АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

С. А. АЛБОРОВ

ВОПРОСЫ ИЗМЕРЕНИЯ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук А. И. Фетисов

Москва — 1965

Наблюдающийся в настоящее время процесс весьма интенсивного проникновения математических методов в различные области знаний, естественно, вызывает повышенные требования к среднему образованию, к общей математической культуре учащихся.

Одним из важнейших направлений в работе по повышению математической культуры учащихся служит формирование научных представлений об измерении в широком смысле. Общая постановка этой проблемы сводится к следующему: объекту, подвергающемуся математической обработке, стремятся приписать число, называемое мерой этого объекта, так, чтобы оно носило с собой все основные свойства данного объекта. Ярким примером, иллюстрирующим эту идею измерения в широком смысле, могут служить такие основные понятия кибернетики как понятия неопределенности и информации, для которых количественные характеристики — меры были найдены сравнительно недавно.

В школе знакомство с этой важной идеей может быть осуществлено на примере изучения геометрических величин. При изучении этого вопроса возможно раскрыть большое прикладное и образовательное значение измерений вообще.

Традиционное изложение теорий измерения геометрических величин в школьном курсе математики не отвечает новым, возросшим требованиям. В связи с этим отметим некоторые существенные недостатки традиционного подхода.

а) В имеющейся учебно-методической литературе нетрудно заметить наличие весьма ощутимого разнобоя и некорректности в трактовке понятий площади и объема. В различных учебниках и учебно-методических руководствах, например, площадь плоской фигуры определяется то как «часть плоскости», то как «размер части плоскости», то как «величина части плоскости»; более того, иногда в одном и том же учебнике площадь определяется как величина части плоскости, а объем — просто как часть пространства. Некорректность этих определений состоит в том, что они неконструктивны, на их основе нельзя строить дальнейшей теории измере-

ния (например, из определения «площадь фигуры есть часть плоскости, ограниченная этой фигурой» никак не следует, что площадь треугольника или какой-нибудь другой фигуры равна такому-то числу). Естественно, эти определения при изложении соответствующих тем бездействуют, теряют функцию подлинных математических определений.

Если же считать, что эти определения вводятся в качестве поясняющих описаний соответствующих понятий, то и для этой цели они мало пригодны, так как понятие «величина» не яснее чем понятия «площадь» и «объем». В то же время многие преподаватели требуют заучивать эти некорректные формулировки.

б) Серьезным недостатком традиционного подхода является то, что одни авторы, правильно определяя площадь (объем) как число, не указывают общего, единого для всех рассматриваемых фигур способа получения этого числа. Иными словами, не дают общего конструктивного определения понятия площади (объема).

В результате каждый раз, при переходе к новым фигурам, по необходимости приходится давать специальные конструктивные определения. Так, например, площадь круга определяется как предел, к которому стремится площадь правильного вписанного в круг многоугольника при неограниченном удвоении числа его сторон. Если бы вслед за кругом рассматривался, например, эллипс, то пришлось бы искать совершенно другой способ определения его площади, так как в эллипсе уже нельзя вписать правильный многоугольник.

Эти отдельные определения некорректны и в логическом отношении, ибо из них никак нельзя сделать вывод о том, что понимать под площадью (объемом) какой-нибудь части данной фигуры. Так, например, из приведенного выше определения площади круга не ясно, что понимать под площадью кругового сектора или же сегмента.

Каждый такой отдельный подход к определению площади (объема) представляется учащимся случайным, неаргументированным, создает у них неправильные представления о том, что математические определения можно вводить произвольно, путем условных соглашений.

Таким образом, важно искать такие общие формальные определения, которые в одинаковой мере охватывают все объекты, входящие в объем соответствующего понятия. Наука математика дает нам образцы такого решения проблемы.

Если перенести этот общий подход к понятию площади (объема), то единственно правильным будет дать общее определение площади (объема), затем вывести из этого об-

щего определения основные свойства площадей (объемов) и, наконец, доказать, что это общее определение в применении к отдельным фигурам (различным многоугольникам, кругу и т. д.) приводит к таким-то определенным результатам.

