МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

В. А. АЛЕКСАНДРОВ

ПРЕПОДАВАНИЕ НАЧАЛ АЛГЕБРЫ В VI КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ И РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель — профессор И. К. АНДРОНОВ

Москва — 1956

В системе математического образования алгебра в общеобразовательной средней школе занимает весьма почетное место. Достаточно сказать, что в средней школе на изучение алгебры отводится около 450 часов (на геометрию — 330, на тригонометрию — 120 часов), т. е. приблизительно столько же, сколько на геометрию и тригонометрию, вместе взятые.

Алгебра в школе является центральным объединяющим предметом среди математических дисциплин. В курсе алгебры излагаются основные сведения, относящиеся не только к алгебре в собственном смысле слова. В нем имеются разделы, которые включают в себя вопросы других математических дисциплин — арифметики, математического анализа и аналитической геометрии. Можно утверждать, что школьный курс алгебры является введением не только в основы науки алгебры. Изучением алгебры должна разрешаться задача первоначального знакомства школьников с основными вопросами основ математических наук вообще.

Успешное осуществление задач, поставленных перед советской школой решениями XIX съезда КПСС, в значительной степени зависит от того, каким является курс алгебры средней школы. Содержание школьной алгебры, методы ее изучения должны соответствовать современным требованиям науки и задачам преподавания математики в нашей общеобразовательной школе с политехническим обучением.

На основе систематических опросов учащихся средних школ и, в частности, выпускников, поступающих в вузы, нами установлено, что в области преподавания алгебры в школе в настоящее время имеются существенные недостатки. Наша средняя школа вооружает не всех своих выпускников твердыми, прочными, систематизированными и сознательными знаниями по этому важнейшему предмету школьного обучения.

Эти недостатки в знаниях учащихся по алгебре порождаются тем, что в школьном преподавании алгебры недооценивается роль теории, недостаточно фиксируется внимание учащихся на методе логических суждений; школьная алгебра, в отличие

от школьной геометрии, строится на индуктивном методе, чаще встречаются доказательства на основе метода неполной индукции; переоценивается задача привития навыков путем решения тренировочных примеров по определенным правилам; весь программный материал по алгебре недостаточно обобщается и систематизируется; примеры и задачи решаются преимущественно неценаправленного характера.

Многолетний личный опыт преподавания математики и анкетные данные, полученные нами от учителей, дают основание утверждать, что наибольшую трудность для учащихся составляет изучение алгебры в VI классе. Алгебраические понятия, содержащиеся в программе алгебры VI класса, большинство учащихся усваивает по преимуществу формально. Алгебраические навыки, приобретенные учащимися в VI классе, часто являются теоретически не осознанными и потому непрочными.

Известные методические трудности учитель встречает при обучении началам алгебры в VI классе, если он желает с первых же уроков ввести учащихся в мир новых идей и понятий алгебры, дать правильное понимание природы алгебраических идей.

Анализ учебно-методической литературы показывает, что вопрос о преподавании начал алгебры в VI классе разработан еще далеко недостаточно.

В настоящей работе делается попытка дать научно-обоснованную систему методических предложений, направленных на улучшение постановки преподавания начал алгебры в VI классе. В этой работе выясняются возможные и необходимые пути усиления теории в преподавании алгебры в VI классе, а также рассматривается вопрос о подборе и методике решения разнообразных примеров и задач на основе повышенной теории, доступной для учащихся VI класса.

Выбор темы нашего исследования обусловлен также и тем, что в VI классе начинается изучение алгебры, закладывается тот фундамент, на основе которого будет строиться дальнейшее изучение предмета. Курс алгебры VI класса богат идейным содержанием. Уже первые уроки алгебры поднимают мышление ученика на более высокую ступень абстракции. Эти уроки вводят ученика в круг новых идей и понятий алгебры. На первых уроках ярко выступают особенности алгебраического метода образования отвлеченных понятий и дальнейшего их развития (обобщения). Понимание природы алгебраической науки закладывается в VI классе. Поэтому правильная постановка преподавания начал алгебры в VI классе имеет исключительное значение как для дальнейшего успешного изучения са-

мой алгебры, так и для изучения других математических и смежных школьных дисциплин.

