КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. ГОРЬКОГО

С. П. АЛЬБЕР

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В СПЕЦИАЛЬНОМ КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент И. Е. ШИМАНСКИЙ

1953 г.

I.

Педагогические институты призваны обеспечить по линии подготовки учительских кадров выполнение директив XIX съезда Коммунистической партии Советского Союза о дальнейшем повышении социалистического воспитательного значения общеобразовательной школы и осуществлении политехнического обучения в средней школе.

Повышение качества подготовки учителей математики в педагогических институтах связано с преподаванием спецкурса элементарной математики, ставшего за последние годы центральной дисциплиной в учебном плане физико-математических факультетов и имеющего своей целью непосредственную подготовку студентов к преподаванию математики в школе.

Вопросы преподавания спецкуса элементарной математики до сих пор недостаточно разработаны. Авторы программы профессора И. К. Андронов и В. М. Брадис, указывают, что «...правильная постановка спецкурса элементарной математики представляет большие трудности, так как здесь дело идет о создании новой весьма своеобразной математической дисциплины, призванной удовлетворять запросы нашей средней школы к подготовке учителей математики»1 и призывают преподавателей педагогических институтов включиться в разработку отдельных вопросов спецкурса и проверке программы в практике преподавания.

К числу наименее разработанных тем спецкурса относятся вопросы тригонометрии. До сих пор не составлен учебник для пединститутов по спецкурсу тригонометрии2. Программа спецкурса по вопросам тригонометрии нуждается в серьезных изменениях. Сделанные в программе ограничения в отношении применений тригонометрии (по программе предусмотрено изучение применений тригонометрических функций в планимет-

1 Программа спецкурса элементарной математики для физико-математических факультетов пединститутов, МВО, 1950, стр. 20.

2 Примечание: После сдачи диссертации был опубликован «Специальный курс тригонометрии С. И. Новоселова».

рии и сферической геометрии) не соответствуют современному состоянию тригонометрии как учения о тригонометрических функциях. Упомянутые ограничения способствуют сохранению среди будущих учителей математики устаревших представлений о тригонометрии как подсобной для геометрии дисциплины и тенденции выводить все свойства тригонометрических функций из треугольника.

Вопросы преподавания тригонометрии в средней школе являются довольно острыми. Общепризнана назревшая необходимость замены устаревшего учебника и перестройки преподавания тригонометрии для школы. Многочисленные материалы о выпускных экзаменах в средних и вступительных экзаменах в высших школах свидетельствуют о пробелах принципиального характера в знаниях по тригонометрии учащихся средней школы, определяемых недостатками в подготовке учителей по этим вопросам. Учащиеся усваивают тригонометрию как дисциплину, применения которой исчерпываются решением геометрических задач. Учащиеся часто имеют недостаточно обобщенные знания о тригонометрических функциях и их свойствах. Учащиеся выполняют часто приближенные вычисления с помощью значений тригонометрических функций без необходимого в практических применениях учета погрешностей приближения.

Диссертация имеет целью разработку преподавания спец курса тригонометрии в пединститутах с точки зрения запросов нашей школы к подготовке будущих преподавателей математики, относя к разработке вопросы:

— анализа состояния преподавания тригонометрии в школе с целью определения требований школы к подготовке учителя,

— составления программы спецкурса тригонометрии и обоснования целенаправленности каждой из тем программы,

— указания последовательности и методов доказательств в теории тригонометрических функций и их применений,

— рассмотрения различных применений тригонометрических функций в геометрии, физике и алгебре, технике и естествознании, способствующих политехнической подготовке учащихся и утверждающих тригонометрию как учение о тригонометрических функциях, рассмотрения вычислений, связанных с применениями на практике тригонометрических функций,

— указания тематики курсовых работ студентов и их докладов в научном студенческом обществе, связанных с спецкурсом тригонометрии.

Диссертационная работа выполнена на основе изучения и анализа автором успеваемости по тригонометрии выпускников средних школ и вступающих в высшие школы в течение трех лет, ознакомления с постановкой преподавания спецкурса тригонометрии в педагогических институтах и проверки авто ром в практике преподавания во Львовском педагогическом институте на протяжении ряда лет разработанных положений спецкурса тригонометрии.

Отдельные разработки и главы диссертации обсуждались на заседаниях отдела математики Украинского научно-исследовательского института педагогики и кафедр математики и методики математики Львовского педагогического института, а также в методических объединениях учителей математики средних школ г. Львова и области.

