из переписки с зарубежными коллегами, посредством анализа свыше 26 программ и 33 учебных пособий, удалось установить современное становление в развитии математического образования указанных стран и провести отбор некоторого интересного материала.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений и списка литературы. Во введении обосновывается выбор темы.

1. Первая глава «Развитие математического образования в средней школе Франции с конца XIX века до настоящего времени» освещает усовершенствование в традиционной системе сначала посредством проведения некоторых реформ, а позднее — путем более серьезной реконструкции среднего математического образования.

В исследовании отмечается, что Франция издавна занимает ведущее место в передовой постановке математического образования: еще в 1794 году в Париже открывается педагогический институт (Ecole Normale Superier), готовящий высококвалифицированных преподавателей математики лицеев, а в 1899 г. там же начинает издаваться международный печатный орган «Математическое образование» («L'enseignement mathematique»), возглавляемый Лезаном и Фером. Не случайно поэтому первая реформа математического образования под флагом уничтожения значительного разрыва между учебным предметом и наукой-математикой была проведена уже в 1902 году и именно во Франции. В новой системе среднего образования с младших классов проведена полифуркация относительно усиления или ослабления математических курсов. В связи с новой программой в диссертации проводится сравнительный анализ программ французской средней школы 1890 и 1902 гг., и выявляются две основные тенденции первого периода реформистского движения: 1) введение элементов «высшей математики» (начал математического анализа и аналитической геометрии) в младшие классы средней школы и 2) введение идей геометрических преобразований в курс геометрии.

Далее наше исследование показывает, что выпуск новых программ сопровождается созданием соответствующих учебных пособий, в разработке которых принимали участие

такие ученые, как Дарбу, Адамар, Борель, Таннери и др. (ряд учебных пособий переведен на русский язык, в частности, «Геометрия» Ж. Адамара, «Элементарная математика» Э. Бореля и др.). Проведенный в диссертации анализ наиболее распространенных пособий того времени, в частности, учебников серии К. Бурле, выпущенной для двух потоков — гуманитарного и естественно-научного,* показывает, что 1) в курсе алгебры проводилось развернутое учение о функции, перерастающее в старших классах в курс математического анализа, 2) в курсе геометрии плодотворно работали введенные туда идеи движения.

Затем в диссертации отмечается, что первая мировая война, внесшая значительные изменения в экономику Франции, повлекла за собой и пересмотр системы среднего образования, учебных планов и пособий. Проведенный в исследовании анализ программы 1923 г. и учебных пособий А. Греви и Р. Эстева и Х. Митола** показывает некоторые отступления от реформы 1902 г.; в частности, из курса геометрии младших классов исключено развернутое учение о движении.

После анализа официальных программ 1956 г., показывающих некоторое обновление курса, в § 6 освещается вступление Франции во второй период реформистского движения, в период реорганизации математического образования середины XX века. В исследовании отмечается, что возникновение многотомного труда «Элементы математики», написанного талантливым коллективом ученых-математиков под псевдонимом Н. Бурбаки, создало единый предмет математики в его новом методологическом и методическом освещении. Новейшие достижения начала XX века в математике-науке, открытия в современной психологии — все это остро поставило вопрос о пересмотре программ по математике и создании новых учебных пособий, связанных с простейшими идеями и понятиями современной математики: множествами, математической логикой, структурами и др. Изученные документы показали, что в движении за реконструкцию курса математики средней школы принимают уча-

* С. BOURLET «Cours abrégé de géométrie», Paris, 1908; «Éléments de géométrie, Géométrie plane. Géométrie dans l'espase», Paris, 1908, «Leçons d'algèbre élémentaire», Paris, 1911; «Precis d'algèbre, classes de troisième B, seconde et premiere С et D, Paris, 1913.

** A. GREVY «Algèbre», Paris, 1931; «Géométrie plane», Paris, 1936, R. ESTEVE et H. MITAULT «Algèbre (complements) et trigonometrie», 1, 2, 3, Paris, 1928.

