МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО и СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Узбекской ССР

Ташкентский государственный педагогический институт им. Низами

А. Абдухамедов

РАЗВИТИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УМЕНИЙ И НАВЫКОВ У УЧАЩИХСЯ В ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ (НА МАТЕРИАЛЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ)

731-методика преподавания математики

Научный руководитель-кандидат физико-математических наук, доцент Перельдик А. Л.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Ташкент-1969

Работа выполнена на кафедре общей математики Самаркандского государственного университета имени Алишера Навои.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук доцент Перельдик Александр Львович.

Официальные оппоненты:

Доктор педагогических наук (по методике математики), и. о. профессора Агаев Б. А.

Кандидат педагогических наук (по методике математики) Хабиб P. A.

Ведущее высшее учебное заведение - Ферганский государственный педагогический институт имени Улугбека.

Автореферат разослан " " 1969 г.

Защита диссертации состоится " " 1969 г.

на заседании Объединенного совета по присуждению ученых степеней по педагогическим наукам при Ташкентском государственном педагогическом институте имени Низами.

Просим Вас принять участие в заседании совета или прислать свой отзыв (в 2-х экз.. заверенный ученым секретарем совета и скрепленный печатью) по адресу:

г. Ташкент, Ф-64 Педагогическая ул., 103.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

И. о. ученого секретаря совета: (доцент Афонина С.И.)

В программе КПСС говорится: "Система народного образования строится таким образом, чтобы обучение и воспитание подрастающего поколения были тесно связаны с жизнью, с производительный трудом".1)

выполнение этой важной задачи в определенной степени зависит от постановки математического образования, в частности вычислительной работы, от уровня работы по воспитанию у учащихся умения и навыка вычислять рационально. быстро и с нужной точностью, ибо школьный курс математики находит свое применение в большей части через вычисления, как точные, так и приближенные.

Требования о введении приближенных вычислений в курс средней школы, как известно, выдвигались еще в конце XIX века под влиянием передовых учителей того времени. Первая попытка внедрения приближенных вычислений в школь была предпринята в 1927 году. Однако отсутствие соответствующих сведений в учебниках и методических разработок привело к не удовлетворительной постановке преподавания и впоследствии эти сведения были исключены из учебных программ. Теперь дело изменилось: школа имеет полную возможность разрешить эту проблему.

В этом направлении определенное значение имело включение в школьную программу (1960 г.) раздела "Приближенные вычисления", в основу которых положен один из широко используемых на практике методов - правила подсчета цифр.

В новых программах по математике (1968 г.) несколько усилено внимание к приближенным вычислениям, в частности предусмотрено внедрение в восьмилетней школе метода строгого учета погрешностей - способа границ.

Можно полагать, что знание учащимися способов строгого учета погрешностей станет не только желательным, но и необходимым для изложения отдельных основных учебно-программных материалов. Так, акад. А. H. Колмогоров предлагая свой подход к раскрытию сущности односо из важнейших разделов новой программы-учения о показательной и логарифмической функциях, говорит:"Мое изложение построено в предположении, что учащимся известна иррациональность ^~1Г и применимость к иррациональным числам

1) Материалы ХХП съезда КПСС, М., Госполитиздат. 1961

простейших приемов приближенных вычислений с оценкой результата сверху и снизу. Никакой "теории" иррациональных чисел мое изложение не предлагает".1)

Следует такке ожидать, что в будущем содержание изучаемых сведений по приближенным вычислениям может быть уточнено в деталях с учетом результатов экспериментального преподавания и предложений авторов новых учебников и техника оценки погрешностей будет доведена до полной ясности (см. объяснительную записку к новым учебным программам, "Математика в школе", № 2, 1968).

В нашей стране издается обширная литература по теории и практике вычислений в школе, о педагогическом опыте по этой теме. Вопросам методики проведения вычислительных работ в школе посвящено большое количество научно-методических исследований.

Этой проблеме посвящены труды многих видных ученых и методистов-математиков А. Н. Крылова, П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, А. И. Маркушевича, А. А. Глаголева, В. М. Брадиса, И. К. Андронова, И. Н. Шевченко, С. Е. Ляпина, В. Г. Прочухаева и др.

В трудах проф. В. М. Брадиса проблема организации вычислительных работ в школе, как неотъемлемая часть всего математического образования учащихся, выдвигается на передний план. Широко известны его такие труды, как "Вычислительная работа в курсе средней школе" (АПН РСФСР, М., 1962) и "Средства и способы элементарных вычислений" (переведена на узбекский язык, Ташкент Укувпеддавнашр, 1956), являющиеся основными руководствами для организации вычислительной работы с учащимися.

Эти проблемы в настоящее время получают особую актуальность, главным образом, в связи с введением новой программы пс математике, которая предусматривает значительные изменения как по последовательности изложения, так и по подходу-в сведениях о приближенных вычислениях.

Заслуживает внимания вопрос об изучении опыта преподавания приближенных вычислений и анализ типичных трудностей в их усвоении учениками.

Тем не менее анализ научно-методической и учебной ли-

1) А. Н. Колмогоров, статья "Обобщение понятия степени и показательная функция", журн. "Математика в. школе", 1965, стр. 26.

тературы, постановки вычислительной работы во многих школах Самаркандской области, проведенный автором, показывает наличие ряда вопросов, требующих своего решения.

Коротко остановимся на главнейших из них:

1. Во многих школах наблюдается низкий уровень вычислитель ной культуры у учащихся. На учебных занятиях мало пользуются приемами рационального вычисления, редко проводятся вычислительные работы. Нередко учащиеся принимают приближенные числа за точные и без разбора переносят свойства точных чисел на приближенные, нарушают логику приближенных вычислений. Все это объясняется главным образом не пониманием основных принципов правил подсчета цифр и ответственных вычислений, чему в известной степени способствует то, что в существующих ныне учебниках и задачниках слабо освещены допросы приближенных вычислений.