Работа в целом рассмотрена на заседаниях кафедр математики и методики математики Львовского пединститута и кафедры методики математики Киевского педагогического института.

Диссертация состоит из таких глав:

1. Цели и задачи преподавания спецкурса тригонометрии в педагогических институтах. Основные этапы развития тригонометрии и методики ее преподавания.

2. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции в спецкурсе элементарной математики.

3. Применения тригонометрических функций в геометрии, физике и технике, алгебре.

4 Программа спецкурса тригонометрии в педагогических институтах.

II.

В первой главе освещены следующие вопросы:

1. Место спецкурса элементарной математики в плане подготовки учителей математики средней школы.

2. Цели и задачи преподавания спецкурса тригонометрии в педагогических институтах.

3. Основные этапы развития тригонометрии и методики ее преподавания.

На основании анализа учебных планов педагогических институтов за последние 20 лет показано, что проводимая перестройка дела подготовки учителей математики в соответствии с учебно-воспитательными задачами школы протекает по линии все более четкого определения центральной роли спецкурса элементарной математики в системе физико-матема-

тических факультетов как дисциплины, связанной с подготовкой студентов к преподаванию математики в средней школе и осуществлению в средней школе политехнического обучения в связи с преподаванием математики.

Тригонометрия получила свое современное направление как учение о тригонометрических функциях в трудах петербургского академика Эйлера. Идеи Эйлера о предмете тригонометрии и применениях тригонометрических функций в задачах исследования гармонических колебаний, решения уравнений, в операциях над комплексными числами и др. стали основоположными для создания учебного курса тригонометрии и методики ее преподавания.

Дальнейшие результаты в научной разработке вопросов тригонометрии и создании учебного курса достигнуты в трудах выдающихся отечественных математиков Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского и П. Л. Чебышева и их учеников. Их идеи и взгляды на преподавание тригонометрии сохраняют свое основополагающее значение для преподавания спецкурса тригонометрии и в настоящее время.

Н. И. Лобачевский подчеркивает независимость тригонометрии от геометрии и присущие тригонометрии достоинства анализа. Он считает необходимым в преподавании освещать вопросы использования тригонометрии в теории комплексных чисел, в задачах деления круга на равные части и решения двучленных уравнений, а также вопросы учета погрешностей при вычислениях с приближенными значениями тригонометрических функций. Лобачевский выступает против двух крайностей в преподавании тригонометрии: против изложения теории в отрыве от практических приложений и против превращения теории в перечень рецептов о применениях тригонометрии.

Взгляды М. В. Остроградского на преподавание тригонометрии нашли свое отражение в добавлениях, сделанных автором учебников Ф. Симашко в своей книге. По указанию М. В. Остроградского добавлены вопросы о пределах погрешностей результатов при решении тригонометрических задач, о составлении тригонометрических таблиц, о теории проекций, об обратных тригонометрических функциях, о применениях тригонометрии в военной и инженерной практике.

П. Л. Чебышев в своих заключениях по учебникам, предназначенным для преподавания математики указывает о необходимости ознакомления учащихся в школьном курсе тригоно-

метрии с основаниями для составления тригонометрических таблиц и задачами съемки планов, нивеллирования и др.

Взгляды Эйлера, Лобачевского, Остроградского и Чебышева на преподавание тригонометрии не сразу были оценены их современниками. В учебниках послеэйлеровского периода наряду с новыми взглядами сохранились трактовки, характерные для тригонометрии доэйлеровского периода (раздел «начальные основания плоской тригонометрии» в учебнике 1760 г. Румовского, учебник «Полный курс чистой математики, 1787, Е. Войтяховского и др.).

В сложившийся учебный курс тригонометрии прочно вошли взгляды Эйлера на тригонометрические величины как на функции угла и определение тригонометрических функций как чисел, выражающих отношения соответствующих тригонометрических линий.

Однако до сих пор в школьном курсе тригонометрии неполностью реализованы установки Эйлера на преподавание тригонометрии как учения о тригонометрических функциях и вытекающие из этой установки требования о рассмотрении тригонометрических функций как функций числового аргумента и расширении области применений тригонометрических функций (не ограничиваясь задачами решения треугольников), об ознакомлении учащихся с приближениями тригонометрических функций многочленами.