стие такие ученые, как Шоке, Дьедонне, Пиаже, Лихнерович, выступавшие с конструктивными предложениями на многих совещаниях, в частности, на семинаре стран — участниц Организации Европейского Экономическго сообщества в Раймонте (Франция) в 1959 г. Проведенным в диссертации анализом ряда экспериментальных программ (авторов Дьедонне, Шоке, профессора Парижского университета Л. Феликс, членов группы Национального движения за развитие науки и др.) выявляются основные тенденции современной реорганизации среднего математического образования во Франции: 1) приближение курса математики средней школы к современной науке-математике с ее приложениями путем введения некоторых элементов современной математики и элементов современного математического языка; 2) создание «единого» курса математики на основе некоторых объединяющих идей современной математики; 3) как результат указанных тенденций — сдвиг изучаемого материала вниз по годам обучения. Основные указанные тенденции иллюстрирует, например, экспериментальная программа по геометрии для I цикла, разработанная профессором Л. Феликс. В объяснении к своей программе автор отмечает, что «геометрические закономерности познаются во многообразии их свойств, подобно естественным наукам»*.

Проведенный в нашем исследовании анализ этой программы показывает, что отличный от традиционного характер программы обусловлен заменой систематического изучения заранее сформулированных свойств рассмотрением множеств фигур и их свойств с классификацией, проведенной на основе введения некоторых элементов современной математики: множеств, математической логики.

В исследовании показывается, что развернувшееся движение, кроме экспериментальных программ, уже частично охватило и содержание официальной программы, так, в 1962 г. в выпускной класс отделения математики были включены некоторые элементы современной математики: множества, понятие структуры и др.

Кроме ряда программ, в диссертации дан анализ серии учебников К. Бриар «Математика», которые, в связи с работами группы Н. Бурбаки и в соответствии с развивающейся тенденцией приближения школьной математики к науке-математике, излагают материал на основе некоторых идей

* L. FELIX «Géométrie pour le premier cycle». «Bull, de l'Association des professeurs de mathematiques», 1956, № 180, c. 126.

современной математики. Это иллюстрирует, например, нижеприведенный отрывок из оглавления«Математики»** для 8-го года обучения: 1) понятие множества; 2) понятие импликации; 3) геометрические места точек, их построения; 4) понятие отображения; 5) многочлены; 6) трехчлен второй степени; 7) отношение и пропорции; 8) дробные рациональные функции; 9) квадратный корень;. 10) иррациональные функции; 11) векторы; 12) деление вектора в данном отношении.

Далее наше исследование показывает, как вводятся и как работают некоторые идеи современной математики в указанных учебных пособиях. Например, излагая курс математики в целом, без разделения на предметы, «Математика» для 6-го года (С. BREARD «Matehematiques, cl. de cinquieme, Paris, 1960), вводит понятие множества, их объединения (R = AOB) и пересечения (1 = А^В), понятие пустого множества взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств. Понятие множества используется при введении понятия натурального числа, как характеристики, позволяющей различать множества с различным числом элементов одной природы. Пересчетом любого конечного множества является установление взаимно-однозначного соответствия между элементами данного множества и натуральными числами. Кроме этого, понятие множества используется при рассмотрении основных свойств операций с натуральными числами (коммутативность, ассоциативность). В диссертации выясняется, что подобным изучением свойств операций с натуральными числами К. Бриар фактически проводит идею изучения структуры числовых систем, а именно, структуру множества натуральных чисел. Наконец, теоретико-множественный аспект наблюдается при изложении вопросов геометрии, где под линией понимают множество точек; под медиатрисой отрезка — множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

Дальнейший анализ учебных пособий показывает, что «Математика»* для 8-го года обучения, развивая учение об обосновании математики, вводит запись теорем в виде импликаций (р → q; q →- р), подводя учащихся к понятию необходимых и достаточных условий. Так, р → q означает, что достаточным условием выполнения свойства «q» является условие «р». Если рассматриваются одновременно две теоремы: р —+ q и q → р, то условия являются необходимыми и достаточными.

** С. BREARD «Mathematiques», classe de troisième, Paris, 1960.

* C. BREARD «Mathematiques», classe de troisieme, Paris, I,60.

Затем в исследовании выясняется, что изложение курса также пронизывает и обобщающая идея структуры математики. Так, в «Математике» для 6-го года обучения (см. выше) систематизируются основные свойства операций с положительными рациональными числами:

Сложение Умножение

Кроме введения в операторные структуры — группу, кольцо, поле, в частности, «Математика»** для 7-го года обучения вводит учащихся в структуру порядка. Например, показывается, что отношение параллельности прямой и отношение равенства векторов обладают отношением эквивалентности: 1) DIID; AB — AB; (рефлексивность); 2) DUD'—* D'IID; AB = CD — CD = AB (симметричность); 3) DüD'; D'HD" → DIID"; AB = CD; CD = EF → AB = EF; (транзитивность) .