2. В учебной и методической литературе, вышедшей за последние двадцать лет, основное место занимали вопросы внедрения в школе правил подсчета цифр и нужных для их изучения сведений о приближенных числах; при этом учебные и методические пособия повторяют одни и те же сведения, дополняя лишь их отдельными деталями. Это относится и к большинству статей, помещенных в журнале "Математика в школе". Вместе с тем в литературе остаются недостаточно освещенными некоторые сведения, нужные для обучения приближенным вычислениям в школе. Так, в стабильных учебниках нельзя найти указаний относительно умножения приближенного числа с точным, приближенных вычислений с логарифмическими и тригонометрическими величинами и т. п. В отдельных случаях предлагается недостаточно разработанные рекомендации. Так, З. И. Слепкань в статье "Некоторые вопросы культуры тригонометрических вычислений" ("Математика в школе", № 3, 1962) дает правило нахождения углов по данному приближенному значению тригонометрический функции. Однако правило слабо учитывает особенности изменения тригонометрических функций, а поэтому нередко приводит к неверному округлению найденных значений функций или аргументов. Это легко проверить при помощи способов приближенных вычислений со строгим учетом погрешностей.

Ряд правил для запоминания дает также Н. Я. Прайсман, что не оправдано вычислительными потребностями курса математики и других смежных предметов (канд. дисс. "Основы теории

приблгенных вычислений по методу подсчета цифр и методика их преподавания в школе", М., 1964).

3. Методисты-математики, преподаватели общеобразовательных школ все чаще стали обращать свое внимание к вопросам внедрения в школе способов строгого учета погрешностей, имеющих большое практическое применение, доступных учащимся и являющихся прекрасным примером приложения изучаемой учениками теории (см. материалы дискуссии по вопросам приближенных вычислений в школе, "Математика в школе", № 1, 4, 5, 6, 1964). Это в некоторой степени нашло свое отражение в новых учебных программах по математике (1968).

Тем не менее в указанных программах сведения о приближенных вычислениях, на наш взгляд, не совсем удачно расположены, не предусмотрен также ряд важнейших сведений, что не дает возможности теснее увязать изучение приближенных вычислений с остальным учебным материалом, обеспечить преемственность и непрерывное использование их в учебном процессе:

согласно новой программе первое представление о приближенном числе должно быть сообщено уже в IV классе, в процессы прохождения правила округления и среднего арифметического чисел. Но в следующих двух классах (V, VI классы) фактически ничего нового к ранее сообщенным не вносится: не предусмотрено дальнейшее расширение круга теоретических сведений о приближенных числах и приближенных вычислениях. Следовало бы использовать ту реальную возможность для организации приближенных вычислений по способу двойных неравенств (границ), которая создается благодаря упражнениям на сравнение чисел и величин, изучению основных свойств и законов арифметических действий, ознакомлению с десятичными дробями, проведению измерительных работ и т. п. Тем не менее в программе изучение правил действий с приближенными числами предусмотрено значительно позже (VII класс; тема 6);

сообщение сведений об абсолютной, относительной погрешностях и линейной интерполяции предусмотрено в конце восьмого года, т. е. когда уже будет пройден почти весь материал за восьмилетнюю школу. Это мало способствует развитию вычислительных уменнй и навыков у учащихся;

в вычислительной практике постоянно приходится руководствоваться известным правилом Крылова-Брадиса. Однако изучение этого правила з новых программах не предусмотрено.

4. В отдельных работах, в частности в учебнике арифметики И. Н. Шевченко, справедливость правил подсчета цифр устанавливается путей определения "неизвестных цифр" в приближенных результатах арифметических действий. При этом умалчивается об основном положении-вероятнсстном характере данных правил. Непреемлемость подобного обоснования метода подсчета цифр сразу же обнаруживается в связи с требованием соблюдать основное правило записи приближенных чилсел. По той же причине нельзя признать подходящими для этой цели и методы "предельных погрешностей" или "поразрядное сопоставление цифр границ и их среднего арифметического". Указанные методы с успехом могут быть использованы при пояснениях понятий верной, сомнительной или неверной цифры и для математической оценки точности приближенных результатов, но не для обоснования правил подсчета цифр.

5. Часто встречающаяся в научной и методической литературе путаница в изложении отдельных понятий, характеризующих приближенное число, на что уже указывали B. М. Брадис, Р. А. Хабиб (см. канд. дисс. "Некоторые вопросы методики приближенных вычислений в восьмилетней школе", АПН РСФСР, М., 1962), В. У. Грибанов (см. канд. дисс. "Арифметика приближенных вычислений в средней школе", М., 1949).

6. Почти не разработана методика изучения в восьмилетней школе способов со строгим учетом погрешностей.

В диссертации дастся анализ учебной и методической литературы, рассмотрены пособия по методике преподавания математики, по теории и практике точных и приближенных вычислений, учебные программы (старые и новые), стабильные учебники, статьи, помещенные в журналах "Математика в школе" (1941, 1947-1969 г.г. и "Совет мактаби" (на узбекском языке), диссертационные работы по теме.

В кандидатских диссертациях, посвященных вопросам вычислительной работы в школе, определяются те направления, ло которым должно идти изучение приближенных вычислений. В этом отнесении указанные работы можно условно разбить на три группы:

1) работы, содержанием которых является методика изучения правил подсчета цифр в восьмилетней школе. Недостатком этих работ является игнорирование значения вычислительной работы со строгим учетом погрешностей в общей постановке преподавания математики;

2) работы, в которых выдвигается идея внедрения в V-VIII классах наряду с правилами подсчета цифр и способов со строгим учетом погрешностей. Однако последние в них рассматриваются в качестве дополнительного, неосновного и необязательного для изучения учебного или внеклассного материала;

3) работы, в которых вопросы изучения способов приближенных вычислений со строгим и без строгого учета погрешностей в процессе обучения математике в восьмилетней школе получали свою разработку.