Анализ материалов о состоянии преподавания тригонометрии в школе показывает что запросы школы к подготовке учителей математики ставят в преподавании спецкурса тригонометрии такие задачи:

1. Понимание тригонометрии как учения о тригонометрических функциях, имеющих широкие применения в технике и естествознании.

2. Будущие учителя математики должны усвоить теорию тригонометрических функций на основе геометрических определений в их общности для всех допустимых значений аргумента, рассматриваемого как число и имеющего различные интерпретации в практических применениях тригонометрических функций.

В преподавании спецкурса необходимо ознакомить будущего учителя с аналитической теорией тригонометрических функций и обоснованием их свойств независимо от геометрических определений.

3. Рассматривать в спецкурсе применения тригонометрических функций в технике, в алгебре и геометрии, способствуя

подготовке студентов к осуществлению политехнического обучения в школе.

При рассмотрении геометрических применений тригонометрических функций студенты должны усвоить вопросы существования различных систем независимых соотношений между элементами треугольника и общие методы решения треугольников, разработанных Тороповым, Шатуновским и др.

4. Ознакомить будущих учителей со способами вычисления значений тригонометрических функций и методами составления таблиц в изложении, доступном для использования в практике средней школы.

5. Обеспечить понимание студентами истории развития тригонометрии под влиянием практических потребностей науки, и техники в учение о тригонометрических функциях и их применениях. Осветить роль и значение результатов отечественных' ученых в создании тригонометрии как науки и разработке учебного курса тригонометрии и методики ее преподавания.

III.

Вторая глава диссертации посвящена преподаванию тригонометрических и обратных тригонометрических функций в спецкурсе элементарной математики и состоит из таких разделов:

1. Геометрическое определение - тригонометрических функций.

2. Обзор свойств тригонометрических функций.

3. Аналитическая теория тригонометрических функций.

4. Связь тригонометрических функций и показательной.

5. Вычисление значений тригонометрических функций и составление таблиц.

6. Обратные тригонометрические функции.

7. Тригонометрические уравнения.

Анализ материалов успеваемости выпускников средней школы показывает, что при существующей практике ограничения применений тригонометрических функций решением треугольников вопросы изучения тригонометрических функций от аргумента любой величины оказываются не связанным с задачами практического применения этих функций. Выпускники средних школ не подготовлены к уяснению операций над тригонометрическими функциями от аргументов вида ах + в, х-, Ух, которыми им приходится иметь дело с первых своих занятий в высшей школе, т. к. в их сознании закрепляется опре-

деление тригонометрических функций как отношений между соответствующими сторонами прямоугольного треугольника и рассмотрение аргумента как угол.

Интересы преподавания тригонометрии в школе требуют, чтобы в спецкурсе тригонометрические функции рассматривались как функции числового аргумента, имеющего различные физические или геометрические интерпретации в задачах физики, алгебры и геометрии. Этим требованиям удовлетворяет определение тригонометрических функций на основе понятий множества и соответствия с использованием аппарата векторов и проекций, оправдавшиеся на опыте преподавания в педагогических институтах. При этом устанавливается: а) взаимнооднозначное соответствие между множеством углов плоскости с общей вершиной (дуг окружности) и множеством действительных чисел, б) Однозначное соответствие множеству действительных чисел множества значений отношений направленных отрезков, определяемых как sin х и cos х. Остальные тригонометрические функции определяются через sin* и cos*.

В такой постановке тригонометрические функции усваиваются с необходимой общностью. Из определений непосредственно вытекают заключения об области определения, знаках, ограниченности, четности, периодичности тригонометрических функций. Закон соответствия определяет каждую функцию для всех допустимых значений аргумента и служит основанием для построения тригонометрических функций с помощью ориентированной единичной окружности их геометрической интерпретации в виде графика.

В разделе о свойствах тригонометрических функций автором дана разработка вопроса об исследовании с помощью элементарных методов свойств монотонности, непрерывности, периодичности, выпуклости и трансцендентности тригонометрических функций на основе принятых определений указанных понятий для функций.

Вопрос о периодичности исследуется для тригонометрических функций различного вида аргумента, в том числе установление наименьших периодов функций аргументов вида ах + в, описывающих гармонические колебания. Исследования периодичности функций на основе общих определений способствуют искоренению распространенных среди студентов ошибочных представлений о периодичности функций вида sin*2, sin ]/х и др.