в) Недостатком традиционного подхода является и то, что одни авторы учебников и учебно-методических пособий, правильно определяя площадь (объем) как число, соответствующее фигуре, вовсе не подчеркивают и не перечисляют условий, которым должно удовлетворять это число. Иначе говоря, не перечисляют основных свойств площади (объема). Другие же авторы явно формулируют эти свойства, но их принимают без доказательства. Например, в учебнике геометрии А. П. Киселева по существу без доказательства принимается, что если за единицу измерения площадей принять площадь единичного квадрата, то:

1. Каждой из рассматриваемых фигур можно отнести положительное число, называемое площадью этой фигуры.

2. Равные фигуры будут иметь равные площади.

3. Если фигуру разложить на конечное число частей, то площадь всей фигуры будет равна сумме площадей составляющих частей.

Подобное увеличение числа недоказываемых предложений па рассматриваемой ступени обучения (в старших классах) не только не расширяет, но в значительной степени ограничивает возможности повышения общей математической культуры учащихся, возможности знакомить их с дедуктивным характером построения той или иной математической дисциплины.

г) Традиционное изложение вопросов измерения площадей и объемов страдает тем недостатком, что при выводе формул площадей и объемов различных фигур приходится применять самые различные приемы и методы, не объединенные общей идеей. Например, метод, которым пользуются при выводе формулы объема пирамиды не имеет ничего общего с методом, при помощи которого выводится формула объема шара, а метод, который употребляется при выводе формулы площади поверхности конуса, не годится для вывода формулы площади поверхности шара и так далее. Но в таком случае у учащихся может возникнуть законный вопрос: относятся ли числа, получаемые столь разными методами, к одному и тому же семейству чисел, именуемых площадями (объемами), несут ли эти числа в одинаковой мере свойства измеряемых объектов? Ясно, что на эти вопросы традиционный подход не может дать определенного ответа.

Наличием такого многообразия подходов и приемов объясняется тот факт, что традиционное изложение теории площадей и объемов часто оказывается неоправданно громоздким. Например, для получения формулы объема многоугольной призмы нужно доказывать восемь отдельных предложений: три случая для объема прямоугольного параллелепипеда, лемму о равновеликости прямой и наклонной призм, два случая для вывода формулы объема косоугольного параллелепипеда, два случая при выводе формулы объема произвольной призмы. Для получения формулы объема пирамиды нужно доказывать три предложения; для получения же формулы объема шара нужно доказывать пять предложений: три случая для леммы об объеме тела, описываемого вращающимся треугольником, вывод формулы объема шарового сектора, вывод формулы шара.

То же самое можно сказать и в отношении площадей кривых поверхностей.

Проблема данной диссертации состояла в изучении роли и места вопросов измерения площадей и объемов в повышении математической культуры учащихся старших классов массовой школы и в разработке методики изучения этих вопросов.

Поставленная проблема решалась в направлении приближения школьного преподавания к научному изложению с сохранением его доступности для учащихся.

При работе над диссертацией использовались следующие методы исследования: изучение истории и теории вопроса по отечественным и некоторым зарубежным источникам, наблюдение за педагогическим процессом и эксперимент.

Диссертация состоит из введения, заключения, библиографии и следующих глав:

Глава I. Исторический обзор вопросов измерения площадей и объемов.

Глава II. Современное учение о площадях и объемах.

Глава III. Методика изучения площадей и объемов в старших классах средней общеобразовательной школы.

Глава IV. Опытная проверка основных положений диссертации.

1. В первой главе, состоящей из двух параграфов, дается исторический очерк развития теории измерения площадей и объемов в математике как научной дисциплине (первый параграф) и как в убечном предмете (второй параграф). В очерке достаточно подробно рассматриваются методы, которые применялись в теории площадей и объемов на различ-

ных этапах ее развития, начиная от Евклида и до наших дней.

Указанные методы в диссертации даются в такой исторической последовательности:

1. Методы разложения и дополнения.

2. Метод исчерпывания.

3. Методы, основанные на атомистических идеях Демокрита и на законах равновесия рычага.

4. Метод «неделимых» Кавальери.

5. Метод пределов.

6. Метод, основанный на аксиоме непрерывности множества действительных чисел.

В диссертации показывается, что методы разложения и дополнения являлись и являются основными методами отыскания площади многоугольника. В этом же параграфе раскрывается значение этих методов для школы.

Сущность метода разложения, как известно, состоит в том, что равновеликость двух фигур (обычно прямоугольника и многоугольника, площадь которого ищется) устанавливается путем разложения этих фигур на соответственно конгруэнтные части. Метод же дополнения состоит в том, что для доказательства равновеликости двух фигур к каждой из них добавляются соответственно конгруэнтные части, которые вместе с данными фигурами образуют равносоставленные или, более обще, равновеликие фигуры. В этом случае площади данных фигур рассматриваются как разности соответственно равных площадей.