Источником диссертационной работы явилось критическое изучение научно-методической и учебной литературы, обобщение передового опыта учителей, непосредственное участие в проведении педагогической практики студентов Орловского педагогического института.

Школьный эксперимент проводился в школах г. Орла во время педагогической практики студентов, а также в базовой школе Московского областного педагогического института (школа № 352 Бауманского района г. Москвы).

Работа состоит из небольшого введения, в котором дано обоснование выбранной темы, и трех глав, содержание которых и излагается ниже в порядке их исследования.

Глава первая. ЦЕЛИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ И, В ЧАСТНОСТИ АЛГЕБРЫ, В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЕ С ПОЛИТЕХНИЧЕСКИМ ОБУЧЕНИЕМ

Первая глава начинается с рассмотрения вопросова о необходимости знания учителем целей преподавания математики. Вопрос о цели преподавания математики, о месте и значении математического образования в советской школе является одним из основных вопросов, в зависимости от которого решаются конкретные методические вопросы. Учитель должен знать не только то, чему он учит и как надо учить, но и зачем он учит данному предмету. Знание учителем целей преподавания соответствующего предмета сообщает ему целенаправленность в работе.

В вопросе о цели преподавания математики имели место весьма крайние точки зрения. Было время, когда на первый план выдвигали практическое значение: это направление в педагогической литературе известно под названием материального направления, в отличие от формального направления, согласно которому целью преподавания математики в средней школе является развитие мышления, воображения и других психических способностей учеников, т. е. на первый, план выдвигается воспитательная цель преподавания математики. В диссертации подвергаются критике эти односторонности.

Согласно постановлению XIX съезда КПСС, необходимо развертывать десятилетнюю общеобразовательную школу с политехническим обучением, следовательно, образовательная и воспитательная цели в преподавании математики должны находиться в единстве с задачами политехнического обучения,

т. е. практические задачи преподавания должны быть подчинены общеобразовательным целям.

В связи с рассмотрением вопроса о цели преподавания математики мы в своей работе останавливаемся на традиционном преподавании математики и на движении, связанном с реформами; останавливаемся на так называемом «реформистском движении, так как оно относится в большей степени к школьному курсу алгебры. Говоря о перестройке школьной алгебры в духе реформистского движения, мы кратко останавливаемся и на тех извращениях, которые имели место в методике преподавания алгебры. Известно так называемое «движение Перри». Видными представителями этого движения в России были лаборант по физике (Петербургского университета) В. Лермантов и профессор химии В. Алексеев. В диссертации делается вывод о том, что сторонники «движения «Перри» проводят в области методики преподавания математики идеи реакционной идеалистической философии, известной под названием «прагматизма», отличительной особенностью которой является отождествление истинного с практически полезным.

В этой главе рассматривается вопрос о цели преподавания математики в нашей средней школе с политехническим обучением. Мы показываем, что цель преподавания математики в школе в основном определяется общими целями обучения и воспитания подрастающею поколения в духе коммунизма. Мы утверждаем, что правило: «преподавать математику нужно так, чтобы ученик усвоил предмет» — нужно понимать широко. Необходимо добиваться, чтобы учащиеся получали твердые, прочные и систематизированные знания, имели навыки применять их на практике, чтобы воспитывать у учащихся определенные свойства ума, воли и характера.

Математика является в школе одним из предметов обучения, который наилучшим образом влияет на воспитание ценных качеств умственной деятельности ученика. Изучение математики, воздействуя на развитие математического мышления, способствует также расширению умственного кругозора учеников, оказывает благотворное влияние на воспитание привычки к систематической работе, интересу к умственной деятельности и других важных моральных качеств.

В диссертации делается вывод, что цель преподавания математики в нашей школе с политехническим обучением заключается в следующем:

1. В передаче подрастающему поколению основы математической культуры, которую учащиеся должны усвоить творчески, прочно и систематизированно.

Ныне нельзя входить в жизнь без твердого знания основ

математической культуры. Владеть основами математической культуры это значит: а) понимать методы теоретического естествознания; 6) уметь применять свои теоретические познания к основам современной техники.

