ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В. И. ЛЕНИНА

С. А. АХМЕДОВ

ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ И СТУПЕНИ ЕЕ РАЗВИТИЯ В СРЕДНЕЙ АЗИИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по специальности «методика преподавания математики»

Научный руководитель—кандидат физико-математических наук

А. Л. ПЕРЕЛЬДИК

ТАШКЕНТ—1962 г.

РАБОТА ВЫПОЛНЕНА НА КАФЕДРЕ МЕТОДИКИ МАТЕМАТИКИ ТашГПИ им. НИЗАМИ

Ташкентский государственный университет им. В. И. Ленина направляет Вам для ознакомления автореферат диссертации тов. Ахмедова Сайдамина Ахмедовича на тему: «Преподавание арифметики и ступени ее развития в Средней Азии», представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по специальности «методика преподавания математики», защита которой состоится «---» 1962 г. на Объединенном Совете по присуждению ученых степеней по педагогическим наукам при Ташгосуниверситете им. В. И. Ленина.

Отзывы просим направлять по адресу: гор. Ташкент, улица К. Маркса, 32, ТашГУ, отдел науки. Авторефераты разосланы 1962 г.

Ученый секретарь совета:

(ДОЦ. САМАТОВ М. С.)

Народы Средней Азии наряду с другими нациями внесли в мировую культуру большой вклад.

Но в течение многих веков, в условиях захватнических войн иностранных интервентов против народов Средней Азии, многие культурные и материальные ценности этих народов, особенно научные рукописи, были утеряны. Поэтому изучение средневековой культуры народов Средней Азии было очень затруднительным.

Новые возможности открылись после Великой Октябрьской социалистической революции. Советские ученые поставили большую и важную задачу полного исследования всего богатейшего вклада в науку, сделанного средневековыми учеными Средней Азии.

Советские ученые С. П. Толстов, М. Е. Массон, Я. Гуламов, В. А. Шишкин и другие, в результате многолетних раскопок и исследования археологических памятников (до нашей эры и V-VI вв.) обнаружили высокую древневековую культуру народов Средней Азии.

Культура народов Средней Азии развивалась в условиях захватнических и опусташающих войн Александра Македонского, арабских халифатов, Чингисхана, междоусобиц, в условиях борьбы трудящихся против жестокой эксплуатации народа местными и иностранными феодалами.

Выдающимися учеными — математиками средневековья, писавшими свои произведения на арабском языке, были: МУХАММЕД МУСА ХОРЕЗМИ (780—847 гг.), АБУЛ АББАС ФЕРГАНИ (IX в.), АБУ-Л-ВАФА (940—998 гг.), ХОДЖАНДИ (ум. ок. 1000 г.), КУХИ (ок. 990 г.), ХАСИБ КАРАДЖИ (ум. ок. 1025 г.), АБУРАИХАН БИРУНИ (973—1048 гг.), АБУ-АЛИ-ИБН-СИНА (980—1037 гг.), ОМАР ХАЙЯМ (ок. 1048—1122 гг.)), НАСИРЭДДИН ТУСИ (1201—1274 гг.), ГИЯСЭДДИН КАШИ (ок. 1427).

Наряду с ними жили и творили выдающиеся ученые Средней Азии, работавшие в области других наук (литературы, искусства, исторических наук).

В последнее время советские ученые А. П. Юшкевич, Б. А. Розенфельд, Т. Н. Кары-Ниязов, Г. Д. Мамедбейли, Г. Джалалов и другие, изучая научное наследие ученых средневековья Средней Азии АБУ-Л-ВАФА, АБУРАЙХАНА БИРУНИ, ОМАРА ХАЙЯМА, НАСИРЭДДИНА ТУСИ, УЛУГБЕКА, ГИЯСЭДДИНА КАШИ в области математики и астрономии, дали полную картину их математического творчества. Кроме того, мы имеем некоторые сведения о великих средневековых математиках — астрономах Средней Азии — МУХАММЕД ХОРЕЗМИ, ФЕРГАНИ, ХОДЖЕНДИ, АЛ-КУХИ, АН-НАСАВИ и др.