Методами разложения и дополнения также пользуются и при доказательстве теорем об объемах призматических тел.

Из приведенного в диссертации анализа математического содержания вопроса делается вывод, что методы разложения и дополнения не могут быть универсальными, т. е. площади криволинейных фигур и объемы непризматических тел в общем случае не могут быть найдены на основе этих методов.

Многие положения о площадях и объемах только что названных фигур и тел древние греки (в особенности Архимед) открывали методами, основанными на представлениях Демокрита об атомистической структуре пространства и на законах равновесия рычага*. Но эти не чисто геометрические методы не могли удовлетворять греков, придерживающихся принципов геометрической строгости «Начал» Евклида. Поэтому для строгого доказательства этих истин они пользова-

* О сущности этих методов стало известно в 1907 г., когда была найдена и опубликована работа Архимеда «Послание к Эратосфену», или иначе «Эфодик», т. е. «Метод».

лись другим методом — методом исчерпывания, открытом древнегреческим ученым Евдоксом Книдским (ок. 408 — ок. 355 до н. э.).

К названным выше методам, основанным на атомистических идеях Демокрита, весьма близко подошел И. Кеплер (1571—1630 гг.) в своей книге «Новая стереометрия винных бочек», появившейся в печати в 1615 году. Эта книга сыграла выдающуюся роль в зарождении интегрального исчисления. Она оказала непосредственное влияние на итальянского математика Б. Кавальери (1598—1647 гг.) разработавшего свой знаменитый метод «неделимых» (принцип Кавальери).

Под влиянием работ Д'Аламбера (1717—83), С. Е. Гурьева (1769—1813 гг.), Коши (1789—1857 гг.) по мере развития теории пределов метод исчерпывания из учебников геометрии стал вытесняться методом пределов, имеющим несомненные научные и дидактические преимущества перед методом исчерпывания.

Примерно с конца 19 века в теории измерения геометрических величин стали применять (главным образом итальянские авторы) метод, основанный на аксиоме непрерывности множества действительных чисел. Этим методом пользуется П. Долгушин в своем «Систематическом курсе геометрии», Петербург, 1912 г. Указанный метод широко пропагандировал С. А. Богомолов (Аксиома непрерывности как основание для определения длины окружности, площади круга, поверхностей и объемов круглых тел, Петербург, 1916 г.). Этот же метод положен в основу изложения теории измерения геометрических величин в кандидатской диссертации А. И. Фетисова (Опыт преподавания математики в φ. школе, Машинопись, М., 1946 г.) и в его учебном пособии (Геометрия, Издательство АПН РСФСР, М., 1963).

II. Вторая глава диссертации посвящена краткому изложению современного учения о площадях и объемах.

В первом параграфе даются общие сведения о величине к отмечается, что геометрические величины относятся к типу аддитивно-скалярных непрерывных величин, затем дается понятие о задаче измерения площадей (объемов), состоящей в установлении такого соответствия между рассматриваемыми фигурами и числами, при котором:

а) каждой фигуре будет соответствовать определенное положительное число, называемое площадью этой фигуры;

б) равные фигуры будут иметь равные площади и

в) если фигуру разложить на конечное число частей, то площадь всей фигуры будет равна сумме площадей составляющих фигур.

Во втором параграфе излагаются четыре различных варианта теории площадей многоугольников:

1. Теория площадей многоугольников, основанная на аксиоме Де-цольта.

2. Теория площадей многоугольников по С. О. Шатуновскому.

3. Теория площадей ориентированных многоугольников.

4. Неархимедова теория площадей многоугольников.

Здесь достаточное внимание уделяется методологическим вопросам, выясняющим принципиальное различие между перечисленными теориями. Им дается педагогическая оценка с позиций методических установок дисесртации. В частности, делается вывод, что нецелесообразно переносить некоторые из этих вариантов в среднюю школу, во-первых потому что в них отсутствуют общие определения понятия площади и объема и, во-вторых, в них нет ясного отражения идеи непосредственного измерения, основанной на акте откладывания единицы измерения на измеряемом объекте и поэтому эти варианты мало способствуют выработке у учащихся правильного понимания сущности математики как отражения практики.