В соответствии с задачами политехнического обучения при-

водится исследование функции— как пример затухающих колебаний и др.

В разделе об аналитической теории тригонометрических функций и связи тригонометрических и показательной функции признается целесообразным на основе опыта преподавания изложение аналитической теории путем:

а) определения функций С(х), $(х) как суммы соответствующих сходящихся степенных рядов с указанием вытекающих заключений о свойствах этих функций и соотношениях между ними;

б) рассмотрения теорем сложения этих функций и определения корня уравнения С(х) = 0;

в) введения функций;

г) установления тождественности функций С(х), S(x) с функциями cos х, sin х, определяемых геометрически.

Идейное содержание вопросов аналитической теории тригонометрических функций и связи последних с показательной для будущих учителей заключается в том, что в результате снятия с тригонометрических функций ограничений, связанных с их геометрическими определениями, мы расширяем область применения тригонометрических функций на математический анализ и неэвклидовую геометрию, получаем возможность сводить действия над тригонометрическими функциями к действиям над соответствующими показательными функциями, определить показательную и логарифмическую функции для комплексного переменного.

В разделе о вычислении значений тригонометрических функций и составлении таблиц автором дана разработка вопроса о вычислении значений тригонометрических функций с помощью приближенных равенств с двумя, тремя и четырьмя десятичными знаками. Проведенный в ряде школ г. Львова опыт вычисления значений тригонометрических функций с помощью приближенных равенств дал положительные результаты и оказался более целесообразным по сравнению с другими элементарными способами вычисления. Учащиеся усвоили принцип составления таблиц и практическое значение учета погрешности результата вычислений, а также условия допустимости линейного интерполирования при пользовании таблицами.

Для обоснования приближенных равенств тригонометрических функции необходимо элементарное доказательство таких теорем:

В промежутке 0 < х < имеют место:

1)

2)

3) 4) 5) 6) 7) 8)

Для вычисления значений тригонометрических функций с 3-мя знаками получаются приближенные равенства в виде:

и аналогичные приближенные равенства для вычисления с 2-мя, 4-мя знаками.

Элементарный вывод приближенных формул для вычисления значений sin х, cos х с точностью до 7—8 десятичных знаков представлен в приложении 4 стр. 354—362.

В разделе об обратных тригонометрических функциях автором дана проработка темы в связи с теорией об условиях обращения функции. В предложенной разработке удалось избежать громоздких и практически малополезных формул теорем сложения обратных тригонометрических функций, используемых при выполнении тригонометрических операций над выражениями, содержащими обратные тригонометрические функции. При этом обратные функции определяются в каждом из промежутков монотонности тригонометрических функций. Соотношения между обратными тригонометрическими функциями и теоремы сложения выводятся для всех допустимых положительных значений аргумента. Случай отрицательных аргументов приводится к предыдущему с помощью соотношений между 2-мя одноименными обратными тригонометрическими функциями, аргументы которых отличаются знаками.

Тригонометрические операции над выражениями, содержащими аркфункции, выполняются на основании таких теорем:

Теорема 1. Сумма f двух одноименных аркфункции при всех допустимых положительных значениях аргументов принадлежит замкнутому или открытому промежутку

О < т < *

а разность этих аркфукций принадлежит замкнутому или открытому промежутку

Теорема 2. Сумму двух одноименных аркфункции аргументов х и у при всех допустимых положительных значениях аргументов можно выразить черз арккосинус или арккотангенс, а разность через арксинус или арктангенс.

В разделе о тригонометрических уравнениях дана разработка темы в соответствии с требованиями практических задач, решаемых с помощью уравнений, содержащих неизвестное под знаком тригонометрических функций.

Методика преподавания построена на изучении двух видов тригонометрических уравнений:

а) уравнения, алгебраические относительно тригонометрических функций неизвестных;

б) уравнения, не приводящиеся к алгебраическим относительно тригонометрических функций неизвестных.

В связи с этим приведены численные и графические методы нахождения действительных корней уравнений 2-го вида. Предложена разработка, в которой рассмотрены вопросы исследования найденных корней уравнений в случаях выполнения при решении уравнений операций, нарушающих равносильность, и обоснованы вопросы преобразования множества формул общих решений уравнений к простейшему виду; при этом простейшим видом считается ответ, содержащий наименьшее число формул общих решений, а каждое из решений выражается только одной из формул.