Профессор Юшкевич в своей статье «О математике народов Средней Азии в IX—XV веках», а также в своем выступлении на съезде математиков отметил, что «нами полностью не изучен весь вклад в науку, в частности, в математику, математиков Средней Азии, а если известны, то произведения наиболее крупных ученых (НАСИРЭДДИНА, ГИЯСЭДДИНА. АЛ-КАРАДЖИ и других) да и то только в незначительных отрывках». Кроме этого он ставит перед советскими учеными большие и важные задачи дальнейшего исследования всего богатейшего вклада в науку, сделанного средневековыми учеными.

В своей работе, кроме литературы вышеуказанных авторов, я изучил более двадцати рукописей на арабском, персидском и узбекском языках, написанных в IX—XIX веках на нынешней территории Средней Азии. Некоторые из этих рукописей хранятся в архивах советских библиотек, научных учреждениях, пять из них — в библиотеке автора.

В данной работе, в основном, освещаются произведения математиков Средней Азии, относящиеся к арифметике целых чисел.

Диссертация состоит из следующих глав:

Глава I — Общий обзор истории математики в Средней Азии (§§ 1—5).

Глава II — Преподавание математики в медресе (§§ 6—7).

Глава III —Системы счисления, применяемые в школах Средней Азии (§§ 9—10).

Глава IV — Действия удвоения и раздвоения (§§ 10—12).

Глава V — Сложение и вычитание (§§ 13—15).

Глава VI — Умножение (§§ 16—19).

Глава VII — Деление (§§ 21—22).

Глава VIII — Возвышение в степень и извлечение корней (§§ 24—29).

Глава IX — Проверка правильности действия («мерило») (§§ 30—31).

Глава X — Суммирование последовательностей натуральных чисел (§§ 32—35).

Глава XI — Арифметика дробных чисел.

В работе рассматривается:

1. Содержание и методы изложения арифметики у средневековых математиков.

2. Развитие арифметики в Средней Азии, начиная с IX века и до XX века, сюда включаются произведения таких среднеазиатских математиков, как АБУ-Л-ВАФА, ХОДЖАНДИ, КУХИ, ХАСИБ КАРАДЖИ, ОМАР ХАЙЯМ, ТУСИ, НИШАБУРИ, КАШИ и других.

3. Содержание и методы преподавания арифметики в медресах в XVIII—XIX веках и их связь с произведениями средневековых математиков Востока по арифметике.

В ПЕРВОЙ ГЛАВЕ (§§ 1—3) диссертационной работы дается вкратце описание научной деятельности указанных ученых в области математики и астрономии.

Затем в работе дается критика буржуазных историков, отстаивающих неправильные взгляды и недооценивающих большие научные достижения ученых математиков Средней Азии.

В иностранной печати историки—математики считали МУХАММЕДА ХОРЕЗМИ и последующих ученых Средней Азии «арабскими» математиками. Примером могут служить произведения историков—математиков и востоковедов (БРОКЕЛЬМАН, ЗУТЕР, ЛЮКЕЙ, ФАЦЦАРИ, ТРОПФКЕ, ЦЕЙТЕН, БЕЛЛЮСТИН). Они (буржуазная печать) недооценивали математиков средневековья Востока, самостоятельность и оригинальность их научных взглядов. Например, ДЖ. ЛОРИА и БЕЛЛ под разными предлогами отрицают научные достижения математиков средневековья Востока. Они считают, что заслугой математиков Востока являются только переводы и комментарии научных работ греческих ученых.

Советские ученые, глубоко изучая научное и культурное наследие математиков и астрономов Средней Азии, стараются правильно определить их научные достижения и вклад, внесенный ими в мировую науку, и доказывают, что так называемые «арабские» математики являются в действительности математиками Средней Азии.

В настоящее время уже никто не отрицает, что ученые Востока выделили алгебру как самостоятельную математическую дисциплину. Благодаря трудам этих ученых создана плоская и сферическая тригонометрия. Они дали геометрическую теорию решений уравнений третьей степени, разра-

ботали операции над простыми и десятичными дробями и вложили большой труд в развитие геометрии.

Четвертый параграф этой главы дает общий обзор более двадцати неизданных рукописей, хранящихся в рукописном фонде Института Востоковедения при АН УзССР и в личной библиотеке автора. Из них особое внимание уделяется произведениям ТУСИ (XIII в.), НИШАБУРИ (XIII—XIV вв.), КУБАВИ, СИДЖОВАНДИ (XIV в.), ХОДЖАНДИ, КАШИ (XV в.), БАБАКАЛАНА МУФТИ (XVII в.) и др.