Для того чтобы иметь прочную основу, фундамент, на котором можно было бы изучить теоретическое естествознание и современную технику, недостаточно тех немногих знаний по элементарной математике, которые дает средняя общеобразовательная школа. Необходимо преподавание математики поставить так, чтобы привить учащимся любовь к этим знаниям и стремление к расширению и обогащению их, чтобы учащиеся приобрели способность учиться. Это требует предварительной тренировки мышления ученика, навыков в напряженной умственной работе. Тренировка эта должна воспитать у ученика уверенность в своих силах, умение преодолевать трудности в решении математических задач и закалить его волю и характер.

2. Привитие уму учащихся идеалов научного мышления — ясности понятия, последовательности суждений, достоверности умозаключений и обоснованности утверждаемого.

Правильная постановка преподавания математики позволяет обе эти задачи разрешить в полном содружестве, так как передача математических знаний требует развитого математического мышления у обучающегося и, наоборот, развитое математическое мышление способствует проявлению большей самостоятельности в приобретении математических знаний.

Последний параграф этой главы посвящен вопросу о специфических целях преподавания алгебры в средней школе. Параграф начинается с анализа ответов учителей на вопрос анкеты: «Напишите кратко свое мнение о значении и цели преподавания алгебры в школе». Данные анкеты показали, что большинство учителей не имеют отчетливых представлений в вопросе о цели преподавания алгебры.

Изучение современной методической литературы убеждает, что вопросу о цели преподавания алгебры в школе не уделено достаточного внимания. Из объяснительной записки и программы вытекает, что целью изучения алгебры является сообщение учащимся определенной суммы знаний, предусмотренных государственной программой. Мы считаем, что нельзя признать удовлетворительной такую постановку вопроса о цели преподавания одной из дисциплин, занимающей значительное место в школьном обучении. Конечно, одной из основных задач преподавания алгебры, как и любого другого предмета в школе, является наиболее полное и сознательное усвоение учащимися содержания учебно-программного материала.

Специальная цель преподавания алгебры наиболее ясно и кратко сформулирована замечательным русским методистом С. И. Шохор-Троцким: «Цель изучения низшей алгебры в среднем учебном заведении заключается в привитии уму учащихся навыков и методов правильного отвлечения и обобщения» (С. И. Шохор-Троцкий, Цель и средства преподавания низшей математики, 1892 г., стр. 43).

На ряде примеров мы показываем, что в школьной алгебре действительно много обобщающих моментов, что наличие их делает алгебру одной из дисциплин, изучение которой развивает абстрактное мышление учащихся. Уже первые, начальные главы алгебры богаты обобщающими моментами, а поэтому изучение курса алгебры VI класса является прекрасным материалом, развивающим мышление учащихся.

Обучение каждому предмету в школе способствует развитию абстрактного мышления, но математика, и в особенности алгебра в этом отношении выгодно выделяется среди других школьных дисциплин; алгебра в наиболее доступной форме иллюстрирует силу абстрактного мышления в изучении явлений природы.

Уже первое знакомство с алгеброй обыкновенно начинается с обобщения однородных арифметических задач. При изучении следующей темы «Рациональные числа» учащиеся опять встречаются с обобщением — обобщается действие вычитания в том смысле, что оно становится выполнимым без ограничения; законы арифметических действий получают более обобщенное толкование, создается понятие об алгебраической сумме, а в дальнейшем создается представление о поле рациональных чисел.

Глава заканчивается анализом трудностей, с которыми учащихся VI класса встречаются при изучении начал аглебры. Отмечается, что усвоение начальных глав алгебры для учеников вызывает трудности в связи с требованием иметь более развитое абстрактное мышление, чем это было нужно при изучении арифметики. Многие учащиеся VI класса особенно трудно воспринимают понятие любого (общего) числа, так как от них требуется умение оперировать числом, которое одновременно и любое натуральное число или нуль, и любое дробное число.

