МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени А. И. ГЕРЦЕНА

На правах рукописи

Старший преподаватель кафедры элементарной математики Ленинградского Государственного педагогического института имени А. И. Герцена Х. Б. АБУГОВА

СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ В РАБОТЕ С УЧАЩИМИСЯ IX КЛАССА ПО ПЕРВОЙ ТЕМЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике преподавания математики)

Научный руководитель — доцент, кандидат педагогических наук Б. В. Журавлев

ЛЕНИНГРАД 1956

Официальные оппоненты: профессор Депман, Иван Яковлевич

доцент, кандидат педагогических наук Любицина, Мария Ивановна

Защита состоится в Ленинградском Государственном педагогическом институте имени А. И. Герцена (Ленинград» Мойка, 4в) 24 мая 1956 года.

Автореферат разослан «24» апреля 1956 г

Ответственный редактор Б. В. Журавлёв.

Ш9677 10-IV-56 г. Тип. «Сталинец» зак. 1369 т. 100

В Директивах XX съезда КПСС по шестому пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1956—1960 годы формулированы грандиозные задачи, стоящие перед общеобразовательной школой. В шестой пятилетке намечено осуществить в основном всеобщее среднее образование в городах и сельской местности. Для успешного решения этой задачи требуется дальнейшее улучшение преподавания основ наук.

В системе школьных предметов значительное место занимают математические дисциплины и, в частности, геометрия.

Советская школа достигла больших успехов в деле повышения качества преподавания геометрии. Однако, как показывают данные приемных экзаменов в вузы и наблюдения за работой школ, усвоение некоторых разделов школьной программы по геометрии остается недостаточным. Одним из таких разделов является тема «Прямые и плоскости», изучаемая в IX классе, первая тема курса стереометрии. В относящихся к ней вопросах многие учащиеся обнаруживают пробелы в знаниях, отсутствие необходимых умений и навыков.

Достижение полноты знаний, умений и навыков учащихся во многом зависит от последовательного проведения с ними систематически подобранных упражнений1.

Упражнения стабильных учебника и задачника по этой теме предназначены, главным образом, для закрепления и обобщения знаний, уже воспринятых и осознанных. В учебнике и задачнике нет упражнений, подготавливающих восприятие и помогающих осмысливанию нового материала, нет и других упражнений, облегчающих первые шаги в усвоении темы: почти нет задач на доказательство и на построение, которые возможно было бы использовать на первых уроках стереометрии, отсутствуют упражнения для обучения стереометрическому чертежу; преобладающим видом упражнений являются задачи на вычисление. Неглубокое усвоение мате-

1 Термины «упражнение» и «задача» мы считаем здесь равнозначными.

риала в самом начале темы затрудняет последующую работу с учащимися при закреплении знаний и снижает качество окончательного усвоения.

Упражнения в стабильных пособиях недостаточны и для закрепления изученного. Некоторые важные понятия не включены в упражнения (например, понятие угла между скрещивающимися прямыми), вследствие чего учащиеся не усваивают их. Геометрический материал, используемый в задачах, однообразен. В подборе задач иногда нет ясной перспективы, необходимой преемственности и постепенности усложнения. Способы задания данных и формулировки требования в задачах слишком однотипны. Несовпадение системы расположения предложений этого раздела в учебнике и в задачнике приводит к тому, что изучение первых двадцати трех параграфов учебника не сопровождается упражнениями.

В учебной и методической литературе приводится богатый материал, который может быть использован для восполнения и систематизации упражнений по теме «Прямые и плоскости», но он разрознен и в ряде случаев нуждается в предварительной методической обработке. Некоторые виды упражнений, необходимые в преподавании данного раздела, недостаточно представлены и в литературе.

Вопрос о требованиях, которым должна удовлетворять система упражнений к теме «Прямые и плоскости», рассматривается в диссертации Р. С. Черкасова «Постановка стереометрических задач в средней школе». Отдельные замечания по этому вопросу встречаются в учебной и методической литературе. Однако, вследствие сложности проблемы, многие важные стороны ее не освещены в имеющихся работах. Это затрудняет подбор и систематизацию материала, необходимого учителю IX класса.