Анализ программ и учебных пособий одновременно проводит критический отбор наиболее удачных идей, иллюстраций, которые могут быть использованы при создании современных пособий для советской средней школы.

В итоге, работы ученых группы Н. Бурбаки, отдельные эксперименты, высокая квалификация учителя математики средней школы Франции приводят к решению министерства Образования Франции о необходимости создания современных программ по математике.

II. Глава II называется «Развитие математического образования в средней школе Англии с конца XIX века до настоящего времени».

** С. BREARD «Mathematiques», classe de quatrieme, Paris, 1960.

Изучение документов о состоянии английского среднего образования показывает, что степень однородности изучаемых курсов математики в Англии издавна (и по сей день) устанавливалась не государственными программами, а специальными экзаменационными комиссиями средней школы при университетах. При анализе документов этих комиссий выясняется, что довольно долго в преподавании, в частности, геометрии, Англия придерживалась античной классики Евклида. И лишь к началу XX века многие представители педагогической общественности Англии приходят к выводу о необходимости изучения математики не в таком отрыве от жизни и практики.

В диссертации выясняется, что в реформистском движении первого периода, возглавленном инженером, профессором Д. Перри, развивается тенденция прикладной, жизненной математики, без обязательного ее логического обоснования. Проведенный в диссертации анализ программы и учебных пособий, разработанных Д. Перри (например, «Практической математики»), показывает приближение курса математики к практической деятельности путем использования уже на младших ступенях графических и инструментальных вычислений и раннего введения простейших понятий, связанных с применением математики к технической механике и прикладной физике без основательной логической теории. Выясняется, что хотя идеи Д. Перри, связанные в основном с подготовкой квалифицированных рабочих, не были целиком приняты на вооружение общеобразовательной школой, они сыграли определенную положительную роль.

Далее наше исследование показывает, что последующая эволюция английских программ по математике, частично использующая идеи Д. Перри (например, программа Джеффери 1943 года с ее попыткой ликвидации традиционного разделения курса на арифметику, алгебру, геометрию) приводит, как и в других странах, в 50—60-х годах к семинарам и дискуссиям, которые освещаются в журнале «Математическая газета». Эти факты знаменуют вступление Англии во II период реформистского движения. Так, на Саутгемптонской конференции учителей математики, ученых-математиков и представителей промышленности в 1961 году был поднят вопрос о реконструкции курса математики средней школы, приближении его к науке-математике путем введения ряда идей современной математики — элементов теории множеств, структур, понятия функции.

В связи с этим в диссертации проанализирован ряд экспериментальных программ, предложенных на упомянутой конференции, а также некоторые опубликованные в указанном журнале статьи, в которых выражаются основные идеи реорганизации математического образования в Англии середины XX века.

Далее, в § 9 данной главы проведен критический анализ пособия для учителей «Некоторые уроки по математике»*, дающего современное изложение некоторых разделов математики вместе с конспектами уроков по отдельным вопросам. Так, в книге имеются следующие главы: 1. Введение. 2. Двоичные системы. 3. Конечные арифметики и группы. 4. Численные методы и логические программы. 5. Множества, логика и алгебра Буля. 6. Отношение и графы. 7. Линейное программирование. 8. Структуры и отношения. 9. Выпуклость. 10. Геометрия. 11. Векторы. 12. Матрицы.

Наиболее интересные главы анализируются в диссертации. Так, в главе III — «Конечные арифметики и группы» — на материале арифметики вычетов по данному натуральному модулю интуитивно рассматриваются основные алгебраические структуры: группы, поля, кольца. Если элементы некоторого множества чисел (пусть 6, 11, 16, 21...), при делении на натуральное число m (пусть m = 5) дают в остатке одно и то же число (здесь единицу), то эти числа сравнимы по модулю m; полученные остатки (от деления на модуль чисел натурального ряда) образуют конечное множество (0, I, 2, 3, 4). В подобных множествах вводятся операции сложения и умножения и выясняется ряд свойств: 1) множества замкнуты относительно этих операций; 2) выполняется закон коммутативности; 3) выполняется закон ассоциативности; 4) внутри данного множества всегда выполнимо вычитание без введения отрицательных чисел и т. д.; то есть числовая система по модулю 5 обладает структурой кольца.