Глава вторая. СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДМЕТА АЛГЕБРЫ В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ. ОТМИРАНИЕ В ЭТОМ СОДЕРЖАНИИ УСТАРЕВШИХ ПОНЯТИЙ И ОСТОРОЖНОЕ ВНЕСЕНИЕ НОВЫХ ПОНЯТИЙ ИЗ МАТЕМАТИКИ КАК НАУКИ

Для того чтобы .показать, что школьный курс алгебры богат идейным содержанием, что он богат как вопросами прак-

тического, так и теоретического характера, мы в этой главе рассматриваем его содержание. С этой целью мы выделили основные идейные направления в его содержании: а) развитие понятия числа; б) учение о тождественных преобразованиях; в) развитие идеи функциональной зависимости и г) учение о решений уравнений.

Каждый из этих основных вопросов школьной алгебры подвергается анализу. При анализе этих основных идейных направлений курса алгебры мы выясняем, какое место занимает каждый из них в программе курса.

На основании этого анализа школьного курса алгебры автор приходит к выводу:

1. Собственно алгебраическая часть школьного курса алгебры исчерпывается вопросами тождественных преобразований алгебраических функций с одной и многими переменными, решением и исследованием уравнений и систем уравнений.

2. Кроме того, в школьную алгебру входят вопросы, которые составляют продолжение арифметики; развитие учения о числе, некоторые вопросы приближенных вычислений (извлечение квадратного корня), метод математической индукции и вопросы комбинаторики.

3. Алгебра содержит также вопросы, относящиеся к введению в анализ: элементы теории неалгебраических функций (показательные и логарифмические функции), учение о числовых последовательностях и пределе. Последняя программа средней школы дополнена учением о производной с приложением её к исследованию функций.

Такая пестрота программы школьной алгебры объясняется тем, что школьный курс алгебры призван не только вооружить учащихся основными понятиями алгебраической науки, но и «ввести учащихся в мир простейших основных общематематических понятий о числе, о пределе, о функции, ее непрерывности, ее геометрическом изображении и т. д.» (П. С. Александров, Научное содержание школьного курса алгебры, журнал «М. в Ш», 1946, № 4, стр. 3).

С развитием математической науки вообще и развитием алгебры, в частности, школьный курс алгебры также изменяется, хотя основной «костяк» традиционного курса давно уже более или менее стабилизировался — «...в XVIII веке алгебра сложилась в том приблизительно объеме, который до наших дней преподается в средней школе. Классическое выражение эта алгебра XVIII века нашла в знаменитой алгебре Эйлера (О. Ю. Шмидт. Алгебра. Статья в БСЭ, изд. 1-е, т. 2, стр. 141).

В этой главе также дается краткая характеристика алгебры как науки с тем, чтобы показать, что в школьном курсе ал-

гебры есть такие вопросы, изучение которых близко подводит учащихся средней школы к некоторым положениям современной алгебры.

Основной задачей современной алгебры является изучение операций, заданных в множествах произвольной природы. С этой точки зрения операции над числами того или иного множества, операции над алгебраическими выражениями приближают ученика к простейшим идеям современной алгебры.

В диссертации выдвигается положение, что некоторые простейшие идеи современной алгебры могут помочь более сознательному и правильному пониманию соответствующих положений школьной алгебры. Так, например, на повторительно-обобщающих уроках, связанных с расширением числовых множеств, могут быть лучше раскрыты свойства того или иного множества в связи с выполнимостью той или иной алгебраической операции.

В работе указывается, что были попытки внесения в школьную алгебру основных понятий алгебры-науки. Так, в начале XX века крупный русский алгебраист Д. А. Граве старался некоторые положения школьной алгебры осветить с точки зрения теории поля. Он вводит понятие числового поля и показывает, что различные числовые поля (поле рациональных чисел, поле действительных чисел и поле комплексных чисел), имея много общих свойств, обладают и значительными качественными различиями. Например, он устанавливает, что поле рациональных чисел характеризуется свойством плотности, а поле действительных чисел, кроме того, еще и свойством непрерывности; без доказательства приводит теорему о замкнутости поля комплексных чисел.

В школьном курсе алгебры есть такие устаревшие понятия, которых давно нет в математической науке («число без знака», «относительные числа», «арифметическая разность» и т. д.); есть также устаревшие определения (определение одночлена и многочлена, определение уравнения и коэффициента и т. д.).