Цель настоящего исследования: а) выяснить основные методические требования, которым должна удовлетворять система упражнений, помогающая учителю улучшить методику работы по первой теме стереометрии и облегчающая учащимся усвоение этой темы, б) составить один из возможных вариантов такой системы упражнений и проверить его на практике.

Методические требования к системе упражнений должны соответствовать общим методическим положениям о преподавании геометрии и отражать особенности методики преподавания темы «Прямые и плоскости». Поэтому исследование начинается с рассмотрения основных вопросов методики преподавания данной темы. К этим вопросам относятся: задачи

изучения темы, особенности усвоения ее учащимися, важнейшие методы и приемы преподавания, помогающие усвоению.

При составлении системы упражнений приходится решать разнообразные методические задачи. В настоящем исследовании выясняется:

1) назначение упражнений на различных этапах процесса усвоения;

2) возможность использования некоторых упражнений для обучения построению стереометрических чертежей;

3) назначение, место и удельный вес задач на построение, на доказательство и на вычисление в системе упражнений к теме «Прямые и плоскости»;

4) последовательность упражнений;

5) особенности формулировок упражнений, относящихся к данной теме.

При изучении вопроса о последовательности упражнений выбирается определенный вариант системы изложения теоретического материала темы, так как система изложения теории в известной степени определяет последовательность упражнений.

При изучении особенностей формулировок упражнений выясняется целесообразность использования наглядных пособий различного вида в преподавании отдельных подтем, а также значение, место и удельный вес устных упражнений. Эти вопросы рассматриваются в той степени, в какой они получают отражение в формулировках упражнений.

При исследовании каждой из перечисленных выше проблем дается краткий анализ решения ее в учебной и методической литературе.

Настоящая работа выполнялась на протяжении 1947— 1955 гг. Основные положения диссертации выработаны в процессе изучения учебной и методической литературы и анализа наблюдений, накопленных автором в течение многолетней педагогической работы (24 года). В диссертации использован также опыт некоторых ленинградских учителей и данные вступительных экзаменов в Ленинградский Государственный педагогический институт имени А. И. Герцена.

Предлагаемая в диссертации система упражнений проверялась в личном опыте работы автора в школах № 210 и № 221 (1948—1953 гг.), а также в опыте работы следующих учите-

лей школ Куйбышевского района г. Ленинграда: Алексеевой 3. Г. (210 школа), Бобылевой А. И. (221 школа), Будиловой А. И. (210 школа), Кисляковой Л. К. (221 школа), Титовой А. И. (221 школа), Хайнман В. И. (212 школа), Юрч И. А. (221 школа).

В 1954—1955 учебном году материал диссертации был обсужден и использован учителями некоторых школ Октябрьского района г. Ленинграда.

Критерием целесообразности предлагаемых упражнений при проверке материала диссертации служило качество усвоения учащимися темы «Прямые и плоскости». Оно определялось путем анализа устных ответов и письменных работ учащихся. Для сравнения качества усвоения темы учащимися школ, работавших по рекомендуемой системе, и учащимися других школ проводились специальные контрольные работы.

Вслед за проверкой в предлагаемую систему упражнений вносились необходимые поправки и дополнения.

В первой главе диссертации рассмотрены основные вопросы методики преподавания темы «Прямые и плоскости».

Эта тема имеет особое значение для усвоения школьного курса геометрии в целом. Изучение ее переводит учащихся в область новых, стереометрических понятий, полнее отражающих свойства пространственных форм действительного мира, чем понятия планиметрии. Материал темы является обобщением планиметрического материала и той основой, на которой строятся все последующие разделы стереометрии. Поэтому результатом работы по теме должно быть не одно только усвоение изучаемых собственно в ней предложений и умение применять их к решению практических вопросов. Учащиеся должны также уметь рассматривать предложения стереометрии в связи с разнообразными вопросами планиметрии и применять в дальнейшем эти связанные между собой знания.