В нашем исследовании приводится и анализируется конспект урока по начальному формированию понятия структуры на основе соответствующего дидактического материала.

Далее, в диссертации выделяется глава VI пособия — «Отношения и графы» —где рассматриваются бинарные отношения между элементами множеств, вычерчиваются графы. Отношение R в общем случае определяет множество упорядоченных пар данного множества. Различные свойства от-

* «Some lessons in mathematics», Cambridge, 1964.

ношений иллюстрируются примерами. Так, отношение «сестра», установленное во множестве девочек, обладает свойствами симметричности и транзитивности; отношение же «отец», установленное во множестве людей, ими не обладает. Интересным математическим примером отношения, обладающего свойствами рефлексивности и транзитивности (но не симметричности), является отношение «делитель» во множестве, например, чисел (1, 2, 3, 5, 10, 15, 120).

В диссертации рассматривается и глава X — «Геометрия»,— которая иллюстрирует значительный отказ от характерной для Англии (в течение довольно долгого времени) Евклидовой трактовки курса геометрии и показывает переход на позиции теоретико-множественного аспекта. Изучение геометрического материала с этой точки зрения авторы считают возможным проводить с использованием геометрических преобразований: понятия переноса, симметрии.

При анализе этого учебного пособия также проводится критический отбор удачных идей, методов с целью их возможного использования при создании учебных пособий для советской школы.

Наконец, в последнем, § 10 II главы диссертации анализируется ряд экспериментов, связанных с введением некоторых новых математических идей в среднюю школу Англии.

III. Глава III «Развитие математического образования в средней школе США с конца XIX века до настоящего времени» рассматривает эволюцию среднего математического образования США, где не было крепких исторических традиций, подобных традициям, имеющимся на материке (во Франции, Англии).

Средняя школа США в начале XX в. находилась в основном под контролем местных властей и потому во многом разнородна. Анализ документов показывает, что в курсе математики средней школы США в то время основную роль играли идеи Д. Перри, проводниками которых являлись Э. Л. Торндайк, Д. В. Юнг, Е. Х. Мур, Д. Е. Смит. Проведенный в диссертации анализ программ по математике (по материалам американской подкомиссии Международной комиссии по математическому образованию, учрежденной в 1908 г. на математическом конгрессе в Риме (и ряда учебных пособий Д. Смита и Г. Вентворта (например, «Повышенного курса школьной арифметики»*) показывает недостаточный уровень

* D. Е. SMITH and G. A. WENTWORTH «School arithmetics advanced book», Boston, 1919.

математической теории, пониженность логики развития учебного предмета, преобладание элементарного практицизма.

Последующая эволюция программ характеризуется тенденцией развития «единого» курса математики в младших классах средней школы, что видно из анализа программы 1919 г., предложенной Ассоциацией учителей математики. Здесь же, в § 8 главы III проанализирована программа известного педагога математики В. Рива, составленная для старших классов естественно-научной фуркации. Анализ этой программы показывает некоторое приближение курса математики средней школы США к математике-науке, повышение теории; в частности, отмечается попытка проведения идеи функции через весь курс. Так, например, тема «Зависимость» включала вопросы: 1) Смысл зависимости—функциональная связь; 2) Обзор изученных алгебраических функций; 3) Тригонометрические функции как примеры трансцендентных функций; 4) Функциональные обозначения; 5) Оценка функций; 6) Графики алгебраических функций; 7) Основы алгебраического метода — вопросы, ранее не изучавшиеся в курсе математики средней школы США. Разнородность курса математики средней школы США подчеркивается тем, что наряду с подобными же программами (например, программа школы Линкольна авторов Мирик'а и Санфорд) действовала программа департамента образования штата Нью-Йорк (1928—1929 гг.), анализ которой показывает, что на ней влияние реформистских идей начала XX века сказалось значительно меньше.

Затем в исследовании выясняется, что постановка курса математики, связанная с разнородностью школьных программ, различной степенью подготовленности учителей, необязательностью изучения курса математики в старших классах средней школы, привела в середине XX века к необходимости коренной реконструкции обучения математике. Параграф 5-й главы III настоящей диссертации анализирует ряд критических статей, посвященных обсуждению нового содержания курса математики (Фер «Новые идеи в математическом образовании»; «Обзор мнений учителей по вопросу о пересмотре программы по математике»*), в которых поднимается вопрос о внесении в курс математики средней школы ряда идей современной математики: множеств, понятия струк-

* Н. F. FEHR «New thinking in mathematical education», ж. «The mathematics teacher», 1960, № 6; «A survey of teachers'opinions of a revised mathemaical curriculum», ж. «The mathematics teacher», 1960, № 2.