К I-группе, в частности, можно отнести следующие работы: Н. И. Сырнев, "Вычислительная культура в средней школе", АПН РСФСР, М,, 1961). Автор рассматривая отдельные виды (как устные, письменные графические, табличные) вычислений, показывает полную возможность повышения вычислительной культуры учащихся путем разумного использования средств и способов вычисления. диссертант считает, что в школьных условиях могут быть внедрены как основной метод приближенных вычислений только правила подсчета цифр;

Н. Я. Прайсман, "Основные теории приближенных вычислений по методу подсчета цифр и методика их преподавания в школе", М., 1964. В работе дается обоснование правил подсчета цифр методами теории вероятностей;

А. В. Сутковая, "Вопросы приближенных вычислений в общеобразовательной политехнической школе", Киев, 1964. Разработан материал по узловым вопросам методики приближенных вычислений (понятие сеточники образования, запись приближенных чисел и т. п.). В диссертации основное место отводится методике изучения правил подсчета цифр. Сделана попытка обосновать эти правила при помощи пределов погрешностей;

Л. A. Бобылев, "Вычисление приближенных значений величин в курсе математики восьмилетней школы", М., 1964. Автор приводит соображения в пользу внедрения правил подсчета цифр, принимая последние как наиболее доступными учащимся и как обеспечиваю-

щие нужную оценку точности результатов косвенных измерений в технических и бытовых расчетах. В диссертации основное внимание уделено вопросам механизации и рационализации практических вычислений.

Ко 2-группе отнесем следующие кандидатские диссертации:

В. У. Грибанов, "Арифметика приближенных вычислений в средней школе", 1949. Автор рассматривает теоретические и методические вопросы приближенных Вычислений (правила подсчета цифр, способ границ и границ погрешностей) в средней школе. Много места отведено на вопросы изложения понятий, характеризующих приближенное число. Указано на относительную простоту способа границ, но несмотря на это это рекомендуется вводить его только в старших классах, после изучения неравенств;

И. Б. Лобанов, "Приближенные вычисления в общеобразовательной политехнической средней школе", Львовский государственный университет, 1962. Рассматриваются особенности изложения в школьном курсе математики теории приближенных вычислений без строгого учета погрешностей-правил подсчета цифр в V-VIII классах (сочетание точных и приближенных вычислений, арифметика приближенных вычислений по правилам подсчета цифр, приближенное вычисление действительных корней и т. п.) и со строгим учетом погрешностей в IX-XI классах;

Ш. А. Асанидзе, "Приближенные вычисления в курсе математики восьмилетней школы", Тбилисский госпединститут, 1962). Автор дает методическую разработку изучения правил подсчета цифр в соответствии с учебными программами по математике I960 года. Показывается возможность изучения способа границ на кружковых занятиях в VII классе.

К 3-группе отнесем работы:

P. A. Хабиб, "Некоторые вопросы методики приближенных вычислений в восьмилетней школе", АПН РСФСР, М., 1962. Автор рассматривает вопросы связи изучения арифметического материала с правилами подсчета цифр (вывод которых отнесен к концу V класса). Б диссертации рассмотрен вопрос о пропедевтике способа границ (способа двойных вычислений) и особое внимание уделено практическим приложениям курса математики, где приходится широко применять правила приближенных вычислений, в том числе на материа-

ле алгебры и гоеметрии в восьмилетней школе. Автором предложен для обработки приближенных данных, находимых в таблицах, простой и доступный "способ вариации сомнительной цифры". Заметим, что этот способ легко связывается со способом границ;

Н. В. Елизаветкина, "Приближенные вычисления в средней школе", Казань, 1966. В своей работе рассматривает изучение способа границ на основании свойств арифметических действий при рассмотрении практических задач на измерении величин (V класс), понятия о погрешности приближенного числа в связи с прохождением рациональных чисел и уравнений (VI, VII классы), теоремы о предельных погрешностях при прохождении неравенств (в старших классах). Последние затем использованы для обоснования правил подсчета цифр.

В кандидатских диссертациях Карташяна A. A., "Методика преподавания "Теории и практики вычислений" в педагогических институтах в свете задач политехнического обучения", Баку, 1954; Пичурина Л. Ф., "Развитие вычислительной культуры в IX-X классах средней школы", Ленинград, 1961; Овчаренко А. П., "Элементы современной вычислительной культуры в старших классах средней школы ", Киев, 1965; Кабановой К. И., "Графические вычисления в школе" М., 1954; Е. С. Ли, "0пыт применения функциональных сеток и номограмм в курсе элементарной математики в системе политехнического образования", Алма-Ата, 1966; Оразалиева А,, "Элементы номографии в курсе математики средней школы", Ленинград, 1965; Темрокова И. Х., "Эмпирические формулы в школьном курсе математики", М., 1966 и в ряде других работ рассматриваются самые различные вопросы организации вычислительных работ с учащимися.

Проблема приближенных вычислений нашла свое отражение и в методической литературе.

Доц. Б. М. Бредихин в брошюре I, выпущенной в 1957 году в помощь учителю Куйбышевским госпединститутом, В. Г. Прочухаев в книге "Вычисления и их роль в практической подготовке учащихся", Учпедгиз, 1961, подробно изложили сведения по приближенным вычислениям по способам строгого учета и без строгого учета погрешностей, по применению различных средств вычисления и давали по ним практические советы учителю.

В сборнике "Приближенные вычисления в школе". АПН РСФСР М., 1963, вышедшем под редакцией И. H. Шевченко и К. И. Нешкова помещено 7 статей, составляющее описание педагогического опыта, преподавания приближенных вычислений по правилам подсчета цифр

Несмотря на различие в подходе к изложению сведений о приближенных вычислениях в школе, в указанных выше работах и особенно з тех, которые появились за последнее время, учитель может находить полезное для своей работы, Тем не менее эти работы далеко не полностью освещают вопросы организации вычислительной работы в школе.

Тема настоящего исследования, таким образом, возникла на почве новых требований, предъявляемых к школе жизнью, практикой, В соответствии с этими мы поставили перед собой целью:

1) выяснить возможности изучения приближенных вычислений в IV-VIII классах, в частности, способов границ и границ погрешностей, и дать соответствующую этому методическую разработку, снабдив учителей необходимым дополнительным материалом для изучения с учащимися в пределах ныне действующих учебных программ;

2) разработать систему применения средств и приемов точных и приближенных вычислений, в частности отдельных номограмм, логарифмической линейки, и показать опыт юс применения при изучении математики и других смежных дисциплин в школе;

3) дать обоснование всем разработанным рекомендациям с учетом достижений педагогики и педагогической психологии, методики преподавания математики, передового педагогического опыта и результатов экспериментальных работ, проведенных по теме настоящей работы.