На основе указанных произведений автором показано:

1. Какие изменения произошли в арифметике и в способах выполнения действий со времени составления МУХАММЕДОМ ХОРЕЗМИ труда по арифметике.

2. Принципиальное научное и методическое различие в арифметике каждого из этих авторов.

По своему содержанию и методике изложения ОГРОМНОЕ ЗНАЧЕНИЕ среди рукописей, относящихся к арифметике, имеет произведение ТУСИ «Джам ал-хисаб би-т-тахти ва-т-туроб» («Сборник по арифметике при помощи доски и пыли»).

НАСИРЭДДИН ТУСИ этим своим произведением обогатил с научной и методической стороны и усовершенствовал арифметическое произведение ХОРЕЗМИ.

В этом произведении НАСИРЭДДИН ТУСИ при изложении позиционной системы МУХАММЕДА ХОРЕЗМИ подчеркивает, что для обозначения любого большого числа, кроме девяти цифр и нуля (обозначающего отсутствие предметов), нужны еще три символа: (ашар—10), (миот—100) и (алф.— 1000). При изложении арифметики целых чисел им дается определение каждого действия и указываются различные способы выполнения этих действий. Он знает, что среди различных способов выполнения действий самым простым является обычный (современный нам) способ и указывает, как выполняются действия по этому способу. При изложении арифметики дробей указывает на причины, порождающие дроби, дает своеобразную классификацию дробей в зависимости от их знаменателя (делителя). Дает метод изучения действий над дробями. Излагает методы нахождения общего наибольшего делителя и общего наименьшего кратного двух и более чисел, которые он применяет при нахождении общего знаменателя дробей для их сложения и вычитания. Если МУХАММЕД ХОРЕЗМИ и другие среднеазиатские математики, жившие после него, дали точные и приближенные способы извлечения корней 2-ой и 3-ей степени из целого и дробного чисел, то ТУСИ объясняет способ извлечения корня

любой степени из чисел, формулу бинома любой натуральной степени и способ нахождения его коэффициентов. Кроме того, излагаются способы проверки правильности выполнения действий над числами — способы проверки с помощью 9 и 11. Понятное для того времени и простое и сжатое изложение арифметики показывает, что ТУСИ был не только математиком, но и талантливым методистом.

Наряду с арифметическим произведением ТУСИ заслуживает внимания и работа его современника и ученика МАВЛАНА НИЗАМЭДДИНА НИШАБУРИ под названием «Шамсия фи-л ал-хисаб» («Солнце арифметики»), а также произведения КАШИ, СИДЖАВАНДИ, КУБАВИ, АМИЛИ, БАБАКАЛАНА МУФТИ и других. Все последующие руководства были основаны на вычислениях на бумаге, без стирания результатов промежуточных действий. Первое из этих руководств принадлежит НИШАБУРИ. Наибольшее значение для преподавания арифметики классических произведений— «Ключ арифметики» («Мифтах ал-хисоб») ГИЯСЭДДИНА КАШИ, «Краткий трактат об арифметике» («Рисала ал-мухтасар дар хисаб») МУХАММЕДА ИБН АЛИ КУБАВИ и «Трактат об исчислении алгебры и алмукабала» («Ри-« сала бил джабр ва-л-мукабала») АБДУРАШИДА СИДЖАВАНДИ.

В ПАРАГРАФЕ ПЯТОМ освещен материал об историческом значении трудов среднеазиатских математиков в преподавании математики в средней школе. В настоящее время в учебной программе по математике и в учебниках средней школы при прохождении определенной темы недостаточно освещен материал, касающийся трудов среднеазиатских математиков.

Учитывая это положение, данный параграф излагает ряд методических рекомендаций по преподнесению ученикам сведений о трудах среднеазиатских математиков с тем, чтобы свои знания передать ученикам и воспитать их в духе советского патриотизма и любви к Родине.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ (§§ 6—7) освещается преподавание математики в медресе. Здесь дается краткий обзор о медресах. Затем рассказывается о содержании математики, преподаваемой в медресах. Хотя предметы, преподаваемые в медресе, не имела плана и программы, но преподавались они в определенной системе, выработанной в течение длительного периода. Из математических наук под названием «ал-хисаб» преподавались арифметика, алгебра и геометрия. Математика в медресе преподавалась также в определенной системе, выработанной на основании произведений среднеазиатских математиков. Например, ХОРЕЗМИ, ТУСИ, КАШИ и другие.