В процессе изучения темы «Прямые и плоскости» необходимо вести специальную работу по образованию новых для учащихся пространственных представлений, лежащих в основе стереометрических понятий. Необходимо также углублять понимание отдельных логических вопросов, которые в этой теме должны быть широко использованы.

При изучении первой темы стереометрии учащиеся встречаются с новой для них постановкой вопроса об изображениях

и конструктивных задачах. Нужно научить их выполнению стереометрических чертежей и решению задач на построение в пространстве. Эти умения облегчают усвоение курса стереометрии и входят в состав подготовки учащихся к практической деятельности.

Таким образом, работа над темой «Прямые и плоскости» должна внести качественно новый элемент в осуществление каждой из целей преподавания геометрии, формулированных программой.

Успешной реализации перечисленных учебных задач соответствует система методических приемов, построенная с учетом особенностей усвоения учащимися данной темы. Эта система в методической литературе освещена неполно. В диссертации сделана попытка изложить ее полнее.

Представления трехмерных объектов образуются у учащихся на первых порах медленно. Поэтому с началом работы по уточнению пространственных представлений связана и соответствующая организация процесса восприятия. Материал восприятия подбирается так, чтобы он содействовал постепенному возрастанию обобщающей силы возникающих представлений. В преподавании используются упражнения, активизирующие мыслительную деятельность учащихся в процессе восприятия. В дальнейшей работе большое внимание уделяется упражнениям в преобразовании и комбинировании имеющихся представлений.

Абстрактность материала темы и трудность образования новых представлений и понятий заставляют на протяжении всего процесса ее изучения проводить упражнения, направленные и на конкретизацию изучаемого, и на развитие способности к обобщению.

Усвоение темы «Прямые и плоскости» затрудняется большим числом как аналогий, так и различий, во-первых, между новыми предложениями в данной теме и уже известными предложениями планиметрии, во-вторых, между предложениями из различных мест самой темы. Значительным разнообразием отличается и словарный состав изучаемого материала: отдельным понятиям соответствует несколько названий, отдельным теоремам несколько эквивалентных формулировок. Это затрудняет усвоение терминов и предложений темы «Прямые и плоскости». Большого умственного напряжения требует усвоение тех понятий, которые являются обобщением соответствующих понятий планиметрии. Трудности усвоения учащимися обобщенных знаний увеличены здесь и тем, что эти зна-

ния вначале неустойчивы, и если не ведется систематической работы, помогающей их укреплению, то вскоре вместо них снова появляются прежние, более узкие представления и понятия.

Преодоление перечисленных трудностей достигается широким использованием сравнения в процессе обучения, постановкой упражнений, способствующих усвоению новых терминов и предложений, специальными приемами, которые обеспечивают прочность усвоения. Необходимо также уделить большое внимание (особенно вначале) контролю над пониманием учащимися изучаемого материала. В условиях классно-урочной системы обучения это легче всего достигается в процессе устной работы, происходящей при непосредственном общении учителя и ученика. Поэтому на начальных ступенях овладения новыми знаниями, на первых уроках стереометрии следует шире использовать устную работу, лишь постепенно переходя от нее к письменной.

При изучении первых стереометрических понятий часто приходится основываться на непосредственном опыте и интуиции учащихся. Это затрудняет реализацию требования о повышении уровня развития их логического мышления. Трудности, возникающие в процессе логического оформления нового материала, усугубляются и недостаточным усвоением учащимися некоторых логических вопросов. Поэтому в данной теме уделяется много внимания упражнениям на закрепление знаний отдельных элементов логики и задачам на доказательство.

При изучении темы «Прямые и плоскости» учащимся приходится одновременно усваивать большое количество разнообразных знаний. В целях облегчения возникающих при этом затруднений преподавание строится так, что весь комплекс необходимых учебных вопросов расчленяется и в работу с учащимися последовательно включаются отдельные его части; только затем рассматривается в целом вся совокупность изучаемого материала.

Каждый метод и прием обучения достигает наибольшего успеха, если в процессе применения его учитель опирается на активную деятельность учащихся. Одной из наиболее распространенных форм проявления активности учащихся является выполнение ими упражнений. Вследствие трудности усвоения темы «Прямые и плоскости» упражнения должны занять основное место в преподавании ее.