В третьем параграфе кратко излагается теория площадей плоских фигур с произвольным контуром, а в четвертом параграфе— теория площадей кривых поверхностей. Понятию площади кривой поверхности здесь дается два разных определения, принятых в науке. Первое определение, которое в методически переработанном виде перенесено в среднюю школу, основано на методе полиэдральных приближений. Сущность этого метода заключается в том, что за площадь кривой поверхности принимается предел, к которому стремится площадь соответствующей полиэдральной поверхности* при неограниченном увеличении числа граней и при стремлении к нулю диаметров последних. Второе определение, даваемое площади кривой поверхности, состоит в следующем: берется кривая поверхность и она по обеим ее сторонам покрывается нормальным слоем толщиной 2h. Затем площадь этой кривой поверхности определяется как предел lim V

где V — объем построенного нормального слоя.

Далее, на примере «Цилиндра Шварца» показывается, что первое определение площади кривой поверхности, основанное на методе полиэдральных приближений, не всегда

* Полиэдральной поверхностью данной кривой поверхности называется многогранная поверхность, вершины которой принадлежат данной кривой поверхности.

приводит к правильным результатам и в связи с этим дается педагогическая оценка исследованиям А. Лебега, выясняющим критерий применимости этого метода*.

В пятом параграфе дается понятие о задаче измерения объемов. Раскрывается научное содержание теоремы Дена-Кагана и констатируется, что в силу этой теоремы объемы непризматических тел не могут быть найдены методами разложения и дополнения. Здесь же делается вывод: из-за трудностей формального вывода теоремы Дена-Кагана в школе ее не следует доказывать, но весьма важно фиксировать внимание учащихся на содержательной стороне этой теоремы, на вытекающей из нее ограниченности применения методов разложения и дополнения.

III. В третьей главе методика обучения измерению площадей и объемов рассматривается как средство в работе по повышению математической культуры учащихся.

Если на первоначальных ступенях математического развития учащихся нужно возможно шире использовать непосредственную интуицию, наглядность, здравый смысл и житейский опыт, то на более высоких ступенях этого развития, когда формируется мировоззрение молодого человека, мы должны воспитать в нем умение критически мыслить, менее доверчиво относиться к непосредственной интуиции, остерегаться делать поспешные выводы на основании поверхностных аналогий и непродуманных обобщений.

При решении этой задачи необходимо учитывать, что достижение абсолютной строгости в практике школьного преподавания не только не осуществимо, но и не целесообразно. Ведь целью школьного преподавания является не установление и обоснование новых научных истин, а лишь возможно ясное и точное сообщение некоторых фактов, уже известных пауке. Поэтому логическая строгость школьного преподавания преследует определенные цели: прежде всего приведение всех сообщаемых знаний в единую систему, подчиненную некоторой руководящей идее. Эту идею совершенно ясно должен осознать, во-первых, сам преподаватель, а, во-вторых, и учащийся, которому преподаватель обязан на нее указать и разъяснить ее значение для всей конструкции данной дисциплины. Изучение измерения площадей и объемов служит для этого подходящим материалом.

* Критерий этот состоит в следующем: если последовательность полиэдральных поверхностей Рп неограниченно приближается по положению и направлению к кривой поверхности, имеющей площадь S, то, предел последовательности площадей поверхностей Рп равен S.

Изучение этой теории по предлагаемой методике целесообразно проводить компактно, в одном месте курса геометрии — после изучения многогранников в выпускном классе.

1. В диссертации понятие о площади плоской фигуры рекомендуется вводить на основе полной квадратной масштабной сетки.

Полная квадратная масштабная сетка строится таким образом: в качестве единицы измерения площадей выбирается площадь единичного квадрата Q и с помощью двух семейств параллельных прямых обычным образом строится сетка единичных квадратов Q (т. е. вся плоскость этими прямыми разбивается на квадраты Q). Далее стороны этих единичных квадратов делятся на 10 равных частей и через точки деления проводятся прямые, параллельные прямым первой сетки и, таким образом, получается вторая сетка квадратов. Квадраты Q1, из которых состоит вторая сетка, имеют стороны, равные 1/10. Далее со второй сеткой поступают так же, как и с первой, т. е. стороны ее квадратов делят на 10 равных частей и проводят соответствующие прямые. Тогда получится третья квадратная сетка, состоящая из квадратов Q2 со стороной, равной 1/100. Продолжая этот процесс неограниченно, получают отдельные сетки, которые в совокупности образуют полную квадратную масштабную сетку.