При выполнении этой работы нами было выполнено следующее:

1) изучены соответствующие труды классиков марксизма-ленинизма, постановления партии и правительства по народному образованию;

2) изучены приказы и другие установки Министерства просвещении СССР и УзССР, АПН СССР и института педнаук УзССР, отчеты Самаркандского облОНО и местных органов народного образования, документации школ, материалы, имеющиеся в ИУУ Самаркандской об-

ласти по части нашего исследования;

3) проанализированы учебные программы, учебники и задачники (ныне действующие, пробные или экспериментальные) и др.;

4) изучены соответствующие труды известных советских ученых, методистов, научно-методическая, педагогическая, учебная литература по предмету нашего исследования;

5) проведены специальные наблюдения на уроках учителей математики;

6) проанализирован свой двадцатилетний опыт работы в школах Сурхан-Дарьинской и Самаркандской областей в качестве учителя математики;

7) поставлен поисковый эксперимент в ряде школ города Самарканда и области, в школе юных математиков при механико-математическом факультете Самаркандского государственного университета. Итоги эксперимента и опытной проверки подробно описаны в главе IV диссертации.

По теме диссертации неоднократно были сделаны сообщения на областных и республиканских "Педагогических чтениях", на научно-педагогических конференциях института педнаук УзССР на курсах повышения квалификации учителей области, на научно-теоретических конференциях СамГУ, опубликован ряд работ, охватывающий полное содержание диссертации.

Диссертация состоит из четырех глав, заключения, приложения и библиографии.

Глава I. "Введение. Постановка вопроса". посвящена общему анализу постановки вычислительной работы в общеобразовательной школе, обзору учебной и методической литературы, дано обоснование темы диссертации, отмечены ее научно-методическое значение и актуальность, рассмотрены цель, задачи и методы проводимого исследования. Вся эта работа изложена в трех параграфах реферируемой главы: § 1, "О способах приближенных вычислений"; § 2, "Об учебных пособиях и методической литературе по организации приближенных и точных вычислений в школе"; § 3, "К вопросу организации вычислительной работы в школе".

В установке, даваемой автором, показывается необходимость ознакомления учащихся со способами приближенных вычисле-

нии как со строгим, так и не строгим учетом погрешностей. Сведения о приближенных вычислениях должны быть тесно увязаны с содержанием изучаемых программных материалов по математике, а способы математически обоснованы. Приближенными вычислениями следует постоянно пользоваться во всей вычислительной практике в общеобразовательной школе.

Глава II, "Вопросы методики приближенных вычислений в школе", состоит из четырех параграфов.

Параграф I рефереруемой главы посвящается разбору общих вопросов всем системы приближенных вычислений в школе. В нем рассматриваются общее содержание и порядок изучения вопросов приближенных вычислений, разработанные автором.

Идея, положенная в исследуемой нами работе, и ее содержание в общем отвечают требованиям обучения математике, предъявляемым к школе в связи с новыми учебными программами (1968). Тем не менее эта работа была начата нами и подвергалась экспериментальной проверке еще до выхода в свет указанных программ.

В основу диссертации положены теоретические разработки, данные проф. В. M. Брадисом в его общеизвестных книгах (см. стр. 4).

В разработке использован фактически имеющийся материал, в частности, сведения из ныне действующих и вновь издаваемых учебников, дополнительный материал доставленный автором.

Считаем рациональным введение способа границ в V же классе в процессе изучения действий с десятичными дробями. Как известно в предыдущих классах предусмотрены упражнения на сравнение чисел и результатов действий, а в IV классе-элементы приближенных вычислений-округление чисел и вычислений среднего арифметического величин. Применение способа границ при вычислениях становится естественным продолжением упражнений подобного типа. Внедрение данного способа в период прохождения десятичных дробей создает определенную возможность обстоятельнее показать его практическое применение. Внедрение способа границ не отражается на нормальном прохождении других учебно-программных материалов^ частности изучения, правил действий с точными числами, ибо сами границы суть точные числа, а наоборот, способствует широкому применению программного материала при вычислениях.

Считам также уместным перенесение сведений об абсолют-

ной погрешности в V класс (в связи с изучением положительных, отрицательных чисел, модуля числа и сравнений чисел) и об относительной погрешности в VI класс (отношение величин и чисел).

В связи с этим работу по оценке точности результатов вычислений применением неравенств (способом границ) следует довести до точного определения величины погрешностей. З данный период представляется возможности задавать учащимся небольшие упражнения на вычисление приближенных значений алгебраических выражений.

Вывод формул погрешностей результатов действий над приближенными числами посилен после изучения целых и рациональных выражений, что подтверждается, в частности, результатами нашего опыта.

Материал, относящийся к приближенным вычислениям, предлагаем расположить в пределах новых учебных программ следующим образом:

Темы и сведения, данные в новых программах и экспериментальных учебниках

Дополнительные сведения

IV класс (первоначальные сведения о приближенном числе)

Повторение материалов I-III классов (знаки неравенства, сравнение величин и т. п.). Десятичные дроби. Округление чисел. Среднее арифметическое. Приближенное неравенство. Образование приближенного числа в результате округления чисел и измерения величин. Измерительные работы в классе и на местности.

Погрешность округления и измерения. Нижняя и верхняя границы приближенного значения (практика). Запись приближенного числа по границам значения. Среднее арифметическое границ (приближенное значение величины).

V класс (способ границ)

Модуль числа.

Абсолютная погрешность; граница абсолютной погрешности (полуразность границ). Верные и сомнительные циф-

ры приближенного числа. Запись числа по приближенному значению и погрешности; основное правило записи приближенного числа (принцип А. Н. Крылова).

Сравнение дробей. Четыре арифметических действия с обыкновенными и десятичными дробями. десятичные приближения обыкновенной дроби.

Приближенные вычисления по способу двойных неравенств (по способу границ) - четыре арифметических действия.

VI класс (способ границ погрешностей величин)

Повторение: проценты(IV класс), модуль числа (V класс). Отношение.

Целые выражения.

Относительная погрешность. Граница относительной погрешности.

Формулы погрешностей приближенной суммы, разности, произведения и частного (последняя без вывода).

VII класс

Неравенства. Свойства неравенств. Действия с неравенствами. Применение к оценке точности приближенных вычислений.

Нахождение квадратного корня по графику и по таблице. Понятие о способах вычисления квадратного корня с любой заданной точностью. Таблицы квадратов и кубических корней.