Во второй главе дается анализ упражнений, рекомендуемых в стабильных пособиях. Анализ имеет целью выяснить, обеспечивают ли эти упражнения решение задач преподавания темы «Прямые и плоскости». В этой же главе рассматривается наиболее значительная учебная и методическая литература, использование которой поможет восполнить существующие пробелы в постановке упражнений. Выясняются и недостаточно разработанные в литературе вопросы, относящиеся к изучаемой проблеме.

Третья глава заключает в себе решение вопроса о системе изучения теоретического материала темы «Прямые и плоскости», которая должна служить основой рекомендуемой системы упражнений. Из наиболее известных в практике преподавания систем изложения данной темы выбирается система, предложенная И. Н. Кавуном1. В этой системе сначала рассматриваются все возможные взаимные положения прямых и плоскостей, взятых по две, а затем взаимные положения трёх и более плоскостей. По сравнению с системой стабильного учебника предлагаемый план изложения больше соответствует решению поставленных учебных задач. В нём более ясны принципы систематизации материала, поэтому учащиеся лучше усваивают последовательность изучаемых предложений, а это помогает их восприятию и запоминанию. Знание системы расположения теоретического курса помогает и усвоению связи между рассматриваемыми понятиями, что существенно для развития логического мышления учащихся. В указанной системе с большей постепенностью усложняются изучаемые образы, что обеспечивает более последовательное развитие пространственных представлений учащихся.

В четвертой главе выясняются методические требования, которым должна удовлетворять система упражнений к теме «Прямые и плоскости», и даётся характеристика предлагаемых упражнений. Содержание этой главы изложим подробнее; укажем основные методические черты рекомендуемой системы упражнений.

В первом параграфе четвертой главы рассматривается во-

1 И. Н. Кавун. Введение в стереометрию (под ред. В. А. Крогиуса), рукопись.

прос о назначении упражнений на различных этапах процесса усвоения.

Для успешного усвоения темы «Прямые и плоскости» на всём протяжении её изучения наибольшее значение имеют следующие типы упражнений:

1) упражнения, подготавливающие первоначальное восприятие и дальнейшее усвоение;

2) упражнения с применением нового материала, способствующие его пониманию и закреплению;

3) упражнения, помогающие расширению и обобщению знаний по теме.

1. Чтобы обеспечить активность и сознательность усвоения нового предложения, надо прежде всего помочь учащимся самостоятельно найти его формулировку, то есть его условие и заключение. Этой цели служат две группы упражнений. В процессе решения упражнений первой группы учащиеся знакомятся с соотношением геометрических объектов, которое указано в заключении нового предложения. Решение упражнений второй группы помогает найти условие существования этого соотношения, то есть условие нового предложения. Упражнения второй группы должны быть различных видов в зависимости от того, индуктивным или дедуктивным путём вводится новая теорема. В диссертации даётся характеристика каждой группы упражнений.

Самостоятельное проведение доказательства некоторых теорем затрудняет учащихся, поэтому ставятся упражнения, подготавливающие доказательство теорем. Особенно важны упражнения, подготавливающие косвенное доказательство, так как учащиеся недостаточно умеют пользоваться методом приведения к противоречию, а многие теоремы в этой теме доказываются косвенным путём. Вследствие искусственности отдельных доказательств необходимы и специальные упражнения, которые привлекают внимание учащихся к отправному моменту рассуждений при доказательстве.

2. Упражнения с применением новых знаний охватывают почти все звенья процесса обучения, следующие за введением новой теоремы. Решаемые посредством их частные учебные задачи разнообразны.

Важными видами упражнений этого типа в теме «Прямые и плоскости» являются упражнения на сравнение рассматриваемых объектов с другими, а также упражнения: в различении терминов, которые нередко смешиваются учащимися, в использовании различных формулировок одной и той же

теоремы и другие упражнения, способствующие усвоению словесного содержания нового предложения.

