Московский городской педагогический институт имени В. П. Потемкина

С. П. АЛЕКСАХИН

На правах рукописи

Дробные числа в курсе элементарной математики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Москва — 1952

Цель советской методики математики — способствовать повышению успеваемости в советской школе.

Для сознательного усвоения учащимися некоторых отделов математики, например, начала планиметрии, начала стереометрии и др., большое значение имеет применение наглядности и, в частности, применение наглядных пособий. Для сознательного усвоения некоторых других отделов имеет значение система целесообразно подобранных задач. Но есть отделы математики, где трудность лежит в самой логической структуре излагаемого материала.

Мы считаем, что, например, трудности, возникшие при умножении на дробь, связаны с недостаточным раскрытием в школьном учебнике самого понятия дроби, и в своей работе стремимся показать, что как после правильного, по нашему мнению, раскрытия понятия дроби, эти трудности устраняются.

Следуя традициям русской классической математики, мы считаем, что строгое понятие дробного числа можно дать в средней школе и стремимся показать, что это необходимо дать на основе тех идей, которые развиваются в нашей работе. Полезно напомнить высказывания по этим вопросам Н. И. Лобачевского и П. Л. Чебышева.

Говоря о своем опыте преподавания алгебры в Казанской гимназии, Н. И. Лобачевский заявляет, что он «уверился в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком, но должны быть переданы с первого раза во всей их общности, с точностию, ясностию и определенностию, а потом уже утверждаться упражнением, чтоб могли через то глубже напечатлеться в памяти и с легкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях. Вот главное правило в искусстве преподавать Математику, которой трудность единственно во отвлеченности и обширности понятий, которая чтоб быть легкой требует от нас только того, чтоб мы не переставали судить, употребляя знаки, как сокращения для выражения умственных представлений. Такому правилу однако ж не следовали до сих пор в началах, потому что думали облегчить Учение детей, упражняя их преимущественно примерами решения задач, предоставляя им

самим отвлекать для сего нужные понятия и современем толь, ко возвратиться назад, чтобы пополнить то, что было некогда сказано им недостаточно из недоверчивости к их способностям». (Н. И. Лобачевский, Полное собрание сочинений, т. IV, стр. 368).

В отзыве на объяснительную записку составителя «Практической арифметики» П. Полякова Чебыщев, критикуя слова П. Полякова о том, что его книга содержит в себе «не совсем точные определения и доказательства по той причине, что строгие научные определения и доказательства недоступны ддя детей того возраста, в котором обыкновенно проходится арифметика. Поневоле приходится жертвовать точностью в пользу ясности и доступности предмета», писал: «Такой взгляд на преподавание арифметики положительно не верен. Доказательства, лишенные надлежащей строгости, ничего кроме вреда принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени, употребленного на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет. Если что-либо не может быть доказано строго, необходимо это пр,ямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство» (П. Л. Чебышев, Полное собрание сочинений, т. V, стр. 388).

Работа состоит из Введения, 4 глав и Заключения: 1 глава — «Учение о величине», II глава — «Дроби как значения величины (именованные дроби)», III глава — «Дроби как операторы 2-й ступени (отвлеченные дроби)» и IV глава — «Анализ изложения дробей в школьном курсе».

Во введении отмечается, что существуют две независимые и одинаково строгие концепции в развитии понятия числа и, в частности, в построении дробей, а именно: теория дробей, построенная на основе измерения величин, и теория дробей (формальная «теория пар»), построенная лишь на основе натурального ряда чисел.

Школьная арифметика, веками связывающая изучение чисел с изучением величин и с практической деятельностью человека, естественно примыкает к первой названной концепции в развитии понятия числа.

До построения формальных теорий расширение понятия числа на основе измерения величин составляло предмет арифметики как науки. Теперь же, после построения абстрактных теорий числа, на числовые характеристики, доставляемые измерением величин, и на соотношения, устанавливаемые для них, можно смотреть как на конкретные интерпретации самих абстрактных теорий.

В главе «Учение о величине» вводятся понятия величины и количественного натурального числа; устанавливается операция сложения значений величины и операция умножения значения величины на натуральное число. Содержание главы на особую оригинальность не претендует; глава нужна для обоснования последующих положений работы.

В главе «Дроби как значения величины» показывается, что если смотреть на дроби как на значения величины, полученные в результате деления единицы измерения на равные части с последующим взятием нескольких таких частей, то для дробей (именованных дробей), определяемых таким образом, устанавливаются, допуская весьма наглядное истолкование, сравнение и сложение. Умножение же дробей, рассматриваемых как значения величины, т. е. именованных дробей не определяется.