Обобщение и систематизация сведений о приближенных вычислениях, изученных в IV-VI классах. Вывод формулы для погрешности приближенного частного.

VIII класс

Показательная функция и логарифмы. Таблицы логарифмов. Примеры вычисления с

Приближенные вычисления со степенными и логарифмическими значениями по способу границ и способу границ

таблицами. Логарифмическая шкала и логарифмическая линейка

погрешностей.

Организация вычислений и вычислительная техника. Приближенные вычисления. Правила подсчета цифр. Линейная интерполяция. Расписка формул для ручных вычислений. Понятие об арифметическом устройстве ЭВМ.

Обобщение и систематизация сведений о приближенных вычислений, изученных в предыдущих классах. Понятие о способах со строгим и без строгого учета погрешностей. Вероятностный характер правил подсчета цифр. Математическая оценка правил при помощи способов со строгим учетом погрешностей. Правило Крылова-Брадиса.

Таблицы тригонометрических функций. Решение треугольников.

Приближенные вычисления с тригонометрическими значениями со строгим учетом и без строгого учета погрешностей.

Во втором параграфе реферируемой главы показано содержание учебного материала, последовательность изучения и методика изложения сведений о приближенных вычислениях, в частности, способов границ и границ погрешностей, в процессе обучения математике в IV-VI классах школы в органической связи с прохождением программного материала. Здесь дано примерное содержание уроков с элементами приближенных вычислений, достаточное количество дополнительных упражнений, часть из которых имеет практическое содержание, образцы контрольных работ, а также практические советы учителю по вопросам работы над ошибками учащихся.

Ниже покажем основные моменты организации изучения матер нала по приближенным вычислениям в IV-VI классах.

I - этап: пропедевтика к изучению способа границ (IV-V классы).

Основной целью данного периода является ознакомление учащееся с приближенными числами и их записью.

Упражнения на сравнение величин и употребление злаков неравенств, организуемые по новым программам на всем протяяе-

нии первых четырех годов обучения, имеют основополагающее значение к переходу к осуществлению основной цели-введения понятия о приближенном числе.

Данные в п. п. 46, 47, "Округление десятичных дробей" пробного учебника для IV класса (под редакцией A. И. Маркушевича, "Просвещение", М., 1968), или § 7, "Округление чисел" учебника арифметики й. Н. Шевченко достаточным для создания у учащихся первоначального понятия о точном и приближенном числе. Надо чтобы ученики твердо помнили, что всякое число, полученное в результате округления или измерения величин есть приближенное. Необходимо еще ознакомить учащихся с понятием погрешность округления и формами записи приближение чисел:

запись нулей взамен отброшенных чисел при округлении числа

(2687a 3000);

запись названия разряда округленной цифры (3 тысячи); запись по границам значения приближенной величины.

В п. 9, "От и до", пробного учебника приводятся упражнения на двойное неравенство, основным содержанием которых является показание границ данного множества значений. и в п. 47 среднее арифметическое величин. Применяя это к приближенным значениям, к концу учебного года в процессе прохождения главы Ш, "Начальные сведения из геометрии", следует вводить понятия "нижняя граница" (НГ) и "верхняя граница" (ВГ) возможного значения измеренной величины (длины отрезка и др.).

Пусть, например, учащимся предложено начертить в тетрадях отрезка и "измерить их с точностью до I см. При этом в итоге должны быть получены результаты, подобно следующему: 7 см < х < < 8 см.

Следует также выполнять упражнения на вычисление приближенных значений величин (средних арифметических границ).

В V классе продолжается ознакомление учащихся с характерными особенностями приближенного числа. Перенесение в данный класс по новой программе положительных и отрицательных чисел, в частности модуля числа, позволяет теперь ввести в употребление понятия "абсолютная" и пояснить абсолютную погрешность (модуль разности между действительным и приближенным значениями числа) "граница абсолютной погрешности" (полуразность гра-

ниц), а также цифровой состав (верные и сомнительные цифры) и правило записи приближенного числа.

Определение верной, сомнительной цифры, и правило записи приближенного числа предлагаем дать в следующей формулировке:

1) Приближенное число содержит некоторую погрешность. Если абсолютное значение этой погрешности

- не больше половины единицы разряда некоторой цифры данного числа, то эта цифра и стоящие левее от нее цифры записаны верно; эти цифры называются верными;

-больше половины единицы разряда цифры, то эта цифра и следующие от нее вправо все цифры считаются сомнительными.

2) Приближенное число пишут так, чтобы в нем все цифры были верные и только последняя могла быть сомнительная.

С педагогической точки зрения считаем не целесообразным включать в правило трудные для понимания пятиклассников понятия, как "не превосходящей в среднем", "в большинстве случаев одну-две единицы" или "малые погрешности встречаются гораздо чаще, чем большие" и не имеющие особого значения для обучения способу границ и способу границ погрешностей. Введение этих понятий отложено нами до изучения правил подсчета цифр в старших классах.

Учащимся могут быть предложены несложные упражнения типа:

Измерением было найдено, что длина некоторой части дороги больше 32, 8 м, но меньше 32, 9 м. Записать приближенное значение найденного результата.

Решение: (32, 9-32, 8):2=0, 05;

(32, 9+32, 8):2=32, 85(+0, 05) м.

2 - этап: изучение способа границ (V класс).

Четыре арифметических действия с приближенными числами, заданными границами (НГ, ВГ) своих значений (способ границ), рассматриваем в качестве примера приложения правил арифметических действий с целыми и дробными числами (тема "Арифметические действия над десятичными дробями").

Коротко опишем примерное содержание (основные моменты) урока, посвященного обучению сложению приближенных чисел

по способу двойных неравенств:

1. Подготовительный момент (повторение пройденного).

Устные и полуписьменные упражнения на сравнение чисел я результатов действий, основанные на суждениях об изменении результатов действий в зависимости от изменения компонентов и законах арифметических действий.

Примеры (данные и ответы следует записать на доске; при необходимости употреблять знаки неравенства):

1. Дано: 7, 2; 39, 4; 40, 3. Не вычисляя ответьте, что больше: 7, 2+39, 4 или 7, 2+40, 3 ? Почему ?