Большое значение имеют и упражнения в конкретизации теоретического материала темы. Содержанием их являются преимущественно такие конкретные комбинации изучаемых объектов, рассмотрение которых помогает решению и других учебных задач. Так, много места уделяется изучению комбинаций стереометрических и планиметрических объектов. На этом материале подкрепляются и обобщаются знания, полученные в курсе планиметрии, и усваиваются многообразные конкретные варианты данного взаимного положения прямых и плоскостей. При подборе указанных комбинаций имеется в виду и подготовка учащихся к усвоению дальнейшего курса стереометрии. Поэтому в задачи включаются преимущественно такие комбинации пространственных объектов и плоских фигур, которые встретятся в следующих темах. К упражнениям в конкретизации изученного относятся и упражнения практического содержания. Эти упражнения предлагаются по мере возможности в каждой подтеме. Во многих из них данными или искомыми элементами являются углы, поэтому в процессе их выполнения используются тригонометрические понятия.

Некоторые виды упражнений ставятся со специальной целью обеспечить прочность приобретенных знаний. На протяжении всего периода работы над темой практикуются упражнения, содержащие понятия и соотношения, рассмотренные в предшествующих подтемах; предлагаются и упражнения в различающем сопоставлении легко смешиваемых учащимися предложений: а) из курсов планиметрии и стереометрии, б) из различных подтем данной темы. Уделяется также внимание упражнениям, в которых используются видовые понятия одного и того же рода. В последних подтемах ставятся упражнения на систематизацию пройденного. При этом учащиеся знакомятся с новыми для них принципами систематизации предложений темы «Прямые и плоскости». Так, рекомендуются упражнения в систематизации, основанной на идее расширения планиметрических понятий параллельности, перпендикулярности и угла.

3. Упражнения, помогающие расширению и обобщению знаний по теме, вследствие абстрактности своего содержания, являются наиболее трудными для учащихся. Подготовка к ним ведется постепенно. Вначале ставятся упражнения в обобщении отдельных фактов. Такое обобщение, сохраняя в некоторой степени частный характер, более доступно уча-

щимся; только вслед за ним оказывается посильным более широкое обобщение. Так как выполнение этих упражнений расширяет круг вопросов, предусмотренных программой, то в систему упражнений к данной теме включаются задачи на доказательство только отдельных предложений, на которые приходится опираться в .процессе решения дальнейших задач.

В двух следующих параграфах четвертой главы выясняются требования, которым должны удовлетворять упражнения, используемые при обучении выполнению стереометрических чертежей и упражнения на построение, на доказательство и на вычисление; дается характеристика каждого вида упражнений.

1. В соответствии с методическими положениями о преподавании данной темы на первых лорах её изучения применяются окружающие предметы и модели, затем осуществляется постепенный переход к чертежу и, наконец, к использованию слова, не подкрепленного наглядностью. Чем лучше усваиваются признаки нового объекта, тем быстрее можно переходить к чертежу. Некоторые объекты можно задавать на чертеже уже на третьем—четвертом уроке стереометрии. Поэтому обучение построению стереометрических изображений начинается сразу после окончания планиметрии. Вначале повторяются известные из курса черчения свойства параллельных проекций и выполняются упражнения на изображение плоских фигур в произвольной параллельной проекции. Обоснование свойств параллельных проекций дается после рассмотрения соответствующих стереометрических теорем. Знакомство с чертежами трехмерных фигур происходит в связи с изучением этих фигур. Чтобы в сознании учащихся образовалась отчетливая связь между свойствами оригинала и свойствами изображения, вначале ставятся упражнения в непосредственном проектировании пространственных моделей. В процессе решения специально подобранных задач вводится понятие полного изображения и решаются задачи на закрепление этого понятия. Вследствие преимущественно позиционного характера темы, а также вследствие того, что основным объектом изучения являются неограниченные образы, понятие метрически определенного чертежа не рассматривается. В диссертации приведены расположенные в определенной системе упражнения, которые приучают учащихся при выполнении иллюстраций к теоремам и задачам различать элементы фигур, изображаемые в некоторой степени произ-

вольно, и элементы, определяемые строгим построением. Упражнения выполняются преимущественно на основании знания свойств изображаемых фигур.