Одновременно наблюдается тенденция к внесению в школьную алгебру новых понятий из современной математической науки. В связи с осуществлением политехнического обучения в школе передовые методисты и учителя ставят вопрос о введении в школьную алгебру простейших номограмм.

За последнее время усиливается стремление внедрить в школьную алгебру более строгие методы доказательства. Так, например, в учебнике алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова эта тенденция выражена достаточно ярко. Даже в основном тексте, предназначенном для учащихся 6—7-х классов, авторы стремятся, где только возможно, вводить доступные, но более строгие доказательства.

Сохранение устаревших терминов и понятий в школьном курсе алгебры и преобладание в нем конкретно-индуктивного метода частично объясняется установившимися традициями.

Автор приходит к выводу, что необходимо школьный курс алгебры освобождать от устаревших терминов и понятий и наряду с конкретно-индуктивным методом применять и дедуктивный метод изложения.

Глава третья. ДОСТУПНОЕ ПОВЫШЕНИЕ ТЕОРИИ В ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ НАЧАЛ АЛГЕБРЫ В VI КЛАССЕ И РАЗВИТИЕ У УЧАЩИХСЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

В этой главе решаются основные методические вопросы преподавания начал алгебры в VI классе; в ней также дается описание одного эксперимента, проведенного автором с целью проверки тех методических предложений, которые выдвигаются им в данной работе.

В первом параграфе нами приводится анализ результатов одной специальной контрольной работы по алгебре, проведенной диссертантом среди поступавших на физико-математический факультет Орловского педагогического института в 1954 г. Контрольная работа имела своей целью выяснить, какие недостатки существуют в знаниях учащихся по алгебре и сколь они серьезны, чтобы, учитывая эти недостатки, наметить пути их устранения. Результаты контрольной работы обнаружили, что в знаниях выпускников средней школы имеются крупные пробелы. Так, например, большинство из них считают, что: а2 всегда больше а; 2 а больше а; — 2i — число отрицательное и т. д.

Всесторонний анализ итогов контрольной работы позволяет утверждать, что эти недостатки в знаниях учащихся порождаются недооценкой роли теории в преподавании алгебры, наличием большого числа тренировочных упражнений, не опирающихся на соответствующую теорию.

В этом параграфе излагается вопрос об усилении теории в преподавании алгебры, о месте и значении задач в практике школы.

При изучении алгебры в нашей школе много времени отводится на решение примеров и задач. Однако часто задачи подбираются слишком однородные, безидейного характера; нет упражнений, способствующих развитию логического мышления; не всегда даются задания, требующие анализа и исследования.

В диссертации устанавливается целесообразность таких реальных, жизненных задач или задач теоретического характе-

ра, которые своим содержанием, постановкой вопроса или ответом приковывают внимание учащихся и создают у них дополнительный интерес. Автор исходит из следующего принципа: при решении различного рода упражнений на уроках алгебры учащиеся должны приучаться обосновывать во всех необходимых случаях отдельные этапы решения, сопровождать буквенные формулы исследованием, привыкать видеть во всякой формуле некоторую зависимость между входящими в нее величинами.

В этой главе (§§ 2—7) излагается методика изучения основных вопросов курса алгебры VI класса. По каждому разделу подбирается достаточно большое число задач более или менее жизненного характера, а также задачи, связанные со смежными школьными дисциплинами, в частности, с физикой.

В диссертации дается методика первых трех уроков алгебры в VI классе. Правильная постановка этих первых уроков имеет большое образовательно-воспитательное значение, так как первые впечатления о новом предмете являются для учащихся в значительной степени решающими. От этих уроков зависит, с каким интересом и вниманием учащиеся будут преодолевать трудности при овладении новым материалом. Эти три урока охватывают следующие вопросы:

1. Понятие об общем (любом) числе и его обозначение.

2. Понятие об уравнении.

На первых уроках алгебры в VI классе происходит первоначальное знакомство ученика с буквенными обозначениями. Учащиеся в арифметике, в основном, получают навыки обращения с числами частного вида, но там же закладываются и некоторые навыки обращения с числами более общего вида. Например, приходится различать числа простые и составные, четные и нечетные и т. д. Однако для этих понятий в школьной арифметике не имеется кратких обозначений; они не закреплены в соответствующих символах. Алгебра для таких обобщений пользуется буквенным обозначением.