туры, векторов, понятия вероятности и других. Например, в диссертации приводятся некоторые статистические данные второй статьи (см. выше), связанные с анкетой совещания учителей средних школ и колледжей, проходившего в университете штата Огайо 14 мая 1959 г. В совещании участвовало 280 человек.

Ответы показывают, что большинство участников совещания сознает необходимость коренной реконструкции курса математики средней школы (85%); при этом целесообразность введения в курс 12 класса раздела «Элементарные функции» признает около 91%, введения идеи множеств — 76%, векторов — 74%, элементов теории вероятностей — 67%.

Затем в диссертации приводятся данные, показывающие возникновение в 50—60 годах значительного числа различных комитетов, работающих над созданием обновленных программ и учебных пособий и проверке их в школьной практике. Так, программы по математике для средней школы разрабатывало свыше 20 комиссий, среди них: группа по изучению школьной математики (SMSG) комиссия Мэрилендского университета (NMMP), Государственный учительский колледж Болла (BALL State teachers experimental program), математическая комиссия вступительных экзаменов в колледж и др.

Далее, в нашем исследовании выясняется, что основной тенденцией II периода движения — периода реконструкции курса математики средней школы США — является приближение школьного курса математики к современной науке с ее приложениями посредством введения некоторых идей современной математики. В связи с изучением этого вопроса в диссертации проанализированы работа А. Эвенсона «Современная математика»*, книга И. Адлера «Новая математика»**, являющиеся в основном пособием для учителей и дающие соответствующую методическую обработку некоторых основных идей. Исследование показывает, что одним из интересных моментов книги А. Эвенсона является своеобразное использование идей множества и математической логики при изложении ряда вопросов курса арифметики и алгебры. В частности, при введении понятия уравнения методом, отличным от традиционного, рассматриваются открытые (open) и закрытые (closed) высказывания, яв-

* А. В. EVENSON «Modern mathematics. Introductory concepts and their implications», Chicago, 1962.

** I. ADLER «The new mathematics», N—J, 1961.

ляющиеся либо ложными, либо истинными. Понятие «условия» (condition) выражает определенное условие, при выполнении которого высказывание с переменной х становится истинным. Например, х + 2 = 5 — условие или уравнение, содержащее переменную х; при замене х числом 3 получаем истинное высказывание. Элементы универсального множества, обращающие уравнение в истинное высказывание, образуют подмножество, называемое множеством решений уравнения, его символическое обозначение: ( х|х + 2 = 5}. Сложными высказываниями являются высказывания вида: 1) х + 3 = 6 и х<4; 2) х + 3 = 6 или х<4. Для нахождения множества решений первого высказывания выбирается универсальное множество U= } 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) ; тогда множество решений для х + 3 = 6 — ( 3 }, и для х<4— { I, 2, 3, } . Так как должны удовлетворяться оба соотношения, то общим множеством решений является множество {3}, что выражается символически: А= (3); В= (1, 2, 3}, тогда А (« В= { 3}.

Во втором случае должна удовлетворяться либо первая, либо вторая связь, тогда {х|х + 3 = 6}, или { х|х<4 } и AUB= {1, 2, 3}. Можно использовать и более обобщенную символику, например:

где 1) множеством решений сложного высказывания «Рх и Qx » является пересечение множеств решений каждого отдельного высказывания Рх и Qx; 2) множеством решений сложного высказывания «Р х или Qx » является объединение множеств решений данных высказываний.

В диссертации отмечается прогрессивная роль идеи введения элементов теории множеств и математической логики при рассмотрении уравнений. Эта идея выдвигает на первый план вопрос исследования уравнения; подобный аспект способствует развитию обобщающего мышления. Однако новые, относительно сложные идеи современной математики требуют тщательной экспериментальной проверки в смысле их доступности среднему учащемуся.

Затем наше исследование показывает, что тенденция приближения курса математики к науке реализуется в ряде экспериментальных программ и учебных пособий. В связи в этим в § 7 главы III диссертации проводится критический анализ экспериментальной программы по математике и ряда учебных пособий группы по изучению школьной математики (SMSG), как с целью выяснения путей развития

американских программ, так и с целью отбора ценного и полезного для советской школы материала.