В своих произведениях, после изложения нумерации чисел десятичной позиционной системы, они переходят к удвоению и раздвоению чисел и заканчивают способом извлечения корня. В таком же порядке велось преподавание математики в медресе.

Арифметика, преподаваемая в медресе, в основном состоит из двух частей. В первой части излагается десятичная позиционная система исчисления, целые и дробные числа и действия над ними, простые и составные числа, общий наибольший делитель и общее наименьшее кратное двух или нескольких чисел, последовательность чисел и нахождение их суммы, проверка правильности действий вспомогательными средствами, «мерилом». Кроме этого преподается извлечение корня и возведение в степень. Во второй части излагается отношение и пропорция, и задачи, относящиеся к ним. Одновременно с этими действиями излагаются методы устных вычислений под названием «хисаби ал-хава».

В медресе в курс алгебры, которая по обычаю среднеазиатских математиков Востока считалось неотъемлемой частью математики, было введено определение неизвестного методом джабр (восстановление) и ал-мукабала (противопоставление), а также методом допущения двух ошибок (хисаб ал-хата'ин). Эта часть математики называлась «хисаб ал-джабр ва ал-мукабала»: определение неизвестного способом восстановления и противопоставления.

Кроме того, в курс математики входили элементы геометрии, элементарные задачи на построение, геометрические величины (измерение площадей, объема, высоты и глубины) и элементы геодезии. Эта часть математики называется «баб ал — масаха» — глава об измерении. В последней части математики рашаются сложные задачи на распределение имущества, по мусульманскому обычаю, между наследниками, для чего требуется знание математики. Таким образом, преподаваемая в медресе арифметика, которая является частью математики, состоит из курса практической арифметики, включающей и элементы теоретической арифметики.

Применяется в медресе в качестве учебника в рукописном виде «дафтари машк фараиз» или «тетрадь упражнений по распространению имущества между наследниками».

«Дафтари машк фараиз» является расширенным конспектом учителя или студента, составленным на основании научных произведений средневековых математиков Востока. В этой рукописи (машк дафтари) дается методика проведения каждой темы и решение различных типов примеров и задач, относящихся к данной теме. «Дафтари машк фараиз» является объемистой книгой, т. е. включает в себя вышеизло-

женные отрасли математики (арифметику, алгебру и геометрию) .

Эту книгу можно считать энциклопедией элементарной математики своего времени. Образцами описанной тетради могут служить рукописи, хранимые в рукописном фонде института Востоковедения Академии Наук Узбекистана: 1) рукопись № 2818, написанная в 1851 году (автором ее считается один из муддарисов Бухарской медресе), 2) рукопись — № 735, написанная в 1859 году ХИСЯМЭДДИНОМ ХОДЖОЙ на персидском языке, а также рукопись, хранящаяся в библиотеке автора, написанная в 1890 году СИРАЖИДДИНОМ —сыном АХМЕДХОДЖИ ТАШКЕНДИ и написанная в 1892 году АХРАРОМ МАХСУМОМ ТАШКЕНДИ.

Седьмой параграф рассматриваемой главы критикует неправильные мнения о содержании курса математики в медресе. Некоторые из авторов указывают на то, что в медресе геометрию преподавали в искаженном виде, а в курсе арифметики проходили только четыре действия, ограничиваясь целыми числами. Книга «Хуласат ал-хисаб» БАХАЭДДИН АМИЛИ считалась основным руководством.

Например, А. Х. ИШБУЛАТОВ во вступительной части своей диссертации «Преподавание математики в киргизских средних школах» пишет, что в медресах до революции по арифметике преподавались только четыре действия, а в планиметрии тема об измерении площади проходилась искаженно, т. е. любой четырехугольник принимали за правильный четырехугольник; сторону любого треугольника принимали за его высоту. Автор не привел достаточных доводов для подтверждения правильности высказанных им мыслей.

Если мы глубоко проанализируем вышеуказанные научные произведения более двадцати средневековых математиков Средней Азии, а также составленные на этой основе учебники и «тетради» (дафтари машк фараиз) для упражнений, применявшихся в медресе в XVIII—XIX вв., то мы не встретим ни одной темы по математике, которая преподавалась бы с математическими ошибками. Кроме этого в медресах изучалась не только арифметика целых чисел, но и арифметика дробных чисел, и кроме четырех действий над ними изучались действия возведения в степень и извлечения корней с любым натуральным показателем.