2. Кроме конструктивных задач на проекционном чертеже, решение которых помогает выработать у учащихся умение фактически строить искомые элементы, для успешного усвоения данной темы нужны и упражнения в воображаемом построении. В них доказывается существование новых объектов и исследуются необходимые и достаточные условия существования этих объектов.

Целесообразно начинать построения в пространстве с того вида построений, который ближе к конструктивным задачам геометрии плоскости. Наиболее доступным для учащихся видом задач являются конструктивные задачи на проекционном чертеже, в процессе решения которых не требуется использования особого способа изображения точек пространства. Эти задачи мы называем простейшими конструктивными задачами на проекционном чертеже. Для решения их достаточно уметь изображать данные, знать свойства рассматриваемых в задаче объектов и постулаты построения на плоскости. В указанных задачах, как и в конструктивных задачах планиметрии, искомый элемент находится фактическим построением. Эти задачи появляются с первых же уроков стереометрии в подтеме «Аксиомы плоскости». В диссертации рассматриваются их виды и дается последовательность их расположения.

В следующей подтеме вводятся воображаемые построения. Особенности упражнений этого вида лучше осознаются в сопоставлении с конструктивными задачами на проекционном чертеже. Воображаемые построения используются только при доказательстве существования взаимных положений прямых и плоскостей, изучаемых в теоретическом курсе, и их простейших комбинаций. Более сложные упражнения трудны для учащихся и выходят за пределы требований программы.

После теорем о параллельности прямой и плоскости учащиеся знакомятся с особым способом изображения точек пространства1 и соответствующими задачами на построение. В этой теме предлагаются задачи на построение тех конфигураций, которые входят в упражнения на построение сечений в многогранниках, так как умение решать конструктивные задачи на проекционном чертеже используется в дальнейшем,

1 См. Н. Ф. Четверухин. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. Учпедгиз, 1952.

главным образом, при построении сечений в многогранниках. Чтобы обеспечить необходимую перспективность в преподавании темы «Прямые и плоскости», ставятся упражнения на построение сечений в кубе, подобранные в определенной последовательности.

Упражнения в воображаемом построении и конструктивные задачи на проекционном чертеже решаются параллельно с момента их введения и до конца изучения темы.

Так как проведение анализа и исследования решения вначале затрудняет учащихся, то предлагаются специальные упражнения, предназначенные для выработки соответствующих умений.

3. Задачи на доказательство новых свойств изучаемых конфигураций являются одним из основных видов упражнений по данной теме. Чтобы решать их, достаточно знать теоретический материал темы «Прямые и плоскости»; поэтому они ставятся при изложении каждого вопроса этой темы. Они значительно различаются по степени сложности, поэтому используются на каждом этапе обучения. Рассматриваемый вид задач представлен здесь упражнениями на конкретизацию предложений данной темы и задачами, способствующими расширению и обобщению пройденного. При первичном изучении основное значение приобретают упражнения на конкретизацию материала темы. Упражнения, в которых рассматриваются новые связи между изучаемыми предложениями, проводятся преимущественно при повторении.

Необходимые знания логики усваиваются, главным образом, попутно. Только логические вопросы, содержащие элементы нового, или вопросы, плохо усвоенные в прошлом, закрепляются и уточняются с помощью специальных логических упражнений. В диссертации указываются эти вопросы и даётся система соответствующих упражнений.