Нами подобрана система задач, которая дает возможность показать учащимся широкое применение буквенных обозначений, позволяет ясно понять смысл употребления букв для обозначения общих или неизвестных чисел.

В параграфе 3-м рассматривается дальнейшее изучение первой темы курса алгебры VI класса. На этом этапе изучения алгебры большое значение придается показу учащимся целесообразности обозначения чисел буквами и в том случае, когда надо установить и записать какое-нибудь свойство чисел ила арифметических действий над числами. Так, на числовых примерах проверяется свойство переместительности сложения, которое сформулировано словами, затем это свойство записы-

вается в общем виде при помощи букв и дается его конкретное истолкование на какой-либо задаче.

При изучении первой темы курса алгебры VI класса основная методическая задача заключается в том, чтобы заложить фундамент для дальнейшего сознательного продвижения учащихся в этом новом для них предмете. При этом важную роль имеют подбор и методика решения соответствующих задач. В диссертации приводятся основные виды упражнений по этому разделу. Значительное место в нем занимают задачи исследовательского характера, задачи на доказательство, задачи-вопросы, требующие сообразительности. Например, в связи с вычислением значений алгебраического выражения I+X2 может быть поставлен вопрос: каково наименьшее значение этого алгебраического выражения и при каком значении буквы X оно будет?

Одна из основных задач преподавания алгебры в школе состоит в том, чтобы передать учащимся учение о числе в его развитии. Этому вопросу посвящен четвертый параграф главы. Излагая вопросы методики изучения темы «Рациональные числа», автор обращает внимание на введение отрицательных чисел с тем, чтобы оправдать в глазах учащихся целесообразность их введения. Учащиеся сознательно и убежденно входят в понимание особых свойств множества рациональных чисел, раскрывая более широкую применимость рапиональных чисел, чем это можно было сделать только при наличии рациональных неотрицательных чисел.

При изучении этой темы усиление роли теории мы видим в том, что здесь могут быть доказаны некоторые основные свойства арифметических действий над рациональными числами, могут быть доказаны некоторые теоремы.

В диссертации дается также методика построения нескольких первых уроков по теме «Рациональные числа» с целью найти наиболее доступные и интересные для учащихся способы изложения основных вопросов темы.

Наши предложения, направленные на усиление теоретической стороны этой темы, заметно усилят логический элемент методики изложения ее, и тем самым повысят образовательное значение изучения темы.

Методике изучения последних двух тем курса алгебры VI класса: 1) одночлены и многочлены и 2) разложение многочлена на множители 1, — посвящены следующие два параграфа (5—6).

Эти две темы впервые вплотную приближают учащихся к алгебраическому методу, поднимают мышление учащихся на еще более высокую ступень абстракции.

1) По новой программе эта тема отнесена в VII класс.

Для того, чтобы обеспечить вполне сознательное усвоение учащимися тождественных преобразований одночленов й Многочленов, в диссертации дается методика более рационального выводи правил этих преобразований. На частных примерах эти преобразования получаются на основе законов арифметических действий, а в дальнейшем делаются обобщения так, чтобы получить обоснование в общем виде. Например, применение правила умножения многочленов будет осознанным, если ученик VI класса сможет пояснить, на основе каких законов арифметических действий вытекает справедливость Тождественного равенства:

(а + в) (m + n) = am + an + вт + вп

В диссертации дается ряд конкретных указаний по подбору и методике решения задач. Весьма полезно придавать тренировочным упражнениям формулу целенаправленных задач. Например, упражнение № 5992 из задачника П. А. Ларичева (ч. 1) может быть сформулировано так:

Доказать, что алгебраическое выражение

(Зш — 1) <m + 1) + <2т — 1) (т— 1) — (Зт + 5) (т — 2)

при всех значениях т положительно.

Целесообразность такой формы задания очевидна. Выполнив указанные преобразования, ученик получит алгебраическое выражение 2т2 + 10. Исследование этого выражения, которое требуется по условию задачи, вполне посильно среднему ученику VI класса.

В диссертации много места отведено задачам, взятым из элементов теории чисел. Так, рекомендуются задачи:

1. Доказать, что квадрат нечетного числа есть нечетное число.