В разделе приводятся задачи прикладного характера, решаемые с помощью тригонометрических уравнений.

IV.

Третья глава посвящена преподаванию вопросов применений тригонометрических функций. В сложившемся учебном курсе тригонометрии средней школы область применений тригонометрических функций ограничена решением геометрических задач. Разделы о свойствах и соотношениях тригонометрических функций для аргументов, не меньших 180°, лишены целенаправленности. Получаемые при такой структуре курса знания по тригонометрии не удовлетворяют требованиям подготовки учащихся к практической деятельности и не соответствуют запросам высшей школы к подготовке выпускников общеобразовательной школы. Рассмотрение в спецкурсе различных применений тригонометрических функций соответствует задачам преподавания тригонометрии как учения о тригонометрических функциях и способствует подготовке будущих учителей к осуществлению политехнического обучения в школе. Глава о применениях тригонометрических функций освещает темы:

1. Применения тригонометрических функций в планиметрии.

2. Применения в сферической геометрии.

3. Применения при определении расстояний и измерениях на местности.

4. Применения в физике и технике.

5. Применения в алгебре.

Применения тригонометрических функций в планиметрии составляет единственную цель изучения тригонометрии в традиционном школьном курсе. Как показывают материалы о преподавании тригонометрии в школе, учащиеся не учитывают особеностей (приближенный характер) вычислений при решении треугольников методами тригонометрии. Учащиеся средней школы не имеют отчетливых представлений о связях между теорема о соотношениях, связывающих элементы треугольника, и не ознакомлены с методом составления уравнений для решения треугольников в случаях нахождения неосновных элементов.

Для выяснения в спецкурсе теоретических основ, практического значения и методов решения треугольников с помощью тригонометрических функций в разработке темы освещены следующие вопросы:

а) Треугольник определяется однозначно заданием его 3-х элементов, из которых, по-крайней мере, один линейный (условие необходимо, но недостаточно). Применением тригонометрических функций можно вычислить по достаточному числу данных значения искомых элементов треугольника с требуемой в условии задачи точностью.

б) Для каждого треугольника можно составить различные системы из 3-х независимых уравнений, выражающих соотношения между сторонами и тригонометрическими функциями углов треугольника, устанавливаемые теоремами синусов, косинусов, тангенсов, теоремой о проекциях и другими. Любую из этих систем можно принять как основную и тогда остальные системы уравнений получаются как следствия основной системы.

в) Суть метода решения треугольников с помощью тригонометрических функций по достаточному числу данных заключается в составлении 3-х независимых уравнений, выражающих соотношения между данными и искомыми элементами треугольника. Метод составления уравнений, предложенный Тороповым-Шатуновским для решения треугольников, пригоден во всех случаях нахождения неизвестных элементов треугольника по достаточному числу данных.

г) При решении треугольников с параметрическими данными необходимо систему независимых уравнений, связывающих значения данных и искомых элементов, дополнить соотношениями, определяющими область допустимых значений для каждого из параметров и искомых.

Целенаправленность темы о применениях тригонометрических функций в сферической геометрии нуждается в обосновании. Некоторые преподаватели педагогических институтов считают эту тему неуместной в плане спецкурса, предназначенного для подготовки студентов к преподаванию математики в средней школе. Свойства и соотношения между элементами плоских и сферических треугольников принципиально различны. В сферических треугольниках сумма углов не является постоянной, а сумма сторон является величиной ограниченной. Внешний угол сферического треугольника меньше суммы двух внутренних углов, не смежных с ним. Отличаются формулы сферической и плоской тригонометрии, выражающие соотношения между элементами треугольников. В сферической геометрии нет параллельных линий и подобных фигур. Сферический треугольник полностью определяется заданием его 3-х углов. Однако сферические и плоские треугольники объединяет положение, что плоский треугольник является приближением сферического треугольника, стороны которого сравнительно малы по отношению к радиусу сферы. В этом смысле плоский треугольник может рассматриваться как предельный случай сферического. При этом формулы, выражающие соотношнеия между элементами плоских треугольников получаются из соответствующих формул соотношений сферических треугольников путем предельного перехода.

В такой постановке элементы сферической тригонометрии имеют идейное значение для образования учителя математики и представляют интересную тему для математических кружков учащихся средней школы.

В разделах о применениях тригонометрических функций в физике и технике показано многообразие применений тригонометрических функций на практике и выяснены требования, предъявляемые к аппарату тригонометрии в задачах физики и техники.