Приведенное здесь построение полной сетки есть математическая модель палетки, с помощью которой на практике осуществляют приближенное вычисление площадей.

Рассмотрим единый прием конструктивного определения понятия площади, приложимый к любой плоской фигуре.

На произвольную фигуру F накладывается полная квадратная масштабная сетка. Путем подсчета соответствующих квадратов составляются две числовые последовательности:

s, s1, s2,sn,... (1)

S, S1, S2,..., Sn,... (2)

Числа s, s1, s2,..., sn,... первой последовательности являются площадями многоугольников, лежащих внутри фигуры F и соответственно состоящих из квадратов Q, Q1, Q2,..., Qn, числа же второй последовательности суть площади многоугольников, содержащих внутри себя фигуру F и состоящих соответственно из тех квадратов Q, Q1, Q2,..., Qn,..., которые имеют хотя бы одну общую точку с фигурой.

Приведенный подход в курсе средней школы позволяет воспользоваться теоремой Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности.

В диссертации приведен пример и разъясняется, что искусственными приемами построены такие плоские фигуры, для которых соответствующие последовательности (1) и (2) имеют различные пределы. Считается, что в образовательном отношении с этим фактом важно познакомить учащихся и только после этого сказать, что за площадь фигуры принимается общий предел последовательностей (1) и (2) и обратить внимание учащихся, что только в этом случае разность Sn—sn между общими членами этих двух последовательностей может быть сделана сколь угодно малой.

Важным моментом в раскрытии излагаемой концепции является разъяснение учащимся, что приведенный прием определения площади одинаково применим для всех фигур, изучаемых в школе и практически приводит к применению палетки.

В диссертации найдены доступные и имеющие важное образовательное значение доказательства следующих основных свойств площадей:

а) каждая из рассматриваемых фигур имеет определенную площадь; иными словами, для каждой из рассматриваемых фигур последовательности (1) и (2) имеют определенный общий предел;

б) равные фигуры имеют равные площади;

в) если фигуру разложить на две части, то площадь всей фигуры будет равна сумме площадей составляющих фигур.

Из этих основных свойств уже логически выводятся и другие свойства: если фигуру разложить на конечное число (больше двух) частей, то площадь всей фигуры будет равна сумме площадей составляющих частей; площадь всей фигуры больше площади части фигуры; равносоставленные фигуры равновелики и другие.

1а. Принятое определение непосредственно применяется для вывода формулы площади прямоугольника. В процессе этого вывода доказывается, что площадь прямоугольника не зависит от способа наложения полной квадратной масштабной сетки. Далее доказываются три основные свойства площадей для многоугольников, а затем на основе теории равносоставленности (методом разложения), изложенной в диссертации, выводятся формулы площадей и остальных многоугольников (треугольника, параллелограмма и трапеции).

Наряду с методом разложения с целью облегчения некоторых доказательств в диссертации употребляется и метод дополнения. Например, теорема о площади параллелограмма методом дополнения доказывается легче, чем методом разложения. Это хорошо видно из сравнения доказательств, при-

водимых в учебниках геометрии Н. А. Глаголева и А. П. Киселева*.

Приведем для примера, как на основе принятого общего определения площади доказывается, что многоугольник имеет площадь.

Сначала составляются последовательности (1) и (2) для. многоугольника. Далее учащимся раскрывается положение о том, что разность Sn—sn между общими членами этих двух последовательностей есть площадь фигуры, состоящей из тех квадратов Qn полной квадратной сетки, которые имеют общие точки с контуром многоугольника. Поэтому утверждение о том, что эта разность сколь угодно мала (т. е. что многоугольник имеет площадь) равносильно тому, что контур многоугольника покрывается фигурой, имеющей сколь угодно малую площадь.

Контур многоугольника состоит из конечного числа отрезков, следовательно, достаточно доказать, что отрезок прямой всегда можно покрыть фигурой, имеющей сколь угодно малую площадь. Для доказательства последнего утверждения берется произвольный отрезок AB и строится прямоугольник АСВД со сторонами а и b так, чтобы этот отрезок служил диагональю построенного прямоугольника. Далее отрезок AB делится на m равных отрезков и для каждого из этих отрезков аналогично строится прямоугольник. Тогда отрезок AB будет покрыт этими прямоугольниками.