Примечание. Часто говорят, что под числом в математике всегда подразумевается «отвлеченное число» и введение какой-то особой категории «именованных» чисел и действий над ними лишено поэтому всяких оснований. Однако, когда речь идет о приложениях и конкретном истолковании действий над числами, необходимо отдавать себе ясный отчет в том, какие различные числовые характеристики появляются в результате измерения величин и каков в связи с этим конкретный смысл числовых соотношений в различных случаях.

В главе «Дроби как операторы 2-й ступени» показывается, что делить на части можно не только значения величин такого рода, как отрезки, промежутки времени, массы тел и т. п., но можно делить на части действия, и в частности, некоторое действие, принятое за единицу, а, следовательно, можно говорить о дробных действиях, т. е. о действиях, выраженных дробями. Мы показываем в этой главе, что операцию деления на натуральное число п с последующим умножением на некоторое натуральное число m можно рассматривать как дробь ~ . За единицу измерения в этом случае принимается действие умножения на единицу (увеличение в один раз). Истолкование дробного числа — как знака операции уменьшения в п раз с последующим увеличением в m раз оказывается более плодотворным, чем истолкование дробного числа как совокупности определенных долей единицы измерения величины. Так, для дробей как знаков действий (операторов 2-ой ступени) кроме сравнения и действий 1-ой ступени определяются, допуская конкретные истолкования, действия 2-ой ступени.

В главе «Анализ изложения дробей в школьном курсе» дается критика изложения дробей в учебниках элементарной арифметики и методиках.

1. Во многих учебниках арифметики и в методиках дробь, рассматриваемую как совокупность определенных долей произвольной единицы измерения, называют отвлеченной дробью. Так, дробь 3Ч рассматриваемая как три четвертых произвольной единицы измерения, — отвлеченная дробь.

Мы считаем, что дробь, рассматриваемую как совокупность определенных долей произвольной единицы измерения величины, надо называть так же, как дробь, рассматриваемую как совокупность определенных долей конкретной единицы измерения, — именованной дробью. Целесообразно называть, например, именованной дробью не только дробь 3/*м, содержащую в записи дроби наименование единицы измерения, но и дробь 3/4, не содержащую наименования единицы измерения, но истолковываемую как три четверти какой-то единицы измерения величины. Лишь иногда для различения дроби как совокупности определенных долей конкретной единицы измерения и дроби как совокупности определенных долей произвольной единицы измерения мы называем дробь в первом смысле просто именованной дробью, а дробь во втором смысле неопреденной именованной дробью, общим видом именованной дроби.

2. В учебнике арифметики и в методиках считается, что умножение дробей выполняется над отвлеченными дробями, т. е., повторяем, над дробями, рассматриваемыми в учебнике как совокупности определенных долей произвольной единицы измерения величины.

Мы считаем, что при умножении дробей в школьном учебнике не явно вводится понятие дроби как оператора 2-ой ступени и что умножение производится на дробь, рассматриваемую как оператор 2-ой ступени. Умножение же на дробь, рассматриваемую как совокупность определенных долей произвольной единицы измерения, вообще говоря, не определено. О нем можно говорить лишь тогда, когда произвольная единица измерения принимает значение, выраженное оператором 2-ой ступени.

В школьных учебниках арифметики выпала одна ступень абстракции в понимании дроби — это дробь как оператор 2-ой ступени, а именованная дробь с произвольной единицей измерения принята за такую отвлеченную дробь, к которой будто бы всегда можно применять правило умножения дробей, — вот причина затруднений, возникающих при умножении на дробь.

3. В учебниках арифметики и в методиках считается, что после введения дробей (а дроби вводятся в школьном учебнике

только как значения величины) становится всегда выполнимой операция деления целых чисел.

Мы считаем, что в учебнике и в методиках явно показывается только то, что целое именованное число (значение величины) с произвольной, но допускающей неограниченную дробимость на части единицей измерения всегда делится на части и что в результате получается именованная дробь с той же единицей измерения как и делимое. О делимости же количественных натуральных чисел, характеризующих совокупности произвольных предметов, в отделе дробей ничего не говорится. Отметим, что деление на части количественных натуральных чисел остается не всегда выполнимым и после введения дробей, деление же по содержанию количественных натуральных чисел становится всегда выполнимым при введении дробей как операторов 2-ой ступени.

4. В учебнике арифметики и в методиках последнего времени деление на части отождествляется с делением по содержанию.

Мы считаем, что если рассматривать всю систему элементарной арифметики в целом с ее определением дроби как значения величины (именованная дробь), то два вида деления являются неотъемлемой частью такой арифметики. Отказ же от двух видов деления нарушает целостность системы.

Л 99220 22/V-52 г. Зак. 1538. Тир. 100

Тип. Издательства Всесоюзной Книжной Палаты. Ул. Чайковского, 20.