4. В задачах на вычисление к данной теме рассматриваются чаще всего комбинации плоских и трехмерных фигур. Это объясняется позиционным характером темы, а также тем, что объектом изучения являются неограниченные образы; поэтому основным метрическим материалом, используемым в задачах на вычисление, являются теоремы о свойствах плоских фигур. Так как предложения данной темы применяются преимущественно в процессе обоснования, то в этих задачах, помимо вычисления, часто содержатся элементы доказательства и дополнительное построение. Вследствие указанных особенностей задач на вычисление, их следует использовать на такой сту-

пени обучения, когда у учащихся уже выработаны необходимые знания и умения и осталось только закрепить их, повторить и расширить. Поэтому задачи на вычисление появляются только в середине темы; причём вначале они сопровождаются специальными упражнениями в проведении обоснованных рассуждений, так как учащиеся пропускают обоснования при решении задач на вычисление. Кроме того, на первых порах, решению каждой задачи на вычисление предпосылаются задачи на доказательство частных свойств тех геометрических объектов, которые даны в её условии, или на построение дополнительных элементов, рассматриваемых в её решении. Во второй половине темы задачи на вычисление широко используются для конкретизации изученного материала.

В последнем параграфе четвертой главы выясняются основные требования, которым должны удовлетворять формулировки упражнений к теме «Прямые и плоскости», и даётся характеристика упражнений с точки зрения особенностей их формулировок.

В рекомендуемой системе упражнений, кроме определенных задач, ставятся неопределенные и переопределенные задачи. Разнообразны и формулировки требования задач. Помимо упражнений, содержащих требование, изложенное в обычной форме (построить, доказать, вычислить), в систему упражнений включаются задачи-вопросы, в которых предлагается выяснить свойства заданных объектов при определенных условиях; задачи, в тексте которых содержится требование провести исследование; упражнения, в которых предлагается раскрыть ошибочность приведенных рассуждений.

В формулировках упражнений отражается и указанная выше система использования наглядности. Она завершается решением упражнений без наглядных пособий.

Особо важное значение в теме «Прямые и плоскости» приобретают устные упражнения. Это значение определяется, во-первых, ролью устной работы в данной теме, во-вторых, наличием разнообразных видов упражнений, которые целесообразно решать устно (упражнения в чтении чертежей, упражнения, решаемые без наглядных пособий, и др.). Устные упражнения применимы на всех этапах обучения. Вследствие изложенного, устные упражнения занимают много места в системе упражнений к данной теме. На первых уроках стереометрии основная масса упражнений выполняется устно. В дальнейших подтемах устные упражнения постепенно вы-

тесняются письменными, но число их всё же остается значительным. В диссертации отмечаются некоторые особенности формулировок устных задач.

В пятой главе представлен один из вариантов системы упражнений (содержащий 497 задач1), построенный в соответствии с методическими положениями, установленными в настоящей диссертации. Попутно дается анализ усвоения первой темы стереометрии учащимися, в работе с которыми применялась рекомендуемая система упражнений.

Система упражнений строится так, что каждая из поставленных выше учебных задач осуществляется постепенно на протяжении всего периода работы по теме. Весь процесс решения отдельной учебной задачи разбивается на звенья и каждое звено связывается с определенной подтемой. Таким образом, при изучении темы «Прямые и плоскости» учащиеся последовательно овладевают всей совокупностью необходимых знаний, умений и навыков.

Первая подтема посвящается повторению свойств параллельных проекций и выработке у учащихся умения изображать плоские фигуры в произвольной параллельной проекции.

При изучении второй подтемы («Аксиомы плоскости») у учащихся накапливаются новые пространственные представления и, прежде всего, представления прямой и плоскости как неограниченных образов, и уточняются понятия точки, прямой и плоскости как абстрактных математических понятий; учащиеся усваивают также соотношения между этими понятиями, указываемые в изучаемых предложениях, и соответствующие этим соотношениям термины. В подтеме «Аксиомы плоскости» начинается работа по закреплению отдельных элементов логической культуры. Прежде всего ставятся упражнения, помогающие осознанию роли аксиом в курсе геометрии. В связи с изучением необходимых и достаточных признаков плоскости и некоторых других объектов уточняются понятия «необходимо» и «достаточно»2. Так как в процессе изучения этих признаков приходится выяснять условия единственности рассма-

1 Некоторые из этих задач приведены в нашей статье «Задачи к первым разделам стереометрии», ж. «Математика в школе», 1951, № 5,

2 Приведенные в диссертации логические упражнения аналогичны упражнениям, рекомендуемым в нашей статье «О некоторых пробелах в подготовке учащихся и средствах преодоления этих пробелов», «Ученые записки ЛГПИ им. А. И. Герцена», т. 95.