Площадь каждого из этих прямоугольников будет —5, а их суммарная площадь, т. е. площадь покрывающей фигуры, будет —,-т = —Отсюда уже ясно, что если число m взять достаточно большим, то площадь— будет сколь угодно малой.

1б. Изложенный метод позволил вывести формулы площадей всех многоугольников.

Принципиальный момент дальнейшей методики составляет переход к вычислению площадей криволинейных фигур. Здесь важно обратить внимание учащихся на то, что площади таких фигур в общем случае уже не могут быть найдены методами разложения и дополнения.

В диссертации доказывается лемма, дающая необходимое и достаточное условие существования площади у фигуры с

* В первом из этих учебников указанная теорема доказывается методом разложения, а во втором методом дополнения.

произвольным контуром. На основе этой леммы обычным образом доказывается теорема о площади круга.

Из других фигур с криволинейным контуром в диссертации рассматриваются такие, контур которых состоит из отрезков и дуг окружностей. Доказывается, что основные свойства площадей имеют место и в случае таких фигур.

2. При изучении объемов все принципиальные вопросы рассматриваются по аналогии с тем, что делалось при рассмотрении теории площадей. Поэтому эти вопросы при измерении площадей должны быть изучены достаточно обстоятельно, с полным пониманием учащимися существа дела. Это сделать тем более необходимо, что невозможен буквальный перенос на изучение объемов. Невозможно, например, осуществить приближенное измерение объема тела путем непосредственного подсчета кубов, заключенных внутри тела.

Учащимся сообщается, что для построения полной кубической масштабной сетки необходимо выбрать единицу измерения объемов — объем единичного куба Q. Далее, по аналогии с полной квадратной масштабной сеткой строится первая кубическая сетка (путем проведения двух семейств параллельных плоскостей), состоящая из единичных кубов Q, затем вторая кубическая сетка, состоящая из кубов Q1 с ребром, равным 1/10, затем третья кубическая сетка, состоящая из кубов Q2 с ребром, равным 1/100 и т. д. Эти отдельные кубические сетки в совокупности составляют полную кубическую масштабную сетку.

Объем произвольного тела определяется как общий предел двух последовательностей:

(11)

(21),

объемы многогранников, заключенных внутри данного тела и состоящих соответственно из кубов Q, Q1, Q2,..., Qn,..., а V, V1, V2,..Vn,... объемы многогранников, заключающих внутри себя данное тело и состоящих соответственно из тех кубов Q, Q2, Q3, ...,Qn,..., которые имеют хотя бы одну общую точку с данным телом.

Учащимся сообщается, что искусственно построены такие фигуры (тела), для которых последовательности (11) и (21) не имеют общего предела, т. е. такие тела не имеют объема. Далее формулируются три основные свойства объемов: а) каждое из рассматриваемых тел имеет определенный объем;

б) равные тела имеют равные объемы;

в) если тело разложить на два тела, то объем всего тела будет равен сумме объемов составляющих тел.

Эти основные свойства не доказываются в классе, а внимание учащихся обращается на то, что доказательства проводятся аналогично тем, которые проводились при изучении площадей.

Основное внимание при изучении объемов уделяется выводу формул различных тел.

2а. Пользуясь полной кубической сеткой, в начале доказывается общая теорема об объеме прямой призмы и прямого цилиндра, далее доказывается (методами разложения и дополнения) лемма о равновеликости прямой и наклонной призм, а затем лемма о площади проекции плоской фигуры. На основе же этих двух лемм доказывается теорема: «Объем наклонной призмы (наклонного цилиндра) равен произведению площади основания на высоту».

Приведенный подход выгодно отличается от обычного тем, что в этом случае нет необходимости рассматривать отдельные случаи призм (три случая для прямоугольного параллелепипеда, два случая для косоугольного параллелепипеда, а затем два случая для произвольной призмы). Такое сокращение изложения стало возможно в результате введения в курс геометрии леммы о площади проекции плоской фигуры, которая к тому же имеет и самостоятельный интерес.

2б. Из непризматических тел в диссертации рассматриваются тела, удовлетворяющие двум следующим условиям, называемым условиями Симпсона:

1. Площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной высоте тела является функцией вида Sсеч =ax2 + bx+c, где а, b и с — постоянные действительные числа, х—расстояние от одного из концов высоты до плоскости сечения.