Анализ программы SMSQ показывает, что она значительно отличается от рассмотренных традиционных программ. Здесь же, в § 7 главы III проанализированы некоторые учебные пособия группы SMSG, например, Л. Киди и др. «Изучение современной математики»*, М. Петерс и др. «Современный подход к алгебре»**, излагающие материал на основе некоторых идей современной математики. Так, учебное пособие Л. Киди включает, например, рассмотрение таких тем: «Часть II. — Свойства целых чисел — Натуральные и целые неотрицательные числа. Названия натуральных чисел. Символ %. Число 0. Операции с 0. Число 1. Операции с 1. Высказывания, содержащие числа. Знак = . Уравнения. Скобки. Свойства целых неотрицательных чисел. Знак . Умножение на 10. Обратные операции. Невозможность деления на 0. Числовая прямая. Множество решений и графики. Количественные и порядковые числа. Прикидка результата. Часть V. — Математические системы. — Как создать и изучать математические системы. Что означает операция. Что такое замкнутость. Обратные элементы. Обратные элементы в арифметике равноостаточных чисел по соответствующему натуральному модулю, операция деления. Мультипликативные обратные элементы. Взаимно-обратные числа и операция деления. Свойство дистрибутивности. Разложение на множители. Операции по модулю».

При анализе учебного пособия Л. Киди показывается, как, исходя из понятия множества, переходит к натуральным числам, а от них ведется обобщение до понятия действительного числа. Затем дается анализ учебного пособия по геометрии группы SMSG*, где раскрывается модернизированный курс геометрии, построенный на идеях теории множеств.

Наконец, критически проанализирована программа одного из учительских колледжей США (государственный колледж Болла).

При анализе указанных программ и пособий проводится критический отбор материала, использование которого целесообразно в советской школе.

* L. KEEDY и др. «Exploring modern mathematics», N—J, 1963.

** M. PETERS и др. «Algebra a modern approach», N—J, 1963.

* «Geometry», I, II, New-Haven, 1961.

IV. После развернутого анализа состояния математического образования стран Франции, Англии и США, в диссертации даются некоторые выводы:

1. Первое движение за изменение традиционного математического образования возникло в конце XIX — начале XX вв., в период бурного развития научного мировоззрения Маркса—Энгельса—Ленина.

2. Движение за изменение программы и учебных пособий развивалось двумя этапами: I этап — реформистский, II этап — полной реконструкции математического образования.

3. Движение мощно и почти одновременно охватило большинство стран Европы, США и Японии — приняло характер международный.

4. Этот международный характер реформистского движения дает возможность проводить аналогию и сравнивать работы зарубежных коллег с отечественными работами.

В связи с этим заключительная глава диссертации называется «О современной постановке среднего математического образования в СССР».

После краткого обзора реформистского движения в России начала XX века с его ярко выраженными тенденциями, характерными международному реформисткому движению, в § 2 главы IV диссертации выясняются основные принципы построения советской системы образования, коренным образом отличающейся от систем рассмотренных стран; раскрывается необычайно быстрый рост культуры в нашей стране; приводятся числовые данные, показывающие огромные достижения советской России по сравнению с дореволюционной в развитии, в частности, образования:

Россия до 1917 года

Советская Россия

1. Процент грамотных

64% (1914 г.)

100%

2. Число начальных школ

70 тыс.

140 тыс.

3. Число учащихся в начальных школах

7 млн.

25 млн.

4. Число средних школ

3,5 тыс.

32 тыс.

5. Число учащихся в средних школах

0,8 млн.

13 млн.

6. Число вузов

11

803

7. Число студентов вузов

112 тыс.

1,600 тыс.

В диссертации показывается, что в создании всемирно-известных научных математических школ в СССР принимали участие такие ведущие ученые старшего поколения, как А. А. Марков (1856—1922), А. Н. Крылов (1869—1945), В. А. Стеклов (1863—1926), А. Я. Хинчин и др.; наши современники: П. С. Александров (р. 1896), А. А. Люстерник (р. 1899), А. Н. Колмогоров (р. 1891), Петровский И. Г. (р. 1901), Келдыш М. В. (р. 1911), Лаврентьев М. А. (р. 1900) и др.