2. Дано: 50, 2; 70 и некоторое положительное число а. Скажите, что больше: 50, 2+а или 70+а ? Почему ?

3. Группа учащихся измерила расстояние между тремя пунктами, (учитель отмечает на доске точки A, S и С). 3 результате оказалось, что расстояние между Л и В (на доске: AB) более. 20, 2 м, но менее 20, 3 м (при участии, учащихся дописывает к AB: сначала ИГ AB, затем его ВГ% 20, 2 < AB < 20, 3 м), расстояние ВС более 19, 8 м, значит менее 20 и (соответствующая запись: 19, 8 < ВС < 20 il). Какова общая длина A3+BJ ? Как ее вычислить ? (Вопрос сводится к определению границ приближенной суммы).

Рекомендуются следующие формы записи, при вычислениях: ^ 20, 2 < AB < 20, 3 +20, 2 I 20, 3 HT=2Q, 2+I9, & =40 M

19. 8 < ВС < 20 19, 8 20_ ЗГ-20, 3+20=40, 3 и

40 < ЛВ+ВС < 40, 3 (м) 40 I 40, 3 (м)

II. Введение способа границ.

Обобщающий пример: измерением найдено, что длины отрезков а и в (запись на доске) :

а, < а < ах и в, < & < зЛ.

Требуется найти их общую длину.

(Сумма меньших чисел (нижних границ) меньше суммы больших чисел (верхних границ). Поэтому: КГх=а, +ь, и ВГх eu +вх).

Далее при участии, учащихся сформилируется правило сложения двух и более приближенных чисел.

При объяснениях материала и записи правила целесообразно пользоваться буквенными и сокращенными обозначениями, как НГХ»Н] +ЫГв и т. д. Уместно также пользование приемами рационального вы-

числения, позволяющими экономно расходовать учебное время.

III. Закрепление проеденного (вопросы-ответы, упражнения) и задание на дом.

При изучении, остальных правил (для вычистания, умножения, деления приближенных чисел) рекомендуем такке пользоваться аналогичными предыдущему суждениями, как:

произведение меньших чисел меньше произведения больших;

если уменьшаемое (делимое) уменьшить и в то же время увеличить вычитаемое (делитель), то разность (частное) уменьшится (и наоборот).

3 - этап:, пропедевтика, к изучению способа границ погрешностей (VI класс).

Подготовка к данному способу фактически начинается нессколько раньше в связи с изучением порядка записи приближенного чис. а по его среднему (приближенному) значению и абсолютной погрешности, а также с внедрением способа границ. 3 продолжения этой работы в VI классе в процессе прохождения отношений в качестве нового признака, характеризующего точность приближенного числа, вводится относительная погрешность. Основной учебный материал мы находим в учебнике арифметики И. Н. Шевченко (111, "Относительная погрешность").

В задачнике по арифметике С. А. Пономарева и И. И. Сырнева нет примеров на определение относительных погрешностей приближенных вычислений. Соответствующие примеры в достаточном количестве приведены в данной разработке.

4 - этап: введение способа границ погрешностей (VI класс).

К началу прохождения темы "Действия над алгебраическими выражениями" (см. учебник алгебры А. Н. Барсукова для VI-VIII классов, 1964) ученики успевают приобрести некоторое знание и умение производить действия над рациональными числами, умение вычислять числовые значения алгебраических выражений, в частности, приближенные значения с использованием способа границ. Это обстоятельство позволяет вывести: простейшие формулы для границ погрешностей суммы, разности, произведения параллельно с изучением действий над одно-, многочленами, позволяющие намного

сократить вычисления. Формулу для частного приходится давать в готовом виде (вывод отложим до прохождения алгебраических дробей в VII классе).

В третьем параграфе реферируемой главы рассматриваются методические вопросы правил оценки погрешности деления (с его выводом при изучении, алгебраических дробей). возведения в квадрат и куб (с выводом). извлечения квадратного и кубического корней (при изучении корней и квадратного уравнения; без вывода) в VII и VIII классах. Рассматриваются также вопроси организации приближенных вычислений в курсе геометрии и других смежных дисциплин.

В четвертом параграфе приводятся соображения автора относительно систематизации и углубленному изучения сведений о приближенных вычислениях в связи с введением правил подсчета цифр, изучением степеней, логарифмов и линейной ивтсрполяции по новой программе в VIII классе. При этом мы исходили из практики работы в Юношеской математической школе при СамГУ, а также опыта организации изучения соответствующих учебных материалов в IX, X классах средней школы № 9 рабочей молодежи и факультативных занятий в ряде школ горе а Самарканда.

В начале данного параграфа рассматривается вопрос об изучении правил подсчета цифр. В соответствии с этим дается следующий материал для внеклассных и факультативных занятий:

а) обобщение сведений о способах приближенных вычислений со строгим учетом и без строгого учета погрешностей;

б) особенности правил подсчета цифр (формулировка правил; понятие о законе больших чисел и распределении ошибок; вероятностный характер правил подсчета цифр (понятие); понятие "десятичный знак л значащая цифра", принцип Крылова-Брадиса и т. п.);

в) математическая оценка правил подсчета цифр для четырех арифметических действий (с использованием способа границ или способа границ погрешностей).

Основной материал по выше указанным течам мы находим в книгах В. М. Брадиса (см. стр. 4).

В остальной части данного параграфа изложены методические вопросы изучения правил возведения в произвольную степень

и извлечения корня из приближенных чисел, оценка погрешности в приближенных значениях тригонометрических функций и логарифма.

Изучение способов строгого учета погрешностей позволило нам вывести с учащимися следующее простое правило:

если относительная погрешность числа не превосходит O, OOOI, т. е. О, 01$, то мантиссу логарифма этого числа следует округлять до четырех десятичных знаков; если погрешность не более 0, 001 (0, 1$), то мантиссу округляют до трех, если не больше 0, 01 (1$), то до двух десятичных знаков. При больших погрешностях значение логарифма целесообразно записать по его нижней и верхней границам.

В главе Ш, "Об изучении и применении рациональных приемов И средств вычисления б процессе обучения математике", рассмотрены вопросы рационализации и механизации точных и приближенных вычислений. Показанные в ней средства и приемы вычисления не являются новыми с точки зрения методов их составления. Однако часть из них разработана автором впервые. Изучение этих материалов имеет не только практическое, но и определенное теоретическое значение в школьном преподавании математики.