2. Проекция каждого предыдущего сечения на последующее, при одном и том же для всех сечений направлении проектирования, не выходит за контур последующего сечения.

В диссертации разработана методика изучения объемов этих тел на основе формулы Симпсона

где H — высота тела, S0 и Sn—площади двух оснований тела, Sср — площадь среднего сечения, перпендикулярного высоте тела.

Весьма важно, что учащиеся умели правильно пользоваться этой формулой, умели выяснять вопрос о законности ее применения к конкретно взятому телу.

Возьмем для примера пирамиду с площадью основания So и с высотой H и на этом примере раскроем методику использования формулы Симпсона. Прежде всего нужно показать, что пирамида удовлетворяет обоим условиям Симпсона.

Обозначим площадь произвольного параллельного (к основанию пирамиды) сечения через SCC4 , а через х — расстояние от вершины пирамиды (от верхнего основания) до этого сечения. По известному свойству параллельных сечений в пирамиде, имеем: -77^ = 77; или Sce4 — tjö х2, т. е. для пирамиды выполняется первое условие Симпсона (в данном случае а = ф> b = с = о).

Далее, если за направление проектирования сечений взять произвольное боковое ребро пирамиды и счет параллельных сечений вести от вершины пирамиды, то непосредственно станет ясной и выполняемость второго условия Симпсона.

Итак, к пирамиде можно применить формулу Симпсона V-^ (S0 Нг 4Scp +Sn). В данном случае Sn =0 (верхнее основание пирамиды представляет собой точку), а для получения Sep надо в формулу Sce4 — —fp-*2 вместо х подставить , тогда получим Scp =pj2 "J"Ä* Подставив эти значения в формулу Симпсона, получим формулу объема пирамиды:

Универсальность формулы Симпсона обеспечивает единый подход к вычислению объемов всех элементарно-геометрических тел и в этом — одно из ее преимуществ перед другими подходами.

3. В третьем параграфе главы III излагается методика изучения площади кривой поверхности.

Площадь кривой поверхности определяется как предел, к которому стремится отношение объема нормального слоя, покрывающего поверхность с одной ее стороны, к толщине этого слоя, когда толщина стремится к 0.

Раскроем методику этого подхода на примере поверхности шара. Пусть имеем шар с радиусом R. Как известно, объем этого шара будет ~. Покроем шар нормальным слоем толщиной h. Объем этого слоя Vh , как нетрудно ви-

деть, будет равен разности объемоъ двух шаров соответственно с радиусами R + h и R, т. е.

Рассмотрим теперь отношение

Ясно, что

т. е. площадь поверхности шара будет

Такой подход от принятого в школе подхода выгодно отличается во первых, тем, что он в одинаковой мере может быть применен к любой поверхности и поэтому дает возможность вычислять площади различных поверхностей единым методом. Во-вторых, как само определение площади кривой поверхности, так и вычисление площади легко можно перевести на узык производной.

Так, например, площадь поверхности шара есть не что иное, как производная объема шара по радиусу, т. е.

Этим самым появляется возможность показать учащимся применение понятия производной еще на одном важном примере, взятом из самой математики.

К достоинствам этого подхода нужно отнести и то, что этот подход есть естественное продолжение и логическое уточнение тех примитивных способов оценки площади кривой поверхности (например, обвертывание боковой поверхности цилиндра тонким листом бумаги и так далее), с которыми учащиеся знакомы из пропедевтического курса геометрии и которые встречаются на практике при грубой, приближенной оценке площади кривой поверхности.

Основные положения диссертации прошли экспериментальную проверку в течение 1957—1964 годов автором (сш № 3, сш № 5, сш № б г. Цхинвали Юго-Осетинской авт. области), а также некоторыми учителями (сш № 2, сш № 3 г. Цхинвали).

Степень усвоения материала учащимися выявлялась на основании анализа контрольных письменных работ и устных ответов учащихся.

Результаты экспериментальной проверки показали доступность для учащихся старших классов массовой школы системы, разработанной в диссертации.

У учащихся экспериментальных классов было замечено значительное повышение уровня математической культуры, значительный рост интереса к общим идеям и методам математики.