ГЛАВА III посвящена описанию применяемых в школах Средней Азии систем исчисления — позиционной десятичной системе на основе индийских цифр и позиционной шестидесятиричной системе на основе буквенных цифр, «абджад». Одновременно показывается, как развивалась позиционная

система и методы ее изложения в медресах после МУХАММЕДА ХОРЕЗМИ.

В IV—VIII ГЛАВАХ («действия над целыми числами») говорится: 1. Об определении арифметических действий, 2. Об этапах развития приемов решения арифметических действий, употребляемых в настоящее время, 3. Об исторических данных о времени возникновения приемов, употребляемых в настоящее время.

Индийские математики пользовались в арифметике шестью действиями (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня). ХОРЕЗМИ— распространитель индийской арифметики — ввел в качестве самостоятельных действий удвоение и раздвоение и поэтому пользовался в своем сочинении восьмью арифметическими действиями. Таким образом, начиная со времени ХОРЕЗМИ до XX века в произведениях среднеазиатских математиков и учебниках, применявшихся в медресе, рассматривались восемь арифметических действий.

В тех же главах подвергается критике предположение историков математики о проникновении из Египта в среднеазиатскую математику действий удвоения и раздвоения, использовавшихся для извлечения корня.

Из произведений среднеазиатских математиков и учебника, используемого в медресе, видно, что действия удвоения и раздвоения возникли в Средней Азии и нужны не только для извлечения корня, но и для более быстрого систематического производства устных исчислений.

Далее излагаются приемы производства арифметических действий. Среднеазиатские математики производили в основном арифметические действия методом «сатх» (плоский) и таблицы. Метод «сатх» является усовершенствованным видом известного способа ХОРЕЗМИ, НАСАВИ, КАРАДЖИ, ТУСИ.

НАСИРЭДДИН ТУСИ арифметические действия выполняет на доске (посыпанной песком или землей) по способу МУХАММЕДА ХОРЕЗМИ, вычеркивая промежуточные цифры и записывая на их место другие цифры. МУХАММЕД НИШАБУРИ, КАШИ, СИДЖАВАНДИ и др. при выполнении действий основным способом считают табличный способ и, начиная с действия удвоения, кончая действием извлечения корня, действия выполняют таблично без вычеркивания цифр.

В трактате ТУСИ дается оригинальное изложение и ряда других вопросов арифметики — указывается 10 видов умножения.

В применяемых в медресе учебниках и в тетради для упражнений показаны оба способа.

Известно из истории арифметики, что европейские математики XV—XVII веков употребляли в арифметических действиях приемы, употребляемые и в наше время. Но математики Средней Азии уже в XIII веке пользовались этими же приемами.

Кроме того 8-я глава работы знакомит с методом ТУСИ, извлечения корня из чисел на основе «биномиальной теоремы». Здесь же дается сопоставление метода ТУСИ с методами извлечения корня из чисел и биномиальной теоремой, данными его современником НИЗАМЭДДИНОМ МУХАММЕДОМ НИШАБУРИ и научным сотрудником Самаркандской обсерватории ГИЯСЭДДИНОМ КАШИ.

А. П. ЮШКЕВИЧ и Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД в комментариях к трактату ГИЯСЭДДИНА АЛ-КАШИ «Ключ арифметики» и А. П. ЮШКЕВИЧА в статье «Математика народов Средней Азии» и в книге «История математики в средние века» подробно останавливаются на истории извлечения корня из чисел и биномиальной теореме и отмечают, что вопрос об извлечении корня любой натуральной степени из чисел и о формуле бинома для любого натурального показателя в арабской литературе впервые встречается в произведении КАШИ и предполагают, что до КАШИ этот вопрос рассмотрен ОМАРОМ ХАЙЯМОМ и БИРУНИ.

Наши исследования показывают, что НАСИРЭДДИН ТУСИ на 162 года раньше КАШИ в работе под названием «Об определении других оснований» (степеней) изложил и научно обосновал метод извлечения корня любой натуральной степени и биномиальную формулу для любого натурального показателя.