В реферируемой главе освещены:

1) вопросы рационализации устных вычислений (§ 2);

2) обучение оценке точности инструментальных, номографических и прочих вычислений (§§ 1-8);

3) вопросы изучения логарифмической линейки в VIII-Х классах (§ 5). Рекомендуется при обучении правилам действий на линейке исходить из основного свойства шкал - правила пропорции. При оценке величины результата целесообразно пользоваться методом прикидки, а не вычислением "порядка чисел", что занимало бы много времени. Здссь приведена поурочная и тематическая разработка по изучению логарифмической линейки в VIII—X классах, составленная на основе опыта работы автора, а также набор тренировочных упражнений с линейкой к другими средствами, зачетные контрольные работы, содержание практических работ по изучению логарифмических шкал;

4) вопросы изучения вычислительных таблиц (§ 3-5);

5) изготовление и пользование самодельными приборами для умножения чисел (V, VI классы) - счетными палочками (мощностью

до 99x99) и столбиками. из таблицы Пифагора (10x10), представляющим собою разновидность палочек Непера (§§ 3, 4);

б) построение (на мм бумаге) и метод пользования номограммой для умножения и деления (VII, УН классы). Шкалы номограммы равномерны, образ уют между собой прямой угол; основана на подобии: треугольников; содержит специальные прямые и пометки, которые позволяют легко находить квадрат, куб, квадратный корень, кубический корень, решить пропорцию, вычислить длину окружности и т. п. (§ 7);

7) построение (на полулогарифмической бумаге) и метод применения номограммы для произвольной степени и логарифма (VIII-Х класса). Построение и обоснование аналогичные с предыдущей номограммой (§ 8);

8) номограмма-тригонометрический круг для нахождения значений тригонометрических функций, а также для умножения, деления, определения обратных значений и т. п.; основана на свойствах тригонометрических функций и основных тригонометрических тождеств.

Много места уделено отбору задач, имеющих практическое значение, на применение номограмм, таблиц и прочих средств вычисления. Подобные упражнения помогут повысить воспитательное значение изучаемого программного материала.

Глава IV посвящена эксперименту, здесь же даны общие выводы. Ставя данное педагогическое исследование мы исходили из одной из важнейших проблем обучения математике-приближения преподавания этого предмета к жизни, к практике, из объективной потребности: в рациональной перестройке системы вычислительных работ в школе.

Практическое значение настоящей работы состоит в возможности использования ее учителями, методистами институтов усовершенствования учителей, пединститутов и университетов Узбекистана в своей педагогической практике.

По ходу исследования мы уточняли объем и содержание учебного материала по вопросам вычислений, исключали все ненужное, второстепенное или трудно поддающееся учащимся, стремились выявить особенности и трудности в организации вычислительной работу с учащимися, выяснить реальные возможности повышения уровня обуче-

ния приближенным вычислениям путем внедрения способов границ и границ погрешностей и правил подсчета цифр, определить последовательность и преемственность з формировании умений и навыков вычислительной работы учащихся по этапам школьного обучения,

Экспериментальная работа по теме диссертации проводилась в общей сложности с 1962 года.

Эксперимент был поставлен: в средней школе № 27 Самаркандского района (при участии преподавателей математики К. Халикова и З. Эсанозой),

в восьмилетней школе № 24 города Самарканда (учителя А. Абибуллаева, С. Мурадова, М, Аманова),

в средней школе № 9 рабочей молодежи города Самарканда (автор и учителя математики М. Мусинов, Е. И. Конопкин).

В диссертации такке нашли освещение:

1) личный опыт преподавания элементов приближенных вычислений, средств и приемов вычисления на механико-математическом факультете Самаркандского государственного университета, в Юношеской математической школе при данном факультете и на учительских курсах области;

2) выступления автора с докладами на областных и республиканских "Педагогических чтениях". научно-педагогических и теоретических конференциях, методических секциях учителей по вопросам организации» и методики вычислений в школах (1961-1969)1),2),3)

1) Доклады, прочитанные на республиканских "Педчтениях": "Из опыта применения логарифмической линейки на уроках математики " (1961), "Об организации вычислительной работы в процессе преподавания математики в вечерней школе рабочей молодежи" (из опыта работы, 1963), "Из опыта работы по воспитанию вычислительных навыков у учащихся" (1965), "Внедрение способов рациональных вычислений в учебной практике" (1967).

2) Доклад на тему "Графические вычисления", Самаркандская областная научно-практическая конференция учителей математики школ (1964).

3) Доклад "К вопросу об организации приближенных вычислений в школе" (ХХУ научная конференция СамГУ, 1968).

на страницах "Укитувчллар газетаси" (республикая учительская газета)1);

3) опыт по проверке эффективности отдельных вопросов эксперимента в связи с проведением педагогической практики студентов старших курсов механико-математического факультета СамГУ;

4) наблюдения, проведенные автором в экспериментальных IV классах, работающих по экспериментальному учебнику (под редакцией А. И. Маркушевича), в средней школе № 37 города Самарканда. В одном из этих классов (учительница Саюрова Раиса Матвеевна, 37 учащихся) по нашей просьбе была проведена небольшая работа, связанная с темой диссертации. Все учащиеся данного класса без исключения довольно хорошо справлялись с упражнениями на запись приближенного числа по границам его значения, на вычисление погрешности округления, с заданной точностью измеряли величины предметов и т. п.

В остальных школах, намеченных нами, работа велась по разработанной в диссертации системе обучения приближенным вычислениям, оказавшейся весьма близкой по своему содержанию к только что внедряемым учебным программам (1968). С появлением этих программ составленная нами разработка в первоначальном варианте претерпела частичное изменение, в частности, начальные сведения о приближенном числе и о его записи были перенесены с V на IV класс.

По нашей разработке (прежный вариант) правила подсчета цифр более подробно изучались в IX классе в период прохождения неравенств первой степени (на уроках и частично во внеурочное время - факультативно). В будущем соответствующий этой работе материал, данный нами, может быть с пользой использован в VI классе при изучении темы "Организация вычислений и вычислительная техника" по новой программе.