Сравнительный анализ показал, что знания учащихся, прошедших подготовку в соответствии с разработанной в диссертации системой, заметно глубже и шире знаний учащихся обычных классов. Это различие в основном проявилось: в осознании важности и необходимости давать общие конструктивные определения понятиям площади и объема; в умении видеть эти определения и основные свойства площадей и объемов в действии; в понимании основной идеи и задачи измерения; в осмыслении теоретико-множественного характера измерения и, наконец, в умении самостоятельно применять общие методы к решению конкретных задач.

В экспериментальных классах можно было давать задания, требующие творческого подхода к их решению и недоступные для понимания учащимся массовой школы. Это видно на примере решения следующей задачи из темы «объем многогранника». Нужно было найти объем такого многогранника, который не изучался в классе (четырехскатная крыша, не являющаяся ни призмой, ни пирамидой). Учащиеся экспериментальных классов в основном хорошо справились с задачей: они в начале показали, что рассматриваемый многогранник удовлетворяет условиям Симпсона, а затем, пользуясь формулой Симпсона, правильно нашли его объем.

Учащимся контрольных классов решение этой задачи оказалось недоступным, так как они не владеют общими методами нахождения объемов; учащиеся же экспериментальных классов, как это видно из приведенного итога контрольной работы, показали при этом достаточно высокое математическое развитие.

В целях внедрения разработанной системы в школьную практику автором проведена следующая работа:

В течение 1957—1959 годов диссертантом на эту тему было прочитано три доклада на заседаниях секции преподавателей математики школ г. Цхинвали. В 1962—1964 годах в

Юго-Осетинском госпединституте для студентов 4—5 курсов физмата был организован семинар по вопросам измерения геометрических величин. На этом семинаре с достаточной полнотой была изложена теория измерения всех основных геометрических величин в духе настоящей диссертации и был отобран материал, ставший темой для кружковых работ, организованных студентами во время прохождения педпрактики.

Кроме того, в 1963 г., на курсах усовершенствования учителей при Цхинвальском филиале Института усовершенствования учителей Министерства просвещения Грузинской ССР автором был прочитан курс лекций по вопросам измерения по системе, изложенной в диссертации.

Учителя, перед которыми выступал диссертант с докладами, признавали целесообразность и достоинства предлагаемой в диссертации системы обучения теории измерения площадей и объемов.

Проведенное исследование по теме диссертации позволяет сделать следующие выводы:

1. Предлагаемая система обучения доступна для усвоения учащимися старших классов массовой школы.

2. Она позволяет выработать у учащихся умения самостоятельно прилагать полученные теоретические знания на практике.

3. Она содействует повышению уровня математической культуры учащихся:

а) овладению общими идеями и методами математики, глубокому пониманию пользы общих подходов к однотипным частным вопросам;

б) раскрытию сущности основного метода математики — метода перевода изучаемых явлений на точный язык чисел, то есть метода, на основе которого математика на современном этапе все шире и шире охватывает различные области знаний.

4. Она способствует раскрытию дедуктивного характера построения математики.

5. Она содействует формированию правильного, диалектического мировоззрения, так как учащиеся осознают, что понятия математики являются продуктом практики и что определения этих понятий также диктуются практикой, а не являются произвольными, чисто условными соглашениями.

6. Предлагаемая система способствует успешному продолжению математического образования учащихся в вузе.

Основные положения диссертации содержатся в следующих опубликованных работах автора:

1. Статья «Об одном варианте изложения темы о площади кривой поверхности» в Докладах Академии педнаук РСФСР, 1962 г., № 4.

2. Статья «Изложение учения о площади плоской фигуры в старших классах средней школы» в сборнике «Вопросы перестройки обучения математике в школе», Изд-во АПН, 1963.

3. Брошюра «Измерение площадей и объемов», Методическое пособие, г. Цхинвали, 1963.

4. Некоторые вопросы теории площадей плоских фигур. (Тезисы докладов 24 научной сессии Юго-Осетинского Госпединститута, г. Цхинвали, 1963 г.).

5. Изложение темы о площади круга в курсе математики средней школы. (Тезисы докладов 25 научной сессии Юго-Осетинского Госпединститута, г. Цхинвали, 1964 г.).

6. Статья «Место и значение аксиомы Де-Цольта в теории площадей многоугольников. В Ученых записках Юго-Осетинского Госпединститута, т. 9, Серия физико-математических и биологических наук, г. Цхинвали, 1964.

Подписано в печать A 27856 16/VII 1965 г. Объем 1,25 п. л., тир. 200 экз., зак. 1689, тип. ГКС