В IX ГЛАВЕ дается способ проверки правильности выполнения арифметического действия, а также история «мерила» и причины его употребления; о преимуществах проверки посредством 11 (в этом случае «мерилом» является уже не сумма всех цифр, как при проверке с помощью 9, а разности суммы цифр, стоящих на четных и нечетных местах), предложенной НАСИРЭДДИНОМ ТУСИ, над проверкой посредством 9-ти, которая очень часто использовалась при проверке, правильности исполнения арифметических действий в средние века.

ДЕСЯТАЯ ГЛАВА (§§ 32—35) знакомит с методами нахождения суммы последовательности чисел у среднеазиатских математиков. Последние рассматривают арифметическую и геометрическую прогрессию и суммы вторых, третьих и четвертых степеней чисел натурального ряда.

В параграфе 32 этой главы даются исторические сведения о нахождении суммы последовательности чисел. Если геометрическая и арифметическая прогрессии и вычисление суммы вторых степеней чисел натурального ряда были известны математикам древнего Вавилона, Египта, Греции, то среднеазиатский математик ХАСИБ КАРАДЖИ, живший в XI веке, вывел геометрическим способом формулу вычисления суммы третьих степеней чисел натурального ряда. ГИЯСЭДДИН КАШИ, в свою очередь, определил способ нахождения любого члена и суммы членов арифметической и геометрической прогрессии, а также способ вычисления суммы четвертых степеней натурального ряда. §§ 33—35 этой главы знакомят с этими способами.

В ПОСЛЕДНЕЙ ГЛАВЕ дается краткий обзор арифметики дробных чисел. Здесь сообщается об исторических данных учения о развитии дробных чисел. Среднеазиатские математики МУХАММЕД ХОРЕЗМИ и АБДУЛЛА ХАСАН ДЖИЛИ, развив Вавилонскую шестидесятичную систему, создали асболютную шестидесятеричную систему. С помощью этой системы изображаются дробные числа, производятся действия над ними. ГИЯСЭДДИН КАШИ первый создал десятичные дроби и систематически применял их в арифметических действиях и измерениях геометрических величин. Кроме этого он разработал операции над простыми и десятичными дробными числами. В ПОСЛЕДНЕЙ ГЛАВЕ рассмотрены рассуждения указанных математиков, связанные с отмеченными большими открытиями.

Опираясь на вышеизложенное, можно вывести следующее:

1. Проанализировав рукописи средневековых математиков Средней Азии, можно заключить, что они вложили свой ценный вклад в развитие математики, в частности, арифметики.

2. Опираясь на сведения, полученные в результате изучения рукописей, можно считать, что в XVIII—XIX вв. в медресе Средней Азии преподавалась математика, в которую входили арифметика, алгебра и геометрия, о чем раньше историки-математики дали неточные сведения.

3. Среднеазиатские математики, развив и усовершенствовав арифметические действия намного раньше математиков Европы, пользовались в арифметических действиях приемами, употребляемыми в наше время.

4. Наши исследования показывают, что НАСИРЭДДИН ТУСИ, развив арифметические действия, изложил и научно обосновал на 162 года раньше ГИЯСЭДДИНА КАШИ метод извлечения корня любой натуральной степени и биномиальную формулу для любого натурального показателя.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. «Сонлардан илднз чиқаришда Урта Осиё математикларининг куллаган усуллаги», журн. «Совет мактаби», Ташкент, № 4, 1961 г., объем 1 п. л.

2. «Урта Осиё математикларининг асарларида купайтириш усули»,. журн. «Совет мактаби», Ташкент, № 5, 1962 г., стр. 46—50.

СДАНЫ В ПЕЧАТЬ:

3. «Урта Осиёда бутун сонлар арифметикасининг ўқитилиши ва унинг тараққий эттирилиши», Ученые записки Ташгоспединститута, 1962 г., объем 2 п. л.

4. «Арифметик ва геометрик прогрессияларни ўқитишда Урта Осиё математикларнинг қуллаган усуллари», журн. «Совет мактаби», Ташкент, 1962 год. объем 1/2 п. л.

5. Извлечение корня любой степени и формула бинома у Насир ад-Дина ат-Туси в сборнике. «Историко-математические исследования»,. Москва, 1962 г. объем 1 п. л.

Р-12696 Сдано в набор 9/Х-1962 г. Подписано к печати 17/Х-1962 г. Объем 1,0 печ. л. Тираж 200.

Типография Изд-ва АН УзССР, зак 1102, г. Ташкент ул. Хорезмская дом, 9.