Педагогическая целесообразность такой расстановки приближенных вычислений, что предусматривается в диссертации, и доступность изложенного там материала, подтверждаются результатами опросов большого числа учителей, ознакомившимися отдельными час-

1) Статьи "Устный счет" (16 января 1964), "Вопросы развития вычислительных навыков у учащихся" (4 апреля 1965).

тями диссертации, и заключениями методических секций ряда школ.

Педагогический опыт автора по обучению приближенным вычислениям в V-VIII классах был освещен в ряде его работ, в частности в брошюре "Приближенные вычисления в школе". выпущенной в 1967 году по случаю III съезда учителей Узбекистана (см. стр. № 9).

Итоги эксперимента подробно описаны в данной главе диссертации.

Мы в своих исследованиях не ставили целью охватить все вопросы вычислительных работ, возникшие в связи с выходом в свет новых учебных программ по математике. Так, в нашей разработке не получила полное отражение заключительная тема VIII класса "Организация вычислений и вычислительная техника", где предусмотрено собщение сведений об арифметическом устройстве ЭВМ.

Тем не менее, проведенная нами работа положительно сказывалась з общей постановке преподавания математики. Подавляющее большинство учащихся экспериментальных классов уже умеют некоторые (хотя ограниченные) навыки вычислять рационально и с заданной точностью, умеют, выполнять различные работы практического характера и т. п.

В нашей разработке школьная теория и практика приближенных вычислений получила более определенный и систематический вид. Это позволило, о одной стороны, предотвратить факты стихийного обучения приближенным вычислениям в экспериментальных классах, что, к сожалению, часто можно видеть в работе у многих учителей школ.

С целью изучения постановки и сопоставления уровня вычислительной работы мы посетили более ста уроков учителей ряда юкол Сурхандарьинской и Самаркандской областей, в т. ч. учителей тех классов, где проводился эксперимент, многократно провели опрос учащихся и самих учителей, установили в ряде школ постоянный контроль за ходом обучения приближенным вычислениям. В диссертации приводятся анализ работы учащихся, учителей и обобщенные данные по вопросам обучения приближенным вычислениям.

Результаты эксперимента показали общедоступность и выполнимость разработанной нами системы обучения приближенным вы-

числениям.

Ниже приведем основные данные об итогах заключительных контрольных раоот, проведенных учителями в конце учебного года (при выполнении работ требовалось пользоваться одним из изученных в данном классе или ранее способов приближенных вычислений):

Эксперимент, проведенный в Самаркандской средней школе рабочей молодежи № 9 также показывал правильность наших методических установок по приближенным вычислениям, что подтверждено успешным усвоением материала учащимися и обсуждением итогов эксперимента на методической секции учителей школы и прениями по докладу диссертанта на областном и республиканском педагогических чтениях 1963, 1965 и 1967 годов.

Внимательно изучив результаты эксперимента, отзывы методических секций, отдельных учителей, методистов-математиков и научных работников, большое число существующей методической литературы, научно-педагогические исследования и педагогический опыт передовых учителей, чем автор охотно пользовался при составлении данной работы, мы по исследуемой теме пришли к следующему -

заключению:

1. В школе надо познакомить учащихся как со строгими, так и не строгими способами приближенных вычислений. Причем все способы должны быть математически обоснованы.

2. Порядок изучения этих способов естественно расположить от более строгого к менее строгому: сначала способ границ, затем способ границ погрешностей, и наконец, правила подсчета цифр. Таким образом будет выдержана логика материала и педагогический принцип от легкого к трудному, от простого к сложному.

5. Приближенные вычисления (тот или другой способ) должны быть теснее увязаны с проходимым программным материалом по арифметике и алгебре, должны получаться из этой теории как приложение и давать тем самым дополнительные для теории упражнения, имеющие практическую ценность. Причем сведения о приближенных числах и вычислениях целесообразно вводить в следующей последовательности:

IV-V классы: понятие о приближенном числе и способ границ; изучение этих сведений целиком и полностью увязывается с учебно-программным материалом курса арифметики;

VI-VIII классы: способ границ погрешностей, вывод соответствующих формул и пользование ими, что также согласуется с изучаемыми в этих классах темами;

VIII класс: правила подсчета цифр с некоторым их обоснованием на базе изученного способа границ погрешностей.

4. Разработанная в диссертации методика приближенных вычислений, включающая в себя способ границ, способ границ погрешностей и правила подсчета цифр, приемы и средства, рационализирующие вычисления, соответствует указанным выше требованиям, доступна учащимся и может быть с пользой внедрена в учебную практику.

5. Приведенная в диссертации система применения средств, способов вычисления и упражнений способствует развитию интереса к предмету математика и выработке у учащихся прочного знания и умения вычислять быстро рационально и с нужной точностью.

6. Изложенный в диссертации учебный материал и его методика обеспечивает систематичность и преемственность в обучении, помогают полнее раскрывать содержание программного материала и по-

казать широкое применение теории на практике.

Вычислительная работа с учащимися в процессе преподавания математики и смежных дисциплин может стать эффективно лишь в том случае, если она организуется систематически. продуманно и целенаправленно.

Содержание диссертации отражено в следующих работах автора:

1. Вычисления при помощи логарифмической линейки, журнал "Совет мактаби", 1961, № 9.

2. Использование номограмм в школе, журнал "Совет мактаби", 1963, № 12.

3. Из опыта соединения обучения математике в VIII-Х классах с производительным трудом учащихся (вычислительная практика), II сборник института педнаук УзССР "Преподавание математики в школе", изд-во "Укитувчи". Ташкент, 1966.

4. Средства и способы вычислений, журнал "Совет мактаби", 1966, № 5.

5. Приближенные вычисления в школе, брошюра, изд-во "Укитувчи", Ташкент, 1967.

6. Некоторые вопросы организации приближенных вычислений, сборник материалов ХХУ научной конференции СамГУ, 1968.

7. О развитии вычислительных навыков у учащихся, III сборник института педнаук УзССР "Преподавание математики в школе", издчво "Укитувчи", Ташкент, 1968.

Подписано к печати 1. 10. 69г. РЧ I 40380. Заказ № 249. Объём 2 печ. д. Тираж 200 экз.

Отпечатано на ротапринте СамГУ. г. Самарканд, бульвар им. М. Горького, 15.