Далее указывается, что большим достижением Советской социалистической системы является создание ряда отраслевых академий, в том числе АПН РСФСР (1943 г.), насчитывающей в настоящий момент 36 действительных членов и 71 члена-корреспондента. В диссертации показывается, что эти огромные достижения стали возможны лишь благодаря новому социалистическому государственному строю, обеспечившему всенародное, бесплатное, доступное всем среднее и высшее образование.

В нашем исследовании выясняется, что в настоящий момент советская школа также вступила в новый период реорганизации среднего образования, и в частности, математического. В связи с этим в § 3 главы IV рассматриваются некоторые теоретические и экспериментальные исследования, связанные с движением за реконструкцию преподавания математики в советской школе (например, психологов-профессоров Л. В. Занкова, Д. Б. Эльконина, Н. А. Менчинской; коллектива учителей математики 352-й школы г. Москвы под руководством профессора И. К. Андронова).

В диссертации показывается, что решающую роль в реконструкции играют комиссии при АН СССР и АПН РСФСР, состоящие из видных ученых, математиков и педагогов, во главе с Героем Социалистического Труда академиком А. Н. Колмогоровым. В § 4 главы IV выясняется, что в разработанных проектах программ по математике для советской средней школы отражены основные тенденции современного международного реформистского движения, в частности, тенденция приближения курса математики средней школы к науке-математике путем введения элементов теории множеств, математической логики, структуры, геометрических преобразований. В связи с этим в диссертации рассматривается проект программы для начальной школы, обладающий значительными особенностями: изучением не традиционной арифметики, но математики в целом; развитием понятия натурального числа на базе элементов теории

множеств. Далее в диссертации выясняется, что проект программы для средней школы также вводит понятия и символику теории множеств (а е A; AUB; А О В и др.), выделяет структуры математики (законы коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности; роль нуля и единицы и др.), вводит элементы математической логики (отношение следования → , равносильности <→ ), геометрические преобразования; в проекте предлагается ввести развернутое учение о пределах, связанное с производными функциями и интегралами, с их применением к соответствующим задачам техники и физики, элементы теории вероятностей.

Повсеместно проводимое сопоставление работ советской математической общественности с работами зарубежных коллег (Франции, Англии, США) позволяет отметить, что многие наши работы идут на уровне более глубоком, другие же — на уровне, не ниже рассмотренного во Франции, Англии, США.

К сожаленнию, нами отмечается некоторое отставание, по сравнению с рассмотренными странами, в части своевременного издания обновленных пособий по математике. В связи с этим в § 5 настоящей главы после краткого сопоставления отечественной учебной литературы и литературы рассмотренных зарубежных стран, рекомендуется: 1) основательная разработка серии новых учебных пособий для учащихся желательно одним коллективом авторов; 2) составление и издание современных методических пособий для учителей; 3) перевод некоторых интересных учебных пособий для учащегося и для учителя (например, французских учебников по математике К. Бриара).

Проведенное нами исследование позволяет сделать вывод о необходимости глубокого и серьезного изучения передового опыта зарубежных педагогов математики, программ и учебных пособий по математике различных стран и в особенности основательной экспериментальной проверки новых идей.

К диссертации даны приложения:

1. Список вопросов по геометрии, предлагаемый одной из английских программ 1912 года.

2. Американские экспериментальные программы современного периода реконструкции математического образования.

V. Материалы диссертации были доложены:

1. На семинаре профессора И. К. Андронова «Новые идеи в преподавании математики» при АПН РСФСР (декабрь, 1964 г.).

2. На областной конференции учителей математики в г. Калининграде (апрель, 1966 г.).

По материалам диссертации имеются следующие публикации:

1. Р. А. Александрова. «Современное движение в США, связанное с реформой математического образования». Ученые записки. Том CL. Математический анализ, выпуск 9. Высшая алгебра, элементарная математика и методика математики, выпуск 4. МОПИ им. Н. К. Крупской. Москва, 1964, стр. 81—98.

2. Р. А. Александрова «Идеи алгебраической структуры в курсе английской средней школы», ж. «Математика в школе», № 2, 1966, стр. 85—86.

Подписано к печати 14/Х 1966 г. КУ 05028. Формат 60х841/16. Объем 1,25 печ. л. Зак. 1771. Тир. 200 экз. Типография изд-ва газеты «Калининградская правда», г. Калининград (обл.). ул. Карла Маркса. 18.