триваемых объектов, предлагаются упражнения в доказательстве единственности. Ставятся также упражнения, предназначенные для обучения анализу и исследованию решения. Вводятся простейшие конструктивные задачи на проекционных чертежах и продолжается начатая в предыдущей подтеме работа над стереометрическим чертежом, но здесь уже учащиеся обучаются выполнению чертежей объемных фигур.

Основным видом упражнений являются устные задачи на доказательство, решаемые на моделях и отчасти на чертежах.

При изучении следующей подтемы («Взаимные положения двух прямых») происходит дальнейшее расширение пространственных представлений учащихся. Оно осуществляется, главным образом, в процессе усвоения новых признаков, которые приобретают в пространстве объекты, известные из курса планиметрии. Специальная работа по развитию логического мышления учащихся дополняется упражнениями на закрепление умения использовать в доказательстве косвенный метод, который часто применяется для доказательства существования и единственности некоторых взаимных положений прямых. Так как при косвенном методе доказательства необходимо знать соотношение изучаемых понятий, ставятся и упражнения на закрепление знания классификации взаимных положений двух прямых в пространстве. Продолжается также работа по выполнению чертежей трехмерных фигур. Наряду с простейшими построениями на проекционных чертежах, вводятся упражнения в воображаемом построении.

Основными видами упражнений в этой подтеме являются задачи на построение и на доказательство. Значительно больше места, чем в предыдущей подтеме, занимают письменные упражнения, выполняемые с чертежом.

В подтеме «Взаимные положения прямой и плоскости» задача дальнейшего «развития пространственных представлений учащихся решается путем изучения признаков новых пространственных объектов, которым нет аналогичных в планиметрии. При этом достаточное внимание уделяется знакомству с разнообразными объектами одного и того же рода и усвоению соответствующих названий. Наряду с дальнейшим закреплением рассмотренных ранее логических вопросов ставятся и новые. Так как некоторые теоремы здесь сопровождаются и обратными им предложениями, решаются упражнения на закрепление умения конструировать теоремы, обратные данным. На материале подтемы «Взаимные положения прямой и плоскости» повторяются некоторые, известные

учащимся, предложения планиметрии и стереометрии и рассматриваются отдельные конфигурации, содержащие плоские и пространственные фигуры, которые будут часто встречаться в курсе X класса. Упражнения в изображении этих конфигураций способствуют дальнейшему закреплению приобретенных учащимися графических навыков. Появляются и новые виды конструктивных задач — задачи, для решения которых требуется особый способ изображения точек пространства.

При изучении этой подтемы, наряду с задачами на доказательство и на построение, постепенно вводятся задачи на вычисление. Основным наглядным пособием остается чертеж. Некоторое место уделяется упражнениям без пособий. Чаще ставятся задачи, решаемые письменно.

В подтеме «Взаимные положения двух, трех и более плоскостей» приобретенные знания, умения и навыки закрепляются на новом материале. Большое внимание уделяется обобщению и систематизации изученных понятий и повторению пройденного.

В этой подтеме появляются сложные вычислительные задачи, решаемые письменно. Значительное место отводится устным задачам, решаемым без чертежа.

Как свидетельствуют устные ответы и письменные работы учащихся, часть которых приведена в диссертации, в процессе изучения темы «Прямые и плоскости» с использованием предлагаемых упражнений постепенно преодолеваются трудности, обычные в работе над данной темой, вследствие чего учащиеся более успешно овладевают необходимыми знаниями, умениями и навыками. Сравнение качества усвоения изучаемого материала учащимися, работающими по предлагаемой системе, и учащимися школ, в которых обучение ведется по стабильным учебнику и задачнику, показывает более глубокое усвоение темы учащимися экспериментальных классов. Это позволяет сделать вывод о целесообразности содержания, формы и расположения предлагаемых упражнений. Тем самым подтверждаются и те методические положения, на основе которых построена рекомендуемая система упражнений.