2. Доказать, что простое число вида 4п + 3 не может быть представлено в виде суммы двух квадратов.

Седьмой параграф этой главы посвящен пропедевтике уравнений в VI классе. Хотя необходимость введения уравнений в курс алгебры VI класса уже обоснована, вопрос об объеме, системе упражнений и методике изложения темы еще до сих пор полностью не решен. Важность его особенно диктуется изменениями характера преподавания математики в связи с осуществлением политехнического обучения.

В диссертации на основе анализа личного опыта показывается, что решение задач на составление уравнений и решение уравнений способствуют ясному пониманию смысла введения буквенных обозначений, приобретению прочных навыков в арифметических действиях над рациональными числами и совершенствованию техники в тождественных преобразованиях алгебраических выражений.

Для того, «чтобы облегчить учащимся понимание смысла введения букв для обозначения чисел, автор считает целесообразным ввести понятие об уравнении и его решении на одном из первых трех уроков алгебры VI класса.

К понятию уравнения учащихся следует подвести, исходя из несложной задачи, так как при таком подходе употребление букв для обозначения неизвестных чисел будет вполне оправдано. Раннее введение задач на составление уравнений также целесообразно, поскольку сами задачи являются прекрасным материалом для оживления и улучшения преподавания первой темы курса алгебры VI класса. Решая задачи на составление уравнений, ученик все время чувствует, что он производит различные алгебраические операции не просто над буквами, а над конкретными величинами, выраженными с помощью букв, что сами операции имеют определенный смысл, и все это, несомненно, повышает интерес к изучению предмета и способствует пониманию и усвоению его.

Задачи на составление уравнений и решение уравнений имеют очень большое значение как средство развития у учащихся представления о функциональной зависимости, позволяют показать учащимся широкое применение алгебраического аппарата к решению задач из смежных дисциплин. Последние две темы курса алгебры VI класса изучаются во втором полугодии, когда учащиеся уже значительно продвинулись в изучении физики и геометрии. В связи с изучением этих тем подбор задач на составление уравнений может быть более разнообразным. На ряде примеров в диссертации показывается, как могут быть составлены задачи, содержащие простые и доступные учащимся понятия, взятые из физики и геометрии.

Выдвигаемые нами положения, направленные на усиление теории по той или иной теме курса алгебры VI класса, равно как и предлагаемые нами задачи, в большинстве своем были проверены в школах г. Орла во время педагогической практики студентов Орловского педагогического института, а также в базовой школе Московского областного педагогического института в 1954/55 учебном году. Результаты эксперимента нами учтены и использованы при изложении 3-й главы; они дали возможность исправить, уточнить некоторые методические установки.

Глава заканчивается кратким описанием последнего эксперимента. Цель проведения его заключалась в том, чтобы:

1) в пределах возможного проверить доступность для учащихся той повышенной теории, необходимость введения которой доказывается в диссертации;

2) проверить целесообразность и эффективность раннего введения в практику преподавания алгебры решения задач на

исследование алгебраических выражений и задач на доказательство.

Также попутно исследовалось:

1) насколько целесообразно введение в практику преподавания алгебры решения различных задач геометрического и технического содержания;

2) насколько целесообразно более широкое введение пропедевтического курса уравнений в программу VI класса. Эксперимент показал, что те методические установки, которые мы предлагаем в нашей работе, вполне могут быть осуществлены в школе.

В диссертации делается вывод, что при изучении курса алгебры VI класса есть полная возможность усиления теории. Применение на практике решения разнообразных задач реального, жизненного или теоретического характера значительно повышает интерес к предмету. Навыки, приобретенные на основе этой повышенной теории, оказываются более осознанными, а поэтому и более твердыми, создается более прочная основа для дальнейшего изучения курса. Введением различных задач геометрического, технического и жизненного характера разрешается, в частности, одна из задач преподавания алгебры в школе с политехническим обучением: научить учащихся применению знаний к решению простейших практических задач из техники, физики и других смежных дисциплин.

Л 101099 От 17/11—56 г. Тир. 100 Объем 1 п. л. Зак. 986

Типография «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73