Тригонометрические функции применяются тут в задачах, сводящихся к решению треугольников (определение расстояний и геодезических пунктов на местности, съемка планов, триангуляционные работы), в операциях над векторами (равнодействующая нескольких сил, действующих на одну и ту же точку, разложение вектора на составляющие, определение момента силы относительно точки и другие) и задачах, связанных с колебательными движениями. В последних аргументы тригонометрических функций получают физические интерпретации.

а решения задач связаны с исследованием свойств функций вида

sin (а/-f b)\ /stn/;——; a1 sin /; —

В разработке темы дано исследование тригонеметрических функций, применяемых при решении задач физики и техники, и приведены задачи физики и техники, требующие применения тригонометрических функций.

Раздел о применении тригонометрических функций в алгебре представляет разработку преподавания вопросов, подтверждающих широкое применение тригонометрических функций вне геометрии. Мы получаем с помощью тригонометрических функций приближенные значения корней двучленных, кубических уравнений в случаях, когда применение алгебраических методов оказывается затруднительным.

Применением тригонометрических функций обеспечиваем лучшее усвоение комплексных чисел и их значения для решения практических задач. Множество комплексных чисел определяется при этом как множество точек плоскости или множество векторов на плоскости с общим началом в начале системы координат. Множество действительных чисел представляется как отображение оси ОХ, а множество мнимых чисел как отображение оси ОУ. Нахождение суммы и разности двух комплексных чисел в тригонометрической форме, умножение комплексного числа на действительное и умножение двух комплексных чисел приобретают конкретное истолкование Как операции над векторами.

Конкретный смысл получают задачи извлечения корня из комплексного числа, извлечение корня n-й степени из единицы и связь этой операции с делением окружности на равные части. Применение тригонометрической формы комплексного числа делает отчетливым отсутствие понятий «больше» и «меньше» в поле комплексных чисел, а также отсутствие свойств монотонности в операциях над комплексными числами.

V

Заключительная IV глава диссертации посвящена вопросу программы спецкурса тригонометрии для педагогических институтов. Действующая в настоящее время программа исходит из задач спецкурса как дисциплины, имеющей целью непосредственную подготовку студентов к преподаванию математики в средней школе. Однако эта основная установка не нашла конкретизации во многих местах программы, определяющих

содержание отдельных разделов спецкурса тригонометрии. В программе не отражена роль отечественной математики в разработке тригонометрии и создании методики ее преподавания. Область применений тригонометрии остается по программе ограниченной рамками геометрии. Программа содержит много общих мест, не раскрывающих содержания рассматриваемых вопросов, и не дает необходимых указаний о целенаправленности спецкурса тригонометрии в пединституте.

В заключительной главе автором представленны программа спецкурса тригонометрии для физико-математических факультетов педагогических институтов и объяснительная записка к ней, в которых определяется содержание вопросов тригонометрии, их целенаправленность и принципы построения преподавания курса.

Для обеспечения успешного преподавания будущими учителями математики в школе необходимо, чтобы студенты получили навыки в самостоятельной работе над литературными источниками и разработке отдельных вопросов курса. Этой цели подчинено планирование семинарских занятий, курсовых работ и тематики докладов студентов в математической секции студенческого научного общества.

В приложениях представлены рабочий план, в котором автор выделяет вопросы спецкурса тригонометрии, предназначенные для семинарских занятий студентов, тематика вопросов тригонометрии для курсовых работ студентов и докладов в студенческом научном обществе.

В соответствующих разделах диссертации намечены и разработаны темы по тригонометрии, представляющие интерес для школьных математических кружков (представление тригонометрических функций степенными рядами, составление тригонометрических таблиц, элементы сферической тригонометрии и др.).

В приложениях к диссертации представлены также:

1) Протокол объединенного заседания кафедр математики и методики математики Львовского педагогического института, на котором подытожен опыт автора преподавания спецкурса тригонометрии во Львовском педагогическом институте и обсуждена представленная диссертационная работа.

2) Протокол заседания методобъединения учителей математики средних школ г. Львова, в котором представлено обсуждение раздела диссертации.

3) Приближенные формулы для вычисления значений тригонометрических функций многочленами.

ЬИ 20310 Тип. КГПИ, Франко, 44. Зак. 1040—